Asal Sayı Nedir? Asal Sayılar Neden Bu Kadar Önemli?

-
Özgün
Özgün Nedir?
Bu yazı, Evrim Ağacı'na ait, özgün bir içeriktir. Konu akışı, anlatım ve detaylar, Evrim Ağacı yazarı/yazarları tarafından hazırlanmış ve/veya derlenmiştir. Bu içerik için kullanılan kaynaklar, yazının sonunda gösterilmiştir. Bu içerik, diğer tüm içeriklerimiz gibi, İçerik Kullanım İzinleri'ne tabidir.
- Matematik
Kendisinden ve 1'den başka böleni olmayan doğal sayılara asal sayılar denir (örneğin 3, 97, 751 veya 1009 gibi). Nadir ve eşsiz olan birçok şeyin insanlar için önemli olması gibi, asal sayılar da matematikte ve bilimde büyük öneme sahiptir.
Bir sayının asal sayı olabilmesi için aşağıdaki üç koşulu sağlaması gerekir:
- Söz konusu sayı, doğal sayılar kümesinin bir elemanı olmalıdır.
- Sayı, 1'den büyük olmalıdır.
- Kendisinden ve 1'den başka böleni olmamalıdır.
Örneğin; 5, 7, 19 ve 53 sayıları bu üç koşulu da sağladıkları için birer asal sayıdır. Ancak 6, 25, 49 ve 57 gibi sayılar üçüncü koşulu sağlamadıkları için asal sayı değillerdir. Bir sayı eğer asal sayı değilse mutlaka bileşik sayı olmak zorundadır. Adından da anlaşılabileceği gibi bileşik sayılar, çarpanlarına ayrıldıklarında birden fazla şekilde yazılabilirler. Örnek verecek olursak 49 sayısını hem 1×491\times 49 hem de 7×77\times 7 şeklinde yazabiliriz.
Sonsuz tane asal sayı bulunmaktadır. Görece küçük asal sayıları bulmak kolay olsa da basamak sayısı arttıkça asal sayıları tespit etmek zorlaşmaktadır. Şu an bildiğimiz en büyük asal sayı 282.589.933 - 1'dir ve 24.862.048 basamaktan oluşmaktadır.
Bunun yanı sıra asal sayıların 1 tanesi hariç hepsi tek sayıdır. Çift olan tek asal sayı 2'dir. Bu durumun sebebi tüm çift sayıların 2'nin bir katı olmak zorunda olmasıdır.
Asal Sayıların Tarihçesi
Asal sayılardan ilk olarak günümüzden yaklaşık 3550 yıl önce, bir Rhind papirüsünde bahsedilmiştir. Öklid, 13 ciltten oluşan ünlü eseri Elementler'de sonsuz sayıda asal sayı olduğunu göstermiştir. Öklid bunun yanı sıra her tam sayının asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabileceğini de yine Elementler'de belirtmiştir.
/evrimagaci.org%2Fpublic%2Fcontent_media%2F319ea82ff052c6cdba5e3f7f5f0fbb59.jpeg)
Milattan önce 200 yılında Yunan matematikçi Eratosthenes, Eratosthenes'in eleği olarak bilinen bir yöntemle asal sayıları hesaplayan bir algoritma oluşturdu. Bu algoritma şu şekilde çalışıyor:
- 2'den 100'e kadar olan sayıları 10x10'luk bir kareye yerleştirin.
- 10'a kadar olan asal sayıların kendileri hariç katlarını boyayın:
- Örneğin 2'nin kendisi hariç 2'nin tüm katlarını boyayın.
- Sonrasında 3'ün kendisi hariç tüm katlarını boyayın.
- Sonrasında 5 ve 7 için bu işlemi tekrar edin.
- Geriye kalan, hiç boyanmamış sayıların hepsi asal sayılar olacaktır: 2, 3, 5,7, 11, 13,17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97.
Aklın ve bilimin baskılandığı Karanlık Çağ'da asal sayılarla ilgili bir çalışma yapılmamıştır. 17. yüzyıla gelindiğinde ise Fermat, Euler ve Gauss gibi ünlü matematikçiler asal sayıları daha iyi anlamak için çalışmalar yapmıştır.
