Açıların Dilinden Evrenin Geometrisine: Trigonometri Nedir?

Trigonometri kelimesi, Antik Yunanca'da; "τρίγωνον", yani üçgen ve "μέτρον", yani ölçü kelimelerinden gelir. Kelimenin anlamından anlaşılacağı gibi trigonometri, üçgenlerin açıları ve kenar uzunlukları arasındaki ilişkileri inceleyen bir matematik dalıdır. Bu üçgenler, düzlemlerde veya kürelerde oluşturulabilir.

Çoğu kişi için trigonometri karmaşık olabilir ancak özünde birkaç güçlü fikre dayanır ve günlük yaşamımızda birçok alanda işimizi kolaylaştırır. Mühendislik ve mimarlıktan astronomi ve uzay bilimine, GPS ve navigasyon sistemlerinden video oyunu ve animasyon tasarımına kadar çeşitli disiplinlerde sayısız pratik uygulamaya sahiptir. Hatta yerimizden dahi kalkmadan bazı dikey yapıların yüksekliğini tahmin etmemize yardımcı olabilir.

Trigonometri ile İlgili Temel Bilgiler

Trigonometriyi hiçbir fikir sahibi olmayan ya da ön yargısı olan kişilerin genel çerçevede bir fikir oluşturabilmesi için temel bilgileri açıklayarak başlamak yerinde olacaktır.

Birim Çember

Birim çember, trigonometrik fonksiyonların ve açıların uygulanmasını kolaylaştıran matematiksel bir araçtır. Her şey düzlem üzerine çizilmiş, merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan birim çember içinde dik bir üçgen oluşturma ile başlar diyebiliriz. Birim çember kullanılır çünkü böylece elde edilecek oranlar en sade haliyle kullanılabilir.

Düzlem trigonometrisinde üçgen, iki boyutludur. Üç nokta, doğru parçalarıyla birleştirilir ve üçgen içinde oluşan açıların toplamı $180°$dir. Kullanılan altı trigonometrik oran dik üçgenler, yani $90°$lik bir açı içeren üçgenler için geçerlidir. Herhangi bir üçgende (dik açısı olmayan) de aynı oranlar kullanılabilir. Çünkü herhangi bir köşeden doğrunun tabanına dik bir doğru parçası indirilebilir ve böylece orijinal diyagram, iki dik üçgenden oluşturulabilir. Tabi buradaki eğik üçgenler için geçerli, ilerleyen kısımlarda değineceğimiz, özdeşlik ve yasalar da mevcuttur.

Bu noktada ünlü Pisagor Teoremi'nden bahsetmemiz yerinde olacaktır. İki dik kenarın karelerinin toplamı, hipotenüsün (dik açının karşısındaki kenar) karesine eşittir. Birim çemberde çizilen dik üçgen için hipotes 1'e eşitken altı trigonometrik orandan ikisi olan sinüs ve kosinüs de hesaplanabilir.

Birim çemberde açılar iki farklı şekilde ölçülür. Bunlar derece ve radyandır. Aralarındaki ilişki $Derece=Radyan(\frac{180}{\pi })$ eşitliği yardımıyla bulunur. Dolayısıyla bir tam daire $360°$ veya $2\pi$ radyandır denebilir.

Birim çember üzerindeki bazı temel ölçümler şu şekildedir:

• $0°$ $=$ $0$ radyan, $(1,0)$ noktasını,
• $90°$ $=$ $\frac{\pi }{2}$ radyan , $(0,1)$ noktasını,
• $180°=\pi$ radyan, $(0,-1)$ noktasını ve
• $270°=\frac{3\pi }{2}$ radyan, $(-1,0)$ noktasını gösterir.

Yay Uzunluğu

Yay uzunluğu bir dairenin çevresinden bir parçadır. Açımız radyan cinsinden olmak üzere yay uzunluğunun belli bir formülü bulunmaktadır. $a$, yay uzunluğu ve $r$ yarıçap olmak üzere yay uzunluğu $a=r\theta$ formülüyle bulunur. Buradan bir dairenin çevre uzunluğunu da yine radyan cinsinden yazarak gösterebiliriz. Daire çevresi $C$ olmak üzere $C=2\pi r$ dir. Dolayısıyla birim çemberin çevre uzunluğu $2\pi$ radyandır.

