Zeno Paradoksu nedir?

Zeno muhtemelen kırk paradoks oluşturdu, bunlardan sadece on tanesi biliniyordu. Sadece ilk dördünün standart isimleri var ve en çok ilk ikisinin dikkatini çekmiştir. Ve Paradokslar eşit kalitede değil.

a. Hareket Paradoksları

Aşil

İkilik (Dikotomi)

Ok

Hareketli sıralar (Stadyum)

b. Çoğulluk Paradoksları

Benzer ve farklı

Sınırlı ve sınırsız

Büyük ve küçük

Sonsuz bölünebilirlik

c. Diğer Paradokslar

Darı tanesi

Yere karşı¹

Ali Nesin'in söylediklerine bakalım: Zenon kolay kolay yutulmayacak bir düşüncenin savunucusu olan Parmenides’in sadık bir öğrencisiydi. Parmenides şu inanılmaz düşünceyi savunuyordu: Gerçek tektir ve değişmez. Çokluk, değişim ve hareket aslında yokturlar ve duyularımızın bizi kandırmasından kaynaklanırlar...

Zenon hocasının felsefesiyle alay edenleri susturmak için dört paradoks geliştirir.²

En çok bilinenleri ilk dördü. Hatta bazı kaynaklarda Zeno'nun 4 paradoksu olduğu bile yazılmış (mesela yukarıdaki Ali Nesin'in yazısında). Bunun nedenini sanırım anlayabiliyorum: Hareket paradoksları dışında diğer paradokslar kendi içinde çelişki içeriyormuş. Bir de Zeno'nun paradokslarını Aristo'nun Fizik, Platon'un Parmenides adlı eserlerinden biliyoruz. Bu kişiler, paradokslara kendi yorumlarını da katmış olabileceğinden -ki Aristo bunu yapmış- b ve c başlığındakilere bakarak Zeno'nun ne ifade ettiği anlaşılmıyor. O yüzden ben de hareket paradoksları dan en çok bilinen ilk ikisi hakkında bir şeyler yazmak istiyorum.

Aşil paradoksu

Paradoksu Ali Nesin anlatıyor: Zenon, paradokslarının birinde, yarıtanrı Aşil’le kaplumbağayı yarıştırır. Kaplumbağa Aşil’den çok daha yavaş olduğundan, Aşil’in önünden başlar yarışa. Zenon, Aşil’in kaplumbağayı hiç yakalayamayacağını savunur. Şöyle: Kaplumbağayı yakalayabilmesi için, Aşil’in önce kaplumbağanın yarışla başladığı ilk noktaya erişmesi gerekmektedir. Aşil bu noktaya eriştiğindeyse, kaplumbağa biraz daha ilerde olacaktır. Şimdi Aşil, kaplumbağanın bulunduğu bu yeni noktaya erişmelidir. Aşil, kaplumbağanın bulunduğu bu yeni noktaya vardığındaysa, kaplumbağa biraz daha ilerde olacaktır. Çünkü kaplumbağa hiç durmamaktadır, devamlı gitmektedir. Bu böyle sürer gider ve Aşil kaplumbağaya hiçbir zaman erişemez.³

wikimedia

Tolstoy da Savaş ve Barış'ında bu paradokstan şöyle söz etmiş: Eskilerin meşhur teorisi: Akhilleus, önünde giden kaplumbağaya, kendisi ondan on kere daha hızla gittiği halde, hiçbir zaman yetişemez; çünkü, kendisiyle kaplumbağa arasındaki mesafeyi aşana kadar kaplumbağa onun önünde bu mesafenin onda birini gitmiş olacak; Akhilleus, bu onda biri aşana kadar da kaplumbağa yüzde birini gitmiş olacak ve bu böyle sonsuza dek sürecektir. Eskiler, bu sorunu çözümlenmez sayarlardı. Akhilleus hiçbir zaman kaplumbağaya yetişemez sonucunun saçmalığı, hareketin keyfe göre parçalara bölünmesi yüzündendir; oysa Akhilleus’in de kaplumbağanın da hareketleri arasızdır.⁴

(Son cümle o kadar vurucu ki... Kaplumbağaya yetişemez sonucunun saçmalığı, hareketin keyfe göre parçalara bölünmesi yüzündendir.)

Paradoksu yorumladıktan sonra çözümünü de ekliyor, Ali Nesin: Yaşamda böyle olmaz demeyin. Parmenides de, Zenon da, sizin gibi, yaşamda Aşil’in kaplumbağayı yakalayacağını biliyorlar. Ancak, gördüğümüzün gerçek olmadığını, duyularımızın bizi aldattığını ileri sürüyorlar. Bu paradoks üzerine düşünelim. Fikirlerimizi sabitlemek için, Aşil’in yarışa kaplumbağanın 100 metre gerisinden başladığını varsayalım. Aşil diyelim saniyede 100 metre hızla koşsun. Kaplumbağa kıpırdamasa, Aşil bir saniyede yakalayacak kaplumbağayı. Ama kaplumbağa da i kaçıyor... Kaplumbağa da saniyede 10 metre hızla koşsun. Varsayalım ki öyle... Aşil’in yarışta başladığı noktaya A₀ adını verelim. Aşil bir saniye sonra kaplumbağanın bulunduğu ilk noktaya, A₁ noktasına erişecektir. Bu bir saniyede kaplumbağa 10 metre yol alacaktır ve A₂ noktasına varacaktır. Aşil A₂ noktasına 1/10 saniye sonra varacaktır. Bu 1/10 saniyede kaplumbağa 1 metre gitmiş olacaktır. Aşil bu 1 metreyi, 1/100 saniyede koşacaktır...⁵

