Zenon paradoksu matematiksel olarak mümkün müdür?

Zenon paradoksu: d=x mesafe olan yolun her n inci adımda x/2ⁿ kadar gidilmesi sonucunda alınan toplam yolun hiç bir zaman d=x e eşit olamayacağını öngören, Zenon'un Elea okulunda kendisi gibi bir Determinist olan öğretmeni Parmenides'in hareketin imkansızlığına dair fikrini savunmak için ortaya attığı bir paradokstur^[1]. Paradoksu matematiksel anlamda inceleyecek olursak Alınan Yol=^∞Σ_k=1(x/2^k)=x/2 + x/4 + x/8 + ... + x/2^k şeklinde ifade edilebilir. Bu durumda x≈^∞Σ_k=1(x/2k) işlemini doğru kabul edersek x≈x/2 + x/4 + x/8 + ... + x/2^k olur ve her iki tarafıda (2) ile çarparsak: 2x≈x + X/2 + x/4 + x/8 ... + x/2^k-1 eşitliğini elde ederiz. Burda lim k->∞ olduğundan k-1≈k olur ve başta x≈x/2 + x/4 + x/8 + ... + x/2^k eşitliğini doğru kabul ettiğimizden 2 taraftan da x çıkarırsak x≈x gibi doğru bir sonuçla karşılaşırız. Burdan anlayabileceğimiz üzere matematiksel olarak da Zenon paradoksunun geçerliliğinden söz edilemez.

Matematiksel olarak Zeno bir paradoks değildir ve gayet çözülebilir bir problemdir. Bunu basitçe çözmek için geometri toplam formülü ve sonsuz toplam kullanarak çözebiliriz. Bunun için şu şekilde bir denklem yazmak mümkün:

Denklemi çözmek için geometrik toplam formülü uygulayabiliriz bunu yaparsak denklemine ulaşılırız ve geometrik toplam formülünde da dahil olduğu için 1 çıkartırsak cevabımız 1 olur yani yolun sonuna gayette ulaşılır 🏃