Pi sayısı nasıl hesaplandı?

Pi sayısı irrasyonel. Başka bir deyişle pi sayısını a/b ya da a,bcd … biçiminde rakamlarla tam olarak ifade etmek mümkün değil.

Ancak çeşitli yöntemler kullanarak pi sayısının yaklaşık değeri hesaplanabiliyor.

Hatta limit ve yinelemeli algoritmalar gibi matematiksel kavramlar pi sayısının değerini hesaplamak için gösterilen çabaların ürünüdür.

Pi sayısının değeriyle ilgili ilk tahminlerse günümüzden 3000-4000 yıl öncesinde yapılmıştı. Matematiksel yöntemlere değil deneme yanılmaya dayanan bu tahminlerdeki hata oranı yüksekti.

Yazılı kaynaklarda rastlanan en eski tahmin Babillilere ait. MÖ 1900-1600 yıllarına ait olan bu tahmine göre pi sayının değeri 3,125. Eski Mısır’da MÖ 1650’lerde yapılan başka bir tahmine göreyse pi sayısının yaklaşık değeri 3,1605.

Günümüzde matematiksel yöntemler kullanılarak yapılan en iyi hesaplara göre pi sayısının virgülden sonraki ilk on basamağa kadarki değerinin 3,1415926535 olduğu düşünülürse 3,1 ile başladıkları için her iki tahminin de başarılı olduğu söylenebilir.

Ama yine de kesinlikten çok uzaklar.

Matematiksel yöntemler kullanarak pi sayısının yaklaşık değerini hesaplamaya çalışan ilk kişi, tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olan Arşimet’ti.

Pi sayısı, tanım olarak çemberin çevresinin çapına oranı olduğu için bir çemberin çevre ve çap uzunlukları kullanılarak pi sayısının değerini hesaplamak mümkündür.

Arşimet’in kullandığı yöntem, çapı bilinen