Pi sayısı irrasyonel. Başka bir deyişle pi sayısını a/b ya da a,bcd … biçiminde rakamlarla tam olarak ifade etmek mümkün değil.
Ancak çeşitli yöntemler kullanarak pi sayısının yaklaşık değeri hesaplanabiliyor.
Hatta limit ve yinelemeli algoritmalar gibi matematiksel kavramlar pi sayısının değerini hesaplamak için gösterilen çabaların ürünüdür.
Tüm Reklamları Kapat
Pi sayısının değeriyle ilgili ilk tahminlerse günümüzden 3000-4000 yıl öncesinde yapılmıştı. Matematiksel yöntemlere değil deneme yanılmaya dayanan bu tahminlerdeki hata oranı yüksekti.
Yazılı kaynaklarda rastlanan en eski tahmin Babillilere ait. MÖ 1900-1600 yıllarına ait olan bu tahmine göre pi sayının değeri 3,125. Eski Mısır’da MÖ 1650’lerde yapılan başka bir tahmine göreyse pi sayısının yaklaşık değeri 3,1605.
Günümüzde matematiksel yöntemler kullanılarak yapılan en iyi hesaplara göre pi sayısının virgülden sonraki ilk on basamağa kadarki değerinin 3,1415926535 olduğu düşünülürse 3,1 ile başladıkları için her iki tahminin de başarılı olduğu söylenebilir.
Ama yine de kesinlikten çok uzaklar.
Tüm Reklamları Kapat
Matematiksel yöntemler kullanarak pi sayısının yaklaşık değerini hesaplamaya çalışan ilk kişi, tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olan Arşimet’ti.
Pi sayısı, tanım olarak çemberin çevresinin çapına oranı olduğu için bir çemberin çevre ve çap uzunlukları kullanılarak pi sayısının değerini hesaplamak mümkündür.
Arşimet’in kullandığı yöntem, çapı bilinen bir çemberin çevre uzunluğunun hangi aralıkta olduğunun çokgenler kullanılarak hesaplanmasına dayanıyordu.
Bir çemberin içerisindeki herhangi bir çokgenin çevre uzunluğu çemberin çevre uzunluğundan kısadır. Çemberi içerisine alan bir çokgenin çevre uzunluğuysa çemberinkinden fazla olmalıdır.
Görsel 1
Dolayısıyla herhangi bir çemberin içine ve dışına çokgenler çizerek pi sayısının değerinin hangi aralıkta olduğunu belirlemek mümkündür. Örneğin aşağıdaki çizimleri ele alalım. Eğer bu çizimlerdeki çemberlerin çapı 1 birimse çevre uzunlukları π birim olmalıdır.
Birinci çizimde çemberin içerisine ve dışarısına çembere teğet olarak çizilmiş kareler görüyorsunuz. Geometri kullanılarak yapılan basit bir hesap dıştaki karenin çevre uzunluğunun 4 birim, içteki karenin çevre uzunluğununsa yaklaşık 2,8284 birim olduğunu gösterir.
Dolayısıyla bu bilgileri kullanarak π sayısının 4>π>2,8284 aralığında olduğu sonucuna varırız. Şimdi de ikinci çizime bakalım. Hesaplar içteki altıgenin çevre uzunluğunun 3 birim, dıştaki altıgenin çevre uzunluğununsa yaklaşık 3,4641 birim olduğunu gösterir.
Dolayısıyla π sayısının değerinin 3,4641>π>3 aralığında olduğu çıkarımını yapabiliriz.
Görüldüğü gibi çokgenlerin kenar sayısı 4’ten 6’ya çıkınca pi sayısının değerindeki belirsizlik azaldı. Kullanılan çokgenlerin kenar sayısını artırmaya devam ederek belirsizlik daha da azaltılabilir.
Arşimet’in kendisi hesaplara altıgenlerle başlamış ve giderek daha çok kenarlı çokgenler kullanarak pi sayısının değerini iki basamak kesinlikle 3,14 olarak hesaplamıştı.
Tüm Reklamları Kapat
Daha sonraları MS 150’lerde Batlamyus aynı yöntemi kullanarak 3,1416 değerini hesapladı. Yaklaşık bir yüzyıl sonra Çinli matematikçi Liu Hui, çokgenlerden yararlanılan bir algoritma kullanarak yine 3,1416 değerini elde etti.
MS 480 yılında Zu Chongzhi, Hui’nin yöntemini kullanarak virgülden sonraki basamak sayısını yediye çıkardı. Chongzhi’nin elde ettiği değer ancak 800 yıl sonra geliştirilebildi. Daha sonraları Avusturyalı gökbilimci Christoph Grienberger 1630 yılında pi sayısının virgülden sonraki 38 basamağını hesaplamayı başardı.
Grienberger’in elde ettiği değer, çokgenlerden yararlanılan algoritmalar yardımıyla ve sadece insan çabasıyla elde edilmiş en kesin değer olma unvanına sahip.