Trigonometrik Oranlar

Üçgende herhangi iki kenar veya herhangi iki açı biliniyorsa üçüncüsü çıkarılabilir. Tüm kenarlar veya tüm açılar ile bir kenar uzunluğu biliniyorsa bilinmeyen değerleri bulmak için trigonometrik oranlar kullanılabilir.^{[1], [2]}

Altı temel trigonometrik fonksiyon vardır. Bu fonksiyonlar aşağıdaki üçgen yardımıyla yapılan oranlamalar ile oluşturulur.

Bu diyagrama göre $\theta$, $x$ ekseniyle yapılan açı; $r$, hipotenüs; $x$, komşu kenar ve $y$ karşı kenar olarak ifade edilir. Buradan yola çıkarak $\theta$ açısı için:

Sinüs $(sin\theta )$ $=\frac{karşıkenar}{hipoten\ddot{u}s}=\frac{y}{r}$ ,

Kosinüs $(cos\theta )$ $=\frac{komşukenar}{hipoten\ddot{u}s}=\frac{x}{r}$ ,

Tanjant $(tan\theta )=\frac{karşıkenar}{komşukenar}=\frac{y}{x}=\frac{rsin(\theta )}{rcos(\theta )}=\frac{sin(\theta )}{cos(\theta )}$ ,

Kosekant $(csc\theta )=\frac{hipoten\ddot{u}s}{karşıkenar}=\frac{r}{y}=\frac{1}{sin(\theta )}$ ,

Sekant $(sec\theta )=\frac{hipoten\ddot{u}s}{komşukenar}=\frac{r}{x}=\frac{1}{cos(\theta )}$ ,

Kotanjant $(cot\theta )=\frac{komşukenar}{karşıkenar}=\frac{x}{y}=\frac{cos(\theta )}{sin(\theta )}=\frac{1}{tan(\theta )}$

oranları elde edilir.

Dolayısıyla buradan seçilen herhangi bir $\theta$ açısı için $sin$, $cos$ ve $tan$ değerleri elde edilebilir. Yukarıdan anlaşılacağı üzere bu üç temel değeri kullanarak da $csc$, $sec$ ve $cot$ değerleri de rahatça bulunabilir. Matematikte en çok kullanılan bazı açılar için değerler tablosu şöyledir:

Trigonometrik Fonksiyonlar

17 . yüzyıldan itibaren trigonometrik oranlar, görüntü ve tanım kümesi olan fonksiyonlar olarak kabul edildi. Dolayısıyla trigonometrik fonksiyonların, periyodik olan ve kendini sonsuza kadar tekrar eden grafikleri gösterilebilir.

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri

$\theta$ açısına $2\pi$ ölçüsünü eklersek çakışık olduklarını görebiliriz. Dolayısıyla $\theta$ açısının trigonometrik fonksiyon değeri ile $(\theta +2\pi )$ açısının trigonometrik fonksiyon değerleri aynıdır. Bu durum fonksiyonun periyodik olduğunu gösterir. Trigonometrik fonksiyonlar da periyodiktir ve altı temel trigonometrik fonksiyonun farklı periyotları vardır.

Grafiklere göre sin ve cos fonksiyonları sonsuza kadar sürekliyken tan, sec, csc ve cot fonksiyonları asimptotlara sahiptir. Asimptotlar eğrinin sonsuza kadar giderek yaklaştığı ancak hiçbir zaman değmeği veya kesmediği doğrulardır.

Temel Trigonometri Formülleri

Şu soruları sorarak devam edelim: Uzunluğunu bildiğimiz iki çubuğun (herhangi bir uzunlukta) uçlarını rastgele belirlediğimiz bir açıyla birleştirirsek tüm kenar uzunluklarını ve tüm açılarını bildiğimiz bir üçgen oluşturabilir miyiz? Peki uzunluğunu bildiğimiz ve rastgele uzunluklara sahip üç çubuk ile oluşturulan üçgenin açılarını bilebilir miyiz?

