Asal Sayı Nedir? Asal Sayılar Neden Bu Kadar Önemli?

Kendisinden ve 1'den başka böleni olmayan doğal sayılara asal sayılar denir (örneğin 3, 97, 751 veya 1009 gibi). Nadir ve eşsiz olan birçok şeyin insanlar için önemli olması gibi, asal sayılar da matematikte ve bilimde büyük öneme sahiptir.

Bir sayının asal sayı olabilmesi için aşağıdaki üç koşulu sağlaması gerekir:

1. Söz konusu sayı, doğal sayılar kümesinin bir elemanı olmalıdır.
2. Sayı, 1'den büyük olmalıdır.
3. Kendisinden ve 1'den başka böleni olmamalıdır.

Örneğin; 5, 7, 19 ve 53 sayıları bu üç koşulu da sağladıkları için birer asal sayıdır. Ancak 6, 25, 49 ve 57 gibi sayılar üçüncü koşulu sağlamadıkları için asal sayı değillerdir. Bir sayı eğer asal sayı değilse mutlaka bileşik sayı olmak zorundadır. Adından da anlaşılabileceği gibi bileşik sayılar, çarpanlarına ayrıldıklarında birden fazla şekilde yazılabilirler. Örnek verecek olursak 49 sayısını hem $1\times 49$ hem de $7\times 7$ şeklinde yazabiliriz.

Sonsuz tane asal sayı bulunmaktadır. Görece küçük asal sayıları bulmak kolay olsa da basamak sayısı arttıkça asal sayıları tespit etmek zorlaşmaktadır. Şu an bildiğimiz en büyük asal sayı 2^82.589.933 - 1'dir ve 24.862.048 basamaktan oluşmaktadır.

Bunun yanı sıra asal sayıların 1 tanesi hariç hepsi tek sayıdır. Çift olan tek asal sayı 2'dir. Bu durumun sebebi tüm çift sayıların 2'nin bir katı olmak zorunda olmasıdır.

Asal Sayıların Tarihçesi

Asal sayılardan ilk olarak günümüzden yaklaşık 3550 yıl önce, bir Rhind papirüsünde bahsedilmiştir. Öklid, 13 ciltten oluşan ünlü eseri Elementler'de sonsuz sayıda asal sayı olduğunu göstermiştir. Öklid bunun yanı sıra her tam sayının asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabileceğini de yine Elementler'de belirtmiştir.

ZME Science

Milattan önce 200 yılında Yunan matematikçi Eratosthenes, Eratosthenes'in eleği olarak bilinen bir yöntemle asal sayıları hesaplayan bir algoritma oluşturdu. Bu algoritma şu şekilde çalışıyor:

• 2'den 100'e kadar olan sayıları 10x10'luk bir kareye yerleştirin.
• 10'a kadar olan asal sayıların kendileri hariç katlarını boyayın:
• Örneğin 2'nin kendisi hariç 2'nin tüm katlarını boyayın.
• Sonrasında 3'ün kendisi hariç tüm katlarını boyayın.
• Sonrasında 5 ve 7 için bu işlemi tekrar edin.
• Geriye kalan, hiç boyanmamış sayıların hepsi asal sayılar olacaktır: 2, 3, 5,7, 11, 13,17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97.

Aklın ve bilimin baskılandığı Karanlık Çağ'da asal sayılarla ilgili bir çalışma yapılmamıştır. 17. yüzyıla gelindiğinde ise Fermat, Euler ve Gauss gibi ünlü matematikçiler asal sayıları daha iyi anlamak için çalışmalar yapmıştır.

Pierre de Fermat, daha sonra Leibniz ve Euler tarafından çözülecek olan Fermat'nın Küçük Teoremi'ni ortaya atmıştır. O zamanlar asal sayılarla ilgili ortaya atılan teorilerin birer devrim niteliğinde olduğuna dikkat çekmek gerekir. Günümüzdeyse asal sayıların dağılımıyla alakalı olan Riemann Hipotezi, Clay Matematik Enstitüsü'nün çözülemeyen 1 milyon dolarlık ödüllü problemlerinden birisidir.

