Daha kapsamlı bir cevap verebilmek için kümeler hakkında biraz bilgin olduğunu varsayıyorum.
Bir sayıyı tanımlamanın birden fazla yolu vardır, bunlardan biri de bir sayıyı, mesela n diyelim bu sayıya, n elemanlı kümelerin kümesi olarak tanımlamak ( demek istediğimi anlamak biraz zor olabilir, o yüzden üzerine düşünmek yararlı olabilir). Mesela 1 sayısı tek elemanlı kümelerin kümesidir (çünkü 1 dediğimizde ne bir elmadan söz ediyoruz ne de bir armuttan, 1 ile demek istediğimiz şey bu bir elma, bir armut, bir araba vb. gibi şeylerin ortak özelliği, ki bu durumda biz bu özelliği (teklik özelliğini) bu 1 kümesinde topluyoruz).
Peki o zaman, burdan yola çıkarak üslü sayıları nasıl tanımlarız, yani nedir üslü sayılar? Bir örnek ile açıklayayım:
(yine farklı yaklaşımlar olabilir)
Mesela 2^2' yi ele alalım, 2^2 'yi 2 harfle yazılabilecek 2 harf uzunluğdaki kelimeler kümesi olarak düşünebiliriz.
Harflerimiz A ve B olsun, o zaman A ve B ile oluşturulabilen iki harf uzunluğundaki kelimeler:
{AA}, {AB}, {BA}, {BB} dir.
Benzer şekilde 2^b yi 2 harfle ve b uzunluğunda oluşturulabilecek kelimelerin kümesi şeklinde düşünebiliriz: _ _ _ _ . . . _ burda b adet boşluk var ve her boşluğa gelebilecek 2 adet harf var, bu yüzden elde edebileceğimiz farklı kelime sayısı 2x2x2x...x2 (b tane 2 ) dir, diğer bir gösterimle 2^b dir.
O zaman artık a^b yi şöyle tanımlayabiliriz: "a adet elemanla oluşturulabilecek b uzunluğundaki kümelerin kümesi a üzeri b dir ve a^b şeklinde gösterilir.".
Artık soruna dönmenin vakti geldi, 2^0 (veya a^0) niye 1'e eşit?
Çünkü 2^0 2 elemanla oluşturulabilecek 0 uzunluğundaki kümelerin kümesidir, ve bu da sadece {} (veya Ø) yani boş kümedir, dolayısıyla böyle bir kümeden yalnız 1 adet vardır.