Dik açısı olsa da olmasa da her zaman keyfi bir üçgenin değerlerini bulmak için kullanabileceğimiz özdeşlikler vardır. Rastgele oluşturulmuş $XYZ$ üçgenini düşünelim ve kenarları $x,y$ ve $z$ olsun. $\theta$ açısının karşısındaki kenar $z$ olmak üzere;

Agora Bilim Pazarı

Alice Fikirler Diyarında

Alice, annesi ona ilk cep telefonunu alırken söylediği gibi, artık çocuk değil. Dünyaya ve onun içinde kendi yerine dair kafasında dönüp duran sorular var: İnsa…

Devamını Göster

₺380,00

Satın Al Tüm Ürünler

$z^2=x^2+y^2-2xycos\theta$

formülü Kosinüs Yasası olarak bilinir.

Trigonometrik formüller söz konusu olduğunda en yaygın bilinen formül

$co{s}^2\theta +si{n}^2\theta =1$

formülüdür. Buna Pisagor Özdeşliği de denir.

Çift ve yarım açı formülleri ise şu şekildedir:

• $cos2\theta =co{s}^2\theta -si{n}^2\theta$ ,

$sin2\theta =2sin\theta cos\theta$ çift açı formülleri olmak üzere;

• $co{s}^2\theta =\frac{1+cos2\theta }{2}$ ,
• $si{n}^2\theta =\frac{1-cos2\theta }{2}$ yarım açı formülleridir.

$\varphi$ başka bir açı olmak üzere açılar arasında toplama veya çıkarmak yapmak için

• $cos(\theta +\varphi )=cos\theta cos\varphi -sin\theta sin\varphi$ ,
• $sin(\theta +\varphi )=sin\theta cos\varphi +cos\theta sin\varphi$ ,
• $cos(\theta -\varphi )=cos\theta cos\varphi +sin\theta sin\varphi$ ,
• $sin(\theta -\varphi )=sin\theta cos\varphi -cos\theta sin\varphi$ özdeşlikleri kullanılır.^[3]

Teklik/çiftlik (negatif açı özdeşliği olarak da bilinir) özdeşlikleri:

$sin(-\theta )=-sin\theta$

$cos(-\theta )=cos\theta$

$tan(-\theta )=-tan\theta$

$csc(-\theta )=-csc\theta$

$sec(-\theta )=sec\theta$

$cot(-\theta )=-cot\theta$

Çarpım-toplam özdeşlikleri:

$sin\theta sin\varphi =(\frac{cos(\theta -\varphi )-cos(\theta +\varphi )}{2})$

$cos\theta cos\varphi =(\frac{cos(\theta -\varphi )+cos(\theta +\varphi )}{2})$

$sin\theta cos\varphi =(\frac{sin(\theta +\varphi )+sin(\theta -\varphi )}{2})$

$cos\theta sin\varphi =(\frac{sin(\theta +\varphi )-sin(\theta -\varphi )}{2})$

Toplam-çarpım özdeşlikleri:

$sin\theta +sin\varphi =2sin(\frac{\theta +\varphi }{2})cos(\frac{\theta -\varphi }{2})$

$sin\theta -sin\varphi =2sin(\frac{\theta -\varphi }{2})cos(\frac{\theta +\varphi }{2})$

$cos\theta -cos\varphi =-2sin(\frac{\theta +\varphi }{2})sin(\frac{\theta -\varphi }{2})$

$cos\theta +cos\varphi =2cos(\frac{\theta +\varphi }{2})cos(\frac{\theta -\varphi }{2})$

şeklinde gösterilebilir.

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik fonksiyonlar görüldüğü gibi bize bir oran yani sayısal bir değer vermektedir. Bu noktada, trigonometrik fonksiyonları tersine çevirerek açılar elde edeceğimiz ters trigonometrik fonksiyonlardan bahsetmek yerinde olacaktır.

Trigonometrik fonksiyonların tersleri $si{n}^{-1}x$, $co{s}^{-1}x$ vb. şekilde gösterilir. Aynı zamanda yazının devamında kullanacağımız şekliyle $arcsin,arccos,arctan,arccot,arcsec,arccsc$ olarak kullanılır. Buradaki altı trigonometrik fonksiyon için de geçerli olmak üzere $arcsinx=y$ dediğimizde fonksiyonun tanım kümesi ve görüntü kümesi tablodaki gibi olacaktır. Bu bize radyan cinsinden elde edeceğimiz açıların aralıkları ile ilgili fikir verecektir.

