e Sayısı Neden İrrasyoneldir?

$e$ sayısı özellikle logaritma ve üstel sayılar içeren konularda sıklıkla gördüğümüz bir sabittir. Doğrudan doğruya tanımını yapmak zor olsa da şu özelliği sağlayan $0$'dan farklı sayıyı $e$ diye tanımlamakta pek bir sakınca yoktur:

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$

üstel fonksiyon olan türevinin kendine eşit olması $e$ sayısının ana özelliklerinden birisi olarak söylenebilir. Hatta bir $c_1$ sabiti için $c_1{e}^x$ şeklinde olmayan hiçbir fonksiyon bunu sağlayamaz. Kısaca kanıtlamak gerekirse:

$\frac{d}{dx}f(x)=f(x)$

$\frac{\frac{d}{dx}f(x)}{f(x)}=1$

$\int \frac{\frac{d}{dx}f(x)}{f(x)}dx=\int 1dx$

$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\int 1dx$

Şimdi $f(x)=u$ diyerek değişken değiştirme yaparsak $f^{\prime }(x)dx=du$ gelir ve ikinci integrali çözersek şu denkliğe ulaşırız:

$\int \frac{1}{u}du=x+C_1$

İlk integral $\ln (u)+C_2$ olarak çıkar o zaman:

$\ln (f(x))+C_2=x+C_1$

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

Şimdi $x$'li terimleri bir tarafa toplayalım:

$\ln (f(x))-x=C_1-C_2$

Burada $x$'lerin sadeleşip bir sabit vermesinin tek yolu $f(x)=C_3{e}^x$ olmasıdır. Bu durumda:

$\ln (C_3)+\ln (e^x)-x=\ln (C_3)=C_1-C_2$

İşte bu kadar! Bu yüzden e'nin tanımı olarak "türevi kendine eşit olan fonksiyon" demekde sorun yok.

Peki bu sayı neden irrasyonel olmaktadır?

Kanıt

Taylor Serisi ile $e^x$'i sonsuz toplam olarak yazalım:

$e^x=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$

Şimdi eğer $e$ rasyonelse $a/b$ ($a,b\ne 0\in \mathbb{Z}$) şeklinde yazılabilir. O zaman $e^{-1}$ de $b/a$ şeklinde yazılabilir. Şimdi Taylor Serisinde $x=-1$ için bakalım:

$e^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n!}$

Şimdi sonsuz toplamı iki farklı toplam şeklinde yazalım. $0$'dan $a$'ya ve $a+1$'den $\infty$'ye şeklinde ve bu yoldan çelişki elde etmeye çalışalım:

$e^{-1}=\frac{b}{a}=\sum _{n=1}^a\frac{(-1{)}^n}{n!}+\sum _{n=a+1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n!}$

O zaman sonlu toplamı sola alıp sonsuz toplamı tek başına bırakalım:

Agora Bilim Pazarı

Zeus Kablosuz Powerbank ile Cepli Powerbank Düzenleyici

Hem kablosuz powerbank olarak hem de 16GB USB Bellek olarak kullanabileceğiniz bir ürün.

• Ağırlık: 743 g
• Boyutlar: 240 × 180 × 38 mm
• Kablosuz Şarj Çıkış Gücü: 5W
• Input: 5V/2A – 9V/1,67A
• Output: 5V/1A – 9V/1,1A
• Menşe Ülke: Çin
• Teslimat Süresi: Stoktan hemen teslimat
• Pil Kapasitesi: 8000 mAh
• Özellikler: Lightning, Micro-USB, Type-C, USB 2.0

Devamını Göster

₺1,324.00

Satın Al Tüm Ürünler

$\frac{b}{a}-\sum _{n=1}^a\frac{(-1{)}^n}{n!}=\sum _{n=a+1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n!}$

Her tarafı $(-1{)}^{a+1}a!$ ile genişletelim:

$\frac{b(-1{)}^{a+1}a!}{a}-(-1{)}^{a+1}a!\sum _{n=1}^a\frac{(-1{)}^n}{n!}=b(-1{)}^{a+1}(a-1)!-(-1{)}^{a+1}a!\sum _{n=1}^a\frac{(-1{)}^n}{n!}$

Toplamı da açarsak:

$b(-1{)}^{a+1}(a-1)!-(-1{)}^{a+1}a!\sum _{n=1}^a\frac{(-1{)}^n}{n!}=b(-1{)}^{a+1}(a-1)!-(-1{)}^{a+1}a!(\frac{1}{0!}-\frac{1}{2!}\dots \frac{(-1{)}^{a-1}}{(a-1)!}+\frac{(-1{)}^a}{(a)!})$

Toplamda her paydanın $(-1{)}^{a+1}a!$ ile sadeleşebildiğini görüyoruz. Yani sonuç bir tam sayı çıkıyor. Bir de diğer sonsuz toplama bakalım:

$(-1{)}^{a+1}a!\sum _{n=a+1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n!}=(-1{)}^{a+1}a!(\frac{(-1{)}^{a+1}}{(a+1)!}+\frac{(-1{)}^{a+2}}{(a+2)!}\dots )=\frac{(-1{)}^{2a+2}}{a+1}+\frac{(-1{)}^{2a+3}}{(a+1)(a+2)}+\frac{(-1{)}^{2a+4}}{(a+1)(a+2)(a+3)}\dots$

Gördüğünüz gibi bu sefer de tam sayı olmayan bir rasyonel sayı elde ettik. Ama az önce bir tam sayı almıştık. Yani bir tam sayı bir kesirli sayıya eşit çıktı. Buradan da çelişki gelir. Demekki bu şekilde $a$, $b$ tam sayıları seçilemiyor. Buradan da $e$'nin irrasyonel olduğu çıkar.