Tüm Reklamları Kapat
16. ve 17. yüzyıllarda sonsuz serilerin geliştirilmesinden sonra pek çok matematikçi pi sayısını hesaplamak için kullanılabilecek eşitlikler buldu. Bu eşitliklerin bilinen ilk yazılı örneğine MS 1500 civarında Hint matematikçi Nilakantha Somayaji tarafından yazılmış Sanskritçe bir metinde rastlanıyor:
Isaac Newton da 1665 yılında sonsuz serileri kullanarak pi sayısının on beş basamağını hesaplamıştı. Daha sonraları başka matematikçiler sonsuz seriler yardımıyla daha kesin hesaplar yaptı.
Tüm Reklamları Kapat
1956 yılında yapılan ve pi sayısının 620 basamağının elde edildiği hesap, hesap makinesi yada bilgisayar yardımı olmaksızın yapılmış en kesin hesap olma özelliğini taşıyor. Pi sayısını hesaplamak için kullanılabilecek sonsuz serilerin bazıları şunlardır:
Leonard Euler tarafından geliştirilen son eşitlikteki her bir oranda paylarda tek asal sayılar, paydalardaysa bu asal sayılara en yakın, dörde bölünebilen sayılar var.
Görsel 3
Bilgisayarların geliştirilmesinden sonra pi sayısı çeşitli algoritmalar kullanılarak çok daha büyük bir kesinlikle hesaplanmaya başlandı.
11,066 görüntülenme
Kaynaklar
Yazar Yok. Kaynak. (1 Temmuz 2020). Alındığı Tarih: 1 Temmuz 2020. Alındığı Yer: Bağlantı
| Arşiv Bağlantısı
1761 yılında Lambert yukarıdaki serinin tanjant serisi olduğunu göstermiş ve 0'a eşit olmayan bir x rasyonel sayısı için bu serinin irrasyonel olduğunu ancak irrasyonel sayılar için rasyonel sayı ürettiğini kanıtlamıştır. Tan(pi/4) = 1 (tan[45 derece]) olduğu için pi/4 irrasyonel olmalıdır dolayısı ile pi irrasyonel olmalıdır.
Tüm Reklamları Kapat
4,204 görüntülenme
Kaynaklar
Yazar Yok. Wikipedia -Pi Sayısının Rasyonel Olmadığının Kanıtı. (10 Temmuz 2020). Alındığı Tarih: 10 Temmuz 2020. Alındığı Yer: Bağlantı
| Arşiv Bağlantısı
1
Şikayet
Et
Mantık Hatası
0
Paylaş
Alıntıla
Alıntıları Göster
Daha Fazla Cevap Göster
Cevap Ver
Giriş Yap ve Cevap Ver
Evrim Ağacı Soru & Cevap Platformu, Türkiye'deki bilimseverler tarafından kolektif ve öz
denetime dayalı bir şekilde sürdürülen, özgür bir ortamdır. Evrim Ağacı tarafından
yayınlanan
makalelerin aksine, bu platforma girilen soru ve cevapların içeriği veya gerçek/doğru
olup
olmadıkları Evrim Ağacı yönetimi tarafından denetlenmemektedir. Evrim Ağacı, bu
platformda
yayınlanan cevapları herhangi bir şekilde desteklememekte veya doğruluğunu garanti
etmemektedir. Doğru olmadığını düşündüğünüz cevapları, size sunulan denetim araçlarıyla
işaretleyebilir, daha doğru olan cevapları kaynaklarıyla girebilir ve oylama araçlarıyla
platformun daha güvenilir bir ortama evrimleşmesine katkı sağlayabilirsiniz.
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol
Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim
Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç
katın.
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Aklınızdan geçenlerin bu platformda bulunmuyor olabilecek kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Evrim Ağacı'nın bilimi yaymasına destek olur musunuz?
Bu yıl sayfamızda gezdiniz.
Reklamlar, internet sitemizin ayakta kalabilmesinin tek yolu. Ama daha iyi bir yol var: Evrim Ağacı Premium! Kreosus üzerinden, bütçenizi zorlamayacak bir miktarda bize destek olarak sitemizdeki bütün reklamları kapatabilir, Evrim Ağacı Premium kullanıcılarının her geçen gün artan ayrıcalıklarından faydalanabilirsiniz. Tek seferlik destek olun veya daha iyisi, aylık destekçilerimiz
arasına şimdi katılın.
“Söz konusu bilimse, binlercesinin otoritesi tek bir bireyin mütevazı mantığından daha değerli değildir.” Galileo Galilei
Bilim İçin 30 Saniyeniz Var mı?
Evrim Ağacı, tamamen okur ve izleyen
desteğiyle sürdürülen, bağımsız bir bilim oluşumu.
Ücretsiz bir Evrim Ağacı üyeliği oluşturmanın çok sayıda
avantajından
biri, sitedeki reklamları %50 oranında azaltmak (destekçilerimiz arasına katılarak
reklamların %100'ünü kapatabilirsiniz). Evrim Ağacı'nda geçirdiğiniz zamanı
zenginleştirmek için, sadece 30 saniyenizi ayırarak üye olun (üyeyseniz, giriş
yapmanızı tavsiye ederiz).