Mersenne Asalları

Mersenne asalları, ismini Fransız keşiş Marin Mersenne'den almaktadır. Mersenne asalları (veya kısaca $m$), $p$ bir asal sayı olmak üzere $2^p-1$ şeklinde yazılabilen asal sayılara verilen isimdir. Bir diğer deyişle Mersenne asalları, $m=2^p-1$ olarak ifade edilebilen asallardır (yani hem $m$ hem $p$ birer asal sayıdır). Bu yöntemle elde edilebilen ilk birkaç Mersenne asalı için $p$ asalı 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61 ve 89'dur.

Eskiden bir sayının Mersenne asalı olup olmadığını tespit etmek oldukça zordu. Günümüzdeyse bilgisayarların devreye girmesiyle birlikte hesaplama biraz daha kolaylaşsa da bu iş süper bilgisayarların dahi oldukça zamanını almaktadır. Bu nedenle Mersenne asalları siber güvenlik ve kriptografi alanlarında sıklıkla kullanılmaktadır.

Ağustos 2008'de Kaliforniya Üniversitesi'nde sistem yöneticisi olan Edson Smith, o zamana kadar bilinen en büyük Mersenne asalını bulmuştu. Bulduğu sayı 12.978.189 basamaklıydı. Bu sayı öylesine büyüktür ki, sayıyı yazmak yaklaşık 2.5 ay sürecektir ve kâğıda basılırsa kabaca 48 km uzunluğunda bir kâğıda ihtiyaç duyulacaktır.

Mersenne Asalları'nı elde etmek için kullanılabilecek $p$ asallarının Ekim 2021 itibariyle tam listesi şöyledir: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917 ve 82589933.

GIMPS Çalışması ve Mersenne 51

Ocak 1996 yılında başlatılmış olan GIMPS çalışmasının temelinde binlerce kişisel bilgisayar kullanıcısının Mersenne adı verilen web sitesinden indirdikleri ücretsiz yazılım programıyla gönüllü bir şekilde dünyanın en büyük asal sayısını bulmaya çalışması yatar.

2023 itibarıyla bulunmuş toplam 51 Mersenne asalı vardır ve bu asalların 17 tanesi GIMPS çalışmaları sayesinde bulunmuştur. GIMPS çalışması sayesinde bulunan Mersenne asalları arasında en küçük değere sahip olan Mersenne 35'in $p$ değeri 1.398.2691.398.2691.398.269 gibi büyük bir değer olduğundan GIMPS çalışmasıyla bulunan her Mersenne asalı zamanının bulunmuş en büyük asal sayısı olmuştur. Aralık 2018 tarihinden beri bilinen en büyük Mersenne asalı Mersenne 51'dir.

Mersenne 51; 7 Aralık 2018 tarihinde Ocala, Florida'da GIMPS'te gönüllü çalışan Patrick Laroche tarafından bulunmuştur. Teknik adı M82589933 de olan Mersenne 51'in açılımı $2^{82589933}-1$ şeklindedir. Mersenne 51, Mersenne 50'den yaklaşık 1.500.000 fazla basamağa sahiptir.

Fermat Asalları

Fermat asalları da tıpkı Mersenne asalları gibi özel bir asal sayı türüdür. Fermat; $m$, $2^n$'nin aldığı değere ($n$, 0'dan büyük eşit bir sayıdır) eşit olmak üzere her $F_m=2^m+1$ sayısının asal sayı olduğunu düşünüyordu. Fakat Euler $F_5=\mathrm{4.294.967.297}$ sayısının $641\times 6700417$ şeklinde yazılabildiğini göstererek Fermat'nın iddiasını çürütmüştür. Yine de Fermat asallarının ilk beş tanesi yani F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ =257 ve F₄=65.537 sayıları asal sayılardır. Bugünse en iyi bilgisayarlarla bile en fazla F₁₁ sayısına ulaşılabilmiştir.