Aşil A₀ noktasından A₁ noktasına 1 saniyede koşar

Aşil A₁ noktasından A₂ noktasına 1/10 saniyede koşar

Aşil A₂ noktasından A₃ noktasına 1/100 saniyede koşar

Aşil A₃ noktasından A₄ noktasına 1/1000 saniyede koşar

Demek ki, der matematiçiler, Aşil, 1+1/10+1/100+1/1000+... saniyede kaplumbağaya erişir. Basit bir aritmetik, bu sonsuz toplamın 10/9 olduğunu gösterir. Dolayısıyla Aşil kaplumbağayı 10/9 saniye sonra, yani 2 saniyeden, hatta 1,2 saniyeden az bir zamanda yakalar.(Hesaplamak istediğimiz 1+1/10+1/100+… sonsuz toplamına S adını verelim:S =1+1/10 +1/100+… Şimdi S’yi 10’la çarpalım: 10S =10+1+1/10+1/100+…=10+S Bu eşitlikten de S’nin 10/9 olduğu çıkar…)⁶

Ali Nesin, bu paradoksun neden uzun süreler sevildiğini çözümden sonra şöyle anlatır: Filozoflar bu yanıttan pek hoşnut kalmazlar. Her şeyden önce sonsuz toplamdan rahatsız olurlar. Filozoflar, matematikçilerin matematik yaparken sonsuz tane sayıyı toplamalarına sözetmezler, buna göz yumarlar, ama gerçek yaşamdan alınmış bir probleme uygulanmasına ve sonra çözümün yaşama uygulanmasına karşı çıkarlar.⁷

İkilik (Dikotomi) paradoksu

wikimedia

A kişisinin d noktasına gitmesi gerektiğini hayal edelim. Fakat d'ye gitmeden, önce d'ye olan mesafenin yarısını gitmek zorundadır. Fakat d'ye olan mesafenin yarısını gitmeden önce bu mesafenin çeyreğini gitmesi gerektir. Daha sonra çeyreği gidebilmek için sekizde birini gitmesi gerekmektedir; bu böyle devam eder. Sonuç olarak A kişisinin sonsuz sayıda mesafe gitmesi gerekir.

Bu seride bir sorun daha vardır; her ilk mesafe aralığı ikiye bölünebileceği için gidilmesi gereken belirli bir ilk mesafe yoktur.

wikimedia

Böylece bu yolculuğun bir başlangıç noktası yoktur, yani yolculuğa başlayamaz. Bu paradoks sonuç olarak belirli bir mesafenin yolculuğunun tamamlanamaycağını veya başlanamayacağını, böylece de her hareketin sadece bir illüzyondan ibaret olacağını ifade eder. (Buraya tıklamanızı ve 38:40-39:13 kısmını izlemenizi⁸ tavsiye ederim.)

Bergson bu paradoksları ok paradoksunu şöyle çözmeyi öneriyor: Bir hareketin belirlenmesi için hareketin başladığı ve bittiği noktaların verilmesi gerekmektedir. Okun hareketini ikiye bölmek demek, bir hareketin değil, iki hareketin olduğunu göstermek demektir. Okun hareketini ikiye bölmeye hakkımız yoktur. Okun bir ve bir tek hareketi vardır. Okun aldığı yolu ikiye bölebiliriz ama okun hareketini ikiye bölemeyiz.⁹

¹: Aşağıda 2. kaynakta verdiğim siteden alınmıştır.

^{2, 3, 5, 6, 7, 9}: Ali Nesin'in Doğa ve Matematik kitabından alınmıştır. (syf:137-142 arası)

⁴: Tolstoy-Savaş ve Barış 3. bölüm

⁸: Polis filmi

Görseldeki film sahnesi 1994 yapımı Aşk ve Zeka (I.Q.) filmine ait.

Merhaba, Zenon Paradoksu olarak bildiğimiz paradoks pek meşhur fakat biraz yanlış bakış açısına sahiptir. Öncelikle paradoksun kendisini tanımlamak gerekirse, Zenon Paradoksu der ki; Örneğin gideceğiniz 100 metrelik bir yol olsun. Bu yolun yarısına vardığınız vakit geriye 50 metre kalır,peki biraz daha gidip bu kalan 50 metrenin de tamtamına yarısına gelirsek geriye ne kalır ? 25 metre ve bu böyle devam eder. Zenon'un burada yapmış olduğu bakış açısında "Ne kadar gidersen git gideceğin yolun yarısının yarısının yarısı sonsuza dek devam edebilir ve yolun mesafesi sonsuzdur."der. Fakat istediğiniz kadar gidin sonunda arkanızda gittiğiniz ve önünüzde gideceğiniz olan yolu ölçerseniz sonuç hep aynıdır. Mesela önce 50 metre gittik ve bu 100 metrelik yolun 50/100'üne tekabül eder sonra kalan 50 metreyi yarıladık ve toplam 50+25 metre yani 75 metre gitmiş olduk ve 25 metre kaldı. Şimdi hesap yaparsak bunların hepsi bu yolun uzunluğuna eşit olacaktır değişen tek şey kalan mesafenizin daha küçük parçalara ayırmak olur. Bu değişmez bir sonuçtur sonsuz bir cevap değil. Eğer paradokslara merak ediyorsanız Bertrand Russel'ın "Berber Paradoksu"na ve de "Einstein Bulmacası" adlı matematiksel problemler,bulmaca ve paradokslar kitabına da bakabilirsiniz. Ve eğer yazımdan pek birşey anlamadıysanız görsel yolla aşağı bırakacağım linkten de daha akılda kalıcı olarak bilgi sahibi olabilirsiniz, sağlıcakla kalın.