Teorem ve aksiyom nedir? Matematik neden tanımlanmamış terimlere ihtiyaç duyar?

Aksiyomatik sistemin inşasına bir göz atalım :

1. Önerme kavramına bakış. Öncelikle sezgilerimizin bizi götürdüğü kimi ifadeler oluştururuz. Örneğin bir noktadan sezgilerimize göre sonlu olmayan sayıda doğru geçebileceğini fark edip , bunu ifade haline getiririz. Bu aşamada ortaya bir önerme atmış sayılırız : "Bir noktadan sonlu olmayan sayıda doğru geçer".
2. Aksiyom kavramına bakış. Matematiği bir oyuna benzetirsek , bu oyunun kuralları ve bölümlerinin nasıl dizayn edildiği bilgisi tıpkı bizim sezgilerimizle ortaya çıkardığımız önermelerde olacağı gibi , kimilerinin aslında referans noktasında kalması gerektiğini gösterir. Yani ortaya attığımız ifadenin doğru yada yanlış olarak kategorize edilmesi için gerekli bir veri yoktur , böylece bu ifade aslında yaptığımız matematiğin referans noktası olmuş olur. İşte bu tür önermelere de aksiyom denir. Aksiyomlar , kanıtlanamayan önerme demek değildir , referans belirleyen önerme demektir.
3. Teorem kavramına bakış. Matematiği oyuna benzetmeye devam edelim. Elimizde oyunun kuralları ve oyundaki karşılaşacağımız şeylerin bilgisi var. Bilgiler ve oyunun kurallarını kullanarak adımlar atar , böylelikle işleyiş hakkında ortaya çıkan ifadeleri çözümleriz. Bunun analojimizdeki yeri ise şudur: Bir teorem , aksiyomlar , tanımlar ve diğer önermelerden hareketle doğruluğu ya da yanlışlığı kanıtlanabilir önermelerdir. Aksiyomlar ve tanımlar yordamıyla , tıpkı birbirine bütünleşik tuğlalar dizer gibi daha fazla yorumda bulunmamızı sağlayacak teoremler kanıtlar ya da çürütebiliriz.

Matematik neden tanımsız kavramları içerir ?

Örneğin nokta , doğru gibi kavramlar ; tamamen zihinsel ve soyut olan geometrinin , olması gerektiği gibi doğadan soyutladığı , tanımlanmamış oluşunun da "sanki var olmayan bir şeymiş gibi" anlaşılmaması gereken kavramlarındandır. Tanımlanmaz ama tanımsız diğer kavramlarla olan ilişkisi ve bir nevi "çalışma biçimi" aksiyomlarla belirlenir. Mustafa Yağcı'dan şu alıntıyı yapıyorum:

Tanımsız olarak, nokta, doğru ve düzlem dediğimiz nesneler doğadan soyutlama yolu ile elde edilen ve sadece zihinde yer alan soyut nesneler olup bunlar arasındaki ilişkileri gösteren aksiyomlar da gene doğadan soyutlama ile ifadelerini bulan sade ve doğru önermelerdir.