Uzayda neden tüm noktaların aralarındaki mesafelerin eşit olduğu durumlarda maksimum nokta sayısı dörttür?

3 boyutlu uzayda bir A noktasına R uzaklıkta olan noktalar kümesi aslında A merkezli ve R yarıçaplı kürenin tanımıdır. Eğer birbirine R uzaklıkta noktalar seçmek istiyorsak bunu bir A noktasını sabitleyip diğer noktaları da A merkezli ve R yarıçaplı kürenin üzerinden seçmemiz gerekir. İkinci noktamız bu küre üzerindeki herhangi bir B noktası olsun. Üçüncü noktamız olan C de küremizin üzerinde olması gerektiği gibi B merkezli ve R yarıçaplı bir kürenin de üzerinde olmalıdır çünkü B'ye olan uzaklığı da R olmalıdır. Karışıklık olmaması için X merkezli R yarıçaplı küreye K(X) diyelim. İki kürenin kesişimi çember olduğundan K(A) ve K(B) üzerinde olması gereken diğer noktalar bir çember üzerinden seçilmelidir. Bu çember üzerinden seçeceğimiz noktalar zaten A ve B noktasına R uzaklıkta oldukları için bunların kendi aralarındaki uzaklığın R olmasını sağlamak yeterlidir. Bunun için bu çemberin çapını bulmalıyız. Kürelere yandan 2 boyutlu bir şekilde bakarsak,

Bu kürelerin yandan görünüşü şekildeki gibi olacaktır. X ve Y noktaları da kesişim ile oluşan çemberin en uzak noktaları olur yani çapını oluşturur. Küre olduklarından dolayı |AX|,|AY|,|BX|,|BY| ve |AB| uzunluklarının hepsi R olacaktır. Yani ABX ve ABY eşkenar üçgen olacaktır. |XY| uzunluğu da bu üçgenlerin yüksekliklerinin toplamı olduğundan |XY| uzunluğu yani çemberin çapı R*kök(3) olacaktır.

Şimdi asıl soru R*kök(3) çapına sahip bir çember üzerinde birbirine olan uzaklığı R olan kaç tane nokta seçebilirizdir. Eğer 3 nokta seçebiliyorsak bu 3 noktanın oluşturduğu eşkenar üçgen bu çemberin üzerinde olacaktır fakat R kenar uzunluğuna sahip eşkenar üçgenin çevrel çemberinin çapı 2R*kök(3)/3'dür. Yani R*kök(3) değildir. Dolayısıyla bu çember üzerinde 3 tane nokta seçemeyiz, en fazla 2 nokta seçebiliriz. A ve B noktalarını da eklersek birbirlerine eşit uzaklıkta en fazla 4 nokta seçebiliyoruz. Eşkenar üçgen piramit (düzgün dörtyüzlü) köşeleri bu 4 noktaya örnektir.

Not: n boyutlu düzlem için koordinat sistemi kullanarak n+1 nokta olabileceği cebirsel olarak ispatlanabilir gibi gözüküyor. Aslında bu çözüm sırasında yaptığımız küreden çembere geçirerek boyut azaltma işlemi uygulanarak da gösterilebilir belki ama üst boyutlarda kürenin karşılığının ne olduğunu bilmediğimden o konuya girişmedim.