Mathmonks

Ters trigonometrik fonksiyonlar için $x$ ve $y$ iki farklı değer olmak üzere en sık kullanılan formüller şu şekildedir:

$arcsin(\frac{1}{x})=arccscx$

$arccos(\frac{1}{x})=arcsecx$

$arctan(\frac{1}{x})=arccotx$

$arctanx+arccotx=\frac{\pi }{2}$

$arcsinx+arccosx=\frac{\pi }{2}$

$arccscx+arcsecx=\frac{\pi }{2}$

$arctanx+arctany=arctan(\frac{x+y}{1-xy})$

$2arctanx=arcsin(\frac{2x}{1+x^2})=arccos(\frac{1-x^2}{1+x^2})=arctan(\frac{2x}{1-x^2})$

Türev Tanımı ve Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

Bir fonksiyonunun bir noktadaki türevi, fonksiyonun o noktadaki teğetinin eğimidir. $f(x)$ bir fonksiyon olmak üzere bu fonksiyonun türevi $f^{\prime }(x)$ şeklinde gösterilir. Türev alma işleminin bir dönüşüm olduğunu vurgulamak amacıyla bir başka notasyon olan $\frac{d}{dx}f(x)$ notasyonunu kullanacağız.

$f^{\prime }$ türev fonksiyonunun tanım kümesi, $f$ fonksiyonunun tanım kümesinde limiti olan noktaların kümesidir. Herhangi bir $x$ noktasında $f^{\prime }$ türev fonksiyonunun olması, $f$ fonksiyonunun bu noktada (x noktası) türevlenebilir olduğunu; $f^{\prime }$ türev fonksiyonunun $f$ fonksiyonunun tanım kümesinin her noktasında var olması $f$ fonksiyonunun türevlenebilir olduğunu gösterir. O halde $x$ bir değişken ve $h$ ise $x$'teki mümkün olan en küçük değişim olmak üzere limitin var olduğunu varsayarsak $f(x)$ fonksiyonunun $x$ noktasındaki türevi şu şekilde tanımlanır:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Türev Gösterimi ve Trigonometrik Fonksiyonların Türev Formülleri

Trigonometrik fonksiyonların türev gösterimini daha anlaşılır kılmak için limit tanımını kullanarak $cosx$ fonksiyonunun türevini bulabiliriz. $f(x)=cosx$ olsun. O halde;

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

tanımından,

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{cos(x+h)-cosx}{h}$

yazalım. Bu noktada yazımızda daha önce bahsetmiş olduğumuz trigonometrik fonksiyonlarda açı toplamları ile ilgili özdeşliği kullanmalıyız. Buna göre $cos(x+h)=cosxcosh-sinxsinh$ elde edilir ve işlemde yerine yazılır.

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(cosxcosh-sinxsinh)-cosx}{h}$

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{cosx(cosh-1)-sinxsinh}{h}$

limit özelliğinden,

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }(cosx\frac{cosh-1}{h})-\underset{h\to 0}{\lim }(sinx\frac{sinh}{h})$

elde edilir. Yine limit özelliği h değerine bağlı olmayan değerleri limit dışına çıkartırsak

$f^{\prime }(x)=cosx\underset{h\to 0}{\lim }(\frac{cosh-1}{h})-sinx\underset{h\to 0}{\lim }(\frac{sinh}{h})$

eşitlikte gördüğümüz limit değerlerini bulduğumuzda

$f^{\prime }(x)=cosx\underset{\text{limit 0}}{\underset{h\to 0}{\lim }\frac{cosh-1}{h}}-sinx\underset{\text{limit 1}}{\underset{h\to 0}{\lim }\frac{sinh}{h}}$

olur ve sonraki adım bize sonucu verir.

$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}cosx=cosx\cdot 0-sinx\cdot 1=-sinx$

Bir trigonometrik fonksiyonun nasıl türevlendiğini böylece göstermiş olduk.

Diğer trigonometrik fonksiyonlarla birlikte ters trigonometrik fonkiyonların türevleri tablodaki gibidir:

Tabi bu eşitliklerde özellikle ters trigonometrik fonksiyonların türevlerinde $x$'in tanım kümesi önemlidir. Paydayı $0$ yapacak $x$ değerleri bu kümede değildir.