Pierre de Fermat, daha sonra Leibniz ve Euler tarafından çözülecek olan Fermat'ın Küçük Teoremi'ni ortaya atmıştır. O zamanlar asal sayılarla ilgili ortaya atılan teorilerin birer devrim niteliğinde olduğuna dikkat çekmek gerekir. Günümüzdeyse asal sayıların dağılımıyla alakalı olan Riemann Hipotezi, Clay Matematik Enstitüsü'nün çözülemeyen 1 milyon dolarlık ödüllü problemlerinden birisidir.
Mersenne Asalları
Mersenne asalları, ismini Fransız keşiş Marin Mersenne'den almaktadır. Mersenne asalları (veya kısaca mm), pp bir asal sayı olmak üzere 2p−12^p - 1 şeklinde yazılabilen asal sayılara verilen isimdir. Bir diğer deyişle Mersenne asalları, m=2p−1m=2^p-1 olarak ifade edilebilen asallardır (yani hem mm hem pp birer asal sayıdır). Bu yöntemle elde edilebilen ilk birkaç Mersenne asalı için pp asalı 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61 ve 89'dur.
Eskiden bir sayının Mersenne asalı olup olmadığını tespit etmek oldukça zordu. Günümüzdeyse bilgisayarların devreye girmesiyle birlikte hesaplama biraz daha kolaylaşsa da bu iş süper bilgisayarların dahi oldukça zamanını almaktadır. Bu nedenle Mersenne asalları siber güvenlik ve kriptografi alanlarında sıklıkla kullanılmaktadır.
Ağustos 2008'de Kaliforniya Üniversitesi'nde sistem yöneticisi olan Edson Smith, o zamana kadar bilinen en büyük Mersenne asalını bulmuştu. Bulduğu sayı 12.978.189 basamaklıydı. Bu sayı öylesine büyüktür ki, sayıyı yazmak yaklaşık 2.5 ay sürecektir ve kâğıda basılırsa kabaca 48 km uzunluğunda bir kâğıda ihtiyaç duyulacaktır.
Mersenne Asalları'nı elde etmek için kullanılabilecek ppasallarının Ekim 2021 itibariyle tam listesi şöyledir: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917 ve 82589933.
Fermat Asalları
Fermat asalları da tıpkı Mersenne asalları gibi özel bir asal sayı türüdür. Fermat; mm, 2n2^n'nin aldığı değere (nn, 0'dan büyük eşit bir sayıdır) eşit olmak üzere her Fm=2m+1F_m = 2^m+1 sayısının asal sayı olduğunu düşünüyordu. Fakat Euler F5=4.294.967.297F_5=4.294.967.297 sayısının 641×6700417641\times 6700417 şeklinde yazılabildiğini göstererek Fermat'nın iddiasını çürütmüştür. Yine de Fermat asallarının ilk beş tanesi yani F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 =257 ve F4=65.537 sayıları asal sayılardır. Bugünse en iyi bilgisayarlarla bile en fazla F11 sayısına ulaşılabilmiştir.
Asal Sayılar Neden Bu Kadar Önemli?
Siber güvenlikten filmlere kadar asal sayılar hayatın birçok alanında kendini göstermektedir. Asal sayıların ciddi olarak önem kazanmaya başladığı zamanlarsa 1970'ler olmuştur. Çünkü bu yıllarda asal sayıların ortak anahtarlı şifreleme algoritmalarının temelinde kullanılabileceğinin farkına varılmıştır.
Yazımızın başında da belirttiğimiz gibi sayı büyüdükçe sayıyı asal çarpanlarına ayırmak zorlaşmaktadır. Bir sayıyı asal çarpanlarına kolayca ayırabilecek bir algoritma bulmak bilgisayar biliminin çözülememiş problemlerinden biridir. Bu nedenle kredi kartı bilgilerinizin çalınmasını önlemek, internette güvenli bir şekilde gezinebilmek için kullanılmaktadır. Bunların yanı sıra asal sayılar, kuantum mekaniğinde ve soyut cebirde de sıklıkla kullanılmaktadır.