Asal Sayılar Neden Bu Kadar Önemli?

Siber güvenlikten filmlere kadar asal sayılar hayatın birçok alanında kendini göstermektedir. Asal sayıların ciddi olarak önem kazanmaya başladığı zamanlarsa 1970'ler olmuştur. Çünkü bu yıllarda asal sayıların ortak anahtarlı şifreleme algoritmalarının temelinde kullanılabileceğinin farkına varılmıştır.

Yazımızın başında da belirttiğimiz gibi sayı büyüdükçe sayıyı asal çarpanlarına ayırmak zorlaşmaktadır. Bir sayıyı asal çarpanlarına kolayca ayırabilecek bir algoritma bulmak bilgisayar biliminin çözülememiş problemlerinden biridir. Bu nedenle kredi kartı bilgilerinizin çalınmasını önlemek, internette güvenli bir şekilde gezinebilmek için kullanılmaktadır. Bunların yanı sıra asal sayılar, kuantum mekaniğinde ve soyut cebirde de sıklıkla kullanılmaktadır.

Fakat belki de asal sayılarla ilgili en ilgi çekici şeylerden birisi, asal sayıları doğada görebilmemizdir. Örneğin Magicicada cinsi ağustos böcekleri yaşamlarının büyük bir çoğunluğunu yerin altında geçirirler. Biyologların gözlemleri sonucu Magicicada cinsi ağustos böceklerinin 7, 13 veya 17 yılda bir yüzeye çıktıkları görülmüştür. Birçok biyolog bunun bir tesadüf olmadığına inanıyor. Çünkü Magicicada cinsi ağustos böcekleri bu şekilde avcılarının yaşam döngüleriyle bir çeşit senkronizasyon oluşturarak avcılarından kaçınmış oluyorlar.

New York Post

Popüler Kültürde Asal Sayılar

Elbette asal sayılardan etkilenenler sadece matematikçiler olmamıştır. Matematikçilerin yanı sıra yazarlar, şarkıcılar ve sanatçılar da asal sayılardan etkilenmiştir. Kozmos belgeseliyle hepimizin yakından tanıdığı Carl Sagan, Mesaj (Contact) kitabında uzaylılarla iletişim kurulması için asal sayıların kullanıldığını kurgulamıştır. Bir başka örnek ise yine birçok kişi tarafından izlenen Akıl Oyunları (A Beautiful Mind) filmidir. Nobel Ekonomi Ödüllü matematikçi John Forbes Nash'in hayatını anlatan filmde asal sayılara da değinilmektedir.

Asal Sayılarla İlgili 3 Kısa Bilgi

1. Ne yazık ki elimizde asal sayıların dağılımını açıklayan bir formül yok. Uzun yıllardır asal sayıların dağılımını anlayabilmek için bir algoritma arıyoruz fakat henüz bulabilmiş değiliz. Bu durum asal sayıları daha da çekici kılıyor.
2. Teknik olarak "1" asal sayı değildir. Ancak bunun sebebinin ne olduğunu tam olarak bilmiyoruz. Eski Yunanlılar ve Arap matematikçiler "1" sayısını diğer sayılar gibi görmekten ziyade "birim" olarak algılıyorlardı. Bu nedenle 1, asal sayı olarak kabul edilmemiş olabilir. 18 ve 19. yüzyıllarda ise bazı matematikçiler 1'i asal sayı olarak kabul ediyordu. Günümüzdeyse asal sayılarının tanımında birtakım değişiklikler yapmamızı gerektirdiğinden 1'i asal sayı olarak kabul etmemeyi seçiyoruz.
3. İki sayı asal olmasalar bile, "aralarında asal" olabilirler. İki farklı doğal sayının 1'den başka ortak bölenleri yoksa kendi aralarında asaldırlar. Örneğin; 4 ve 25 sayıları kendi aralarında asaldır çünkü 4 ve 25'in 1'den başka ortak böleni yoktur.