Zincir Kuralı

Türevlenebilir ve bileşik bir fonksiyon düşünelim. Bu fonksiyonun türevini elde edebilmek için fonksiyon iki ayrı fonksiyonmuş gibi düşünülerek bileşke fonksiyon oluşturulur ve bu bileşke fonksiyonda türevlerin çarpımı Zincir Kuralı olarak bilinir. Bu işlemin Leibniz gösterimi; fonksiyonumuz $y=f(u)$ iken $u=g(x)$olmak üzere $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$ şeklindedir. Bir başka gösterim ise $F(x)=f(g(x))$ olmak üzere $F^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$ olarak da ifade edilebilir.

Zincir kuralı fonksiyonlarda türev alma işlemini kolaylaştıran bir yöntem olduğundan trigonometrik fonksiyonlar için de geçerlidir ve uygulanabilir. Bir örnek ile bu kuralın uygulanışını trigonometrik fonksiyonlar üzerinden gösterelim.

$f(x)=cos(2x)$ fonksiyonunun türevini alırken içteki fonksiyon yani $g(x)=2x$ yazılır. $cos(x)$ 'in türevi $-sin(x)$ olduğundan içteki fonksiyonu değiştirmeden türev aldığımızda dıştaki fonksiyonun türevi $-sin(2x)$ olur. Sonuç olarak içteki fonksiyonun türevi $g^{\prime }(x)=2$ için $f^{\prime }(x)=-sin(2x)\cdot 2=-2sin(2x)$ olarak bulunur.^[4]

İntegral Tanımı ve Trigonometrik İntegraller

İntegral terimi matematikte birçok kavramı ifade edebilir. En yaygın anlamı sürekli bir bölgenin içeriğini bulmak için sonsuz küçük parçaya bölerek hesaplama işlemidir. Temel hesaplamalarda kullanılan Riemann integrali, kalkülüste alan hesabı olarak yorumlanabilir. Riemann integrali iki şekilde sınıflandırılabilir: belirli integraller ve belirsiz integraller. Belirli bir a,b aralığını hesaplıyorsak ${\int }_a^{b}f(x)dx$ şeklinde yazılırken belirsiz integralde bir aralık söz konusu değildir ve $\int f(x)dx$ şeklinde gösterilir.

Trigonometrik Fonksiyonların İntegralleri

Genel olarak en basit ifadeyle integralin içindeki fonksiyon, aradığımız fonksiyonun türevi alınmış şeklidir denebilir. Ancak burada aradığımız fonksiyonda türevi alınmış ve integral içine yazılmayan bir sabit olabilir. Bu sebeple yaygın olarak bu sabit integral sabiti olarak ifade edilir ve $C$ ile gösterilir. Örneğin cosx fonksiyonu, sinx fonksiyonunun türevi olmak üzere $\int acosnxdx=\frac{a}{n}sinnx+C$ formülü kullanılır. Birçok trigonometrik integral formülü mevcuttur. En temel trigonometrik fonksiyonların integral formülleri,

$\int sinaxdx=-\frac{1}{a}cosax+C$

$\int cosaxdx=\frac{1}{a}sinax+C$

$\int tanaxdx=-\frac{1}{a}ln\mid cosax\mid +C$

$\int secaxdx=\frac{1}{a}ln\mid secax+tanax\mid +C$

$\int cscaxdx=\frac{1}{a}ln\mid cscax-cotax\mid +C$

$\int cotaxdx=\frac{1}{a}ln\mid sinax\mid +C$

şeklinde listelenebilir.

Ters Trigonometrik Fonksiyonların İntegrali

Yine en temel ters trigonometrik fonksiyonların formülleri şu şekildedir:

$\int arcsinxdx=xarcsinx+\sqrt{1-x^2}+C$

$\int arccosxdx=xarccosx-\sqrt{1-x^2}+C$

$\int arctanxdx=xarctanx-\frac{ln(x^2+1)}{2}+C$

$\int arccotxdx=xarccotx+\frac{ln(x^2+1)}{2}+C$

$\int arcsecxdx=xarcsecx-ln(\mid x\mid +\sqrt{x^2-1})+C$

$\int arccscxdx=xarccscx+ln(\mid x\mid +\sqrt{x^2-1})+C$

İntegral içinde bulunmayan ancak ters trigonometrik fonksiyonlarla sonuçlanan integraller de mevcuttur.^[5]

Euler Özdeşliği ve Karmaşık Trigonometrik Fonksiyonlar

Karmaşık cos ve sin fonksiyonları üstel ifadeler şeklinde yazılabilir. Bu kullanım özellikle integral çözümlerinde kolaylık sağlamaktadır. Her reel $\theta$ değeri için $e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$ formülü geçerlidir. Euler Özdeşliği olarak bilinen bu denklem bize her kompleks $a+ib$ için $e^{a+ib}$ değerini $e^a\cdot e^{ib}$ şeklinde tanımlamamızı sağlar. Euler denkleminde $\theta$ değerini radyan cinsinden $\pi$ olarak yazarsak $e^{i\pi }=cos\pi +isin\pi$ elde ederiz. $cos\pi =-1$ ve $sin\pi =0$ değerlerine sahip olduğundan denklem $e^{i\pi }+1=0$ şeklinde yazılabilir ve bu ifade matematikteki en önemli beş sabiti biraraya getirir.

Karmaşık trigonometrik fonksiyonlara gelirsek temel iki ifadeyi yazmamız yeterli olacaktır:

$cosz=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})$

$sinz=-\frac{i}{2}(e^{iz}-e^{-iz})$

Hiperbolik Fonksiyonlar

Euler formülü trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar arasında bağlantı kurmamızı sağlar. Hiperbolik fonksiyonlar kompleks düzlemde dairesel açılar olarak da ifade edilebilir. Aralarındaki ilişki $-isin(iz)=sinh(z),cos(iz)=cosh(z),-itan(iz)=tanh(z),icot(iz)=coth(z),sec(iz)=sech(z),icsc(iz)=csch(z)$şeklinde gösterilebilir. Karmaşık özdeşliklerden ise

$sin(x+iy)=(sinxcoshy)+i(cosxsinhy)$

$cos(x+iy)=(cosxcoshy)-i(sinxsinhy)$

eşitliklerinden bahsedilebilir.^[6]

Hiperbolik fonksiyonlar;

• $sinhx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$,
• $coshx=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$,
• $tanhx=\frac{sinhx}{coshx}$,
• $cothx=\frac{coshx}{sinhx}$,
• $sechx=(coshx{)}^{-1}$,
• $cschx=(sinhx{)}^{-1}$ şeklinde gösterilmektedir.

Küresel Trigonometri

Küresel trigonometride, kürenin yüzeyindeki üçgenler incelenir. Kürenin yüzeyine yarıçapı $R$ olan, merkez noktası $O=(0,0,0)$ olan ve köşe noktalarındaki açıları $A,B$ ve $C$olan bir üçgen çizelim.

Kürenin merkezinden köşelere olan vektörler $a\equiv OA,b\equiv OB,c\equiv OC$

olacaktır. Üçgenin kenar uzunlukları, yani yay uzunlukları, $a^{\prime },b^{\prime }$ ve $c^{\prime }$ olmak üzere $a=R{a}^{\prime },b=R{b}^{\prime }$ ve $c=R{c}^{\prime }$ eşitlikleri yazılır. Sonuç olarak;

• $a\cdot b=R^{2}cos{c}^{\prime }$,
• $a\cdot c=R^{2}cos{b}^{\prime }$ ve
• $b\cdot c=R^{2}cos{a}^{\prime }$ elde edilir.

$AOB$ ve $AOC$ düzlemleri arasındaki $A$ açısı, düzlemlere dik doğruların nokta çarpımı kullanılarak hesaplanabilir. Yapılan vektörel çarpımlarla da küresel trigonometrik özdeşlikler elde edilir.^[7]

Sonuç

Bir binanın yanında duran ve binanın yüksekliğini merak eden bir çocuğun ihtiyacı olan bilgiler sadece bina ile arasındaki mesafe ve binanın bitiş noktasıyla yaptığı açı. Böylece trigonometrik formüller kullanılarak binanın yüksekliği bulunabilir. Günümüzde trigonometri sayesinde bir uçağın rotasının yönü, hızı ve eğimi hesaplanabilmektedir. Aynı zamanda astronomide roketlerin tasarlanması, fırlatılması vs. gibi görevlerde mutlak ihtiyaç duyulmaktadır. Bunun gibi günlük hayatta birçok kullanım alanına sahip olan trigonometri her bireyin belli düzeyde bilgi sahibi olması gereken temel bir matematik disiplinidir.