Fakat belki de asal sayılarla ilgili en ilgi çekici şeylerden birisi, asal sayıları doğada görebilmemizdir. Örneğin Magicicada cinsi ağustos böcekleri yaşamlarının büyük bir çoğunluğunu yerin altında geçirirler. Biyologların gözlemleri sonucu Magicicada cinsi ağustos böceklerinin 7, 13 veya 17 yılda bir yüzeye çıktıkları görülmüştür. Birçok biyolog bunun bir tesadüf olmadığına inanıyor. Çünkü Magicicada cinsi ağustos böcekleri bu şekilde avcılarının yaşam döngüleriyle bir çeşit senkronizasyon oluşturarak avcılarından kaçınmış oluyorlar.
/evrimagaci.org%2Fpublic%2Fcontent_media%2Ff3d5862bfdf7242eed7fa87639623eb9.jpeg)
Popüler Kültürde Asal Sayılar
Elbette asal sayılardan etkilenenler sadece matematikçiler olmamıştır. Matematikçilerin yanı sıra yazarlar, şarkıcılar ve sanatçılar da asal sayılardan etkilenmiştir. Kozmos belgeseliyle hepimizin yakından tanıdığı Carl Sagan, Mesaj (Contact) kitabında uzaylılarla iletişim kurulması için asal sayıların kullanıldığını kurgulamıştır. Bir başka örnek ise yine birçok kişi tarafından izlenen Akıl Oyunları (A Beautiful Mind) filmidir. Nobel Ekonomi Ödüllü matematikçi John Forbes Nash'in hayatını anlatan filmde asal sayılara da değinilmektedir.
Asal Sayılarla İlgili 3 Kısa Bilgi
- Ne yazık ki elimizde asal sayıların dağılımını açıklayan bir formül yok. Uzun yıllardır asal sayıların dağılımını anlayabilmek için bir algoritma arıyoruz fakat henüz bulabilmiş değiliz. Bu durum asal sayıları daha da çekici kılıyor.
- Teknik olarak "1" asal sayı değildir. Ancak bunun sebebinin ne olduğunu tam olarak bilmiyoruz. Eski Yunanlılar ve Arap matematikçiler "1" sayısını diğer sayılar gibi görmekten ziyade "birim" olarak algılıyorlardı. Bu nedenle 1, asal sayı olarak kabul edilmemiş olabilir. 18 ve 19. yüzyıllarda ise bazı matematikçiler 1'i asal sayı olarak kabul ediyordu. Günümüzdeyse asal sayılarının tanımında birtakım değişiklikler yapmamızı gerektirdiğinden 1'i asal sayı olarak kabul etmemeyi seçiyoruz.
- İki sayı asal olmasalar bile, "aralarında asal" olabilirler. İki farklı doğal sayının 1'den başka ortak bölenleri yoksa kendi aralarında asaldırlar. Örneğin; 4 ve 25 sayıları kendi aralarında asaldır çünkü 4 ve 25'in 1'den başka ortak böleni yoktur.
İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
Soru & Cevap Platformuna Git- 11
- 8
- 5
- 3
- 2
- 1
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- M. Andrei. What Are Prime Numbers And Why Do They Matter — Yes, Even In Your Day-To-Day Life. (1 Mart 2023). Alındığı Tarih: 17 Nisan 2023. Alındığı Yer: ZME Science | Arşiv Bağlantısı
- Ashish. Importance Of Prime Numbers In Nature, Popular Culture And The Internet. (8 Temmuz 2022). Alındığı Tarih: 17 Nisan 2023. Alındığı Yer: Science ABC | Arşiv Bağlantısı
- V. Vaidyanathan. How Do You Find Prime Numbers?. (8 Temmuz 2022). Alındığı Tarih: 17 Nisan 2023. Alındığı Yer: Science ABC | Arşiv Bağlantısı
- A. Helmenstine. What Is A Prime Number? How To Tell If A Number Is Prime. (30 Haziran 2021). Alındığı Tarih: 17 Nisan 2023. Alındığı Yer: Science Notes | Arşiv Bağlantısı
- A. Peshin. How Are Prime Numbers Used In Cryptography?. (8 Temmuz 2022). Alındığı Tarih: 17 Nisan 2023. Alındığı Yer: Science ABC | Arşiv Bağlantısı
- E.J. Hom. What Is A Prime Number?. (21 Mayıs 2013). Alındığı Tarih: 17 Nisan 2023. Alındığı Yer: Live Science | Arşiv Bağlantısı
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 29/05/2023 02:46:52 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/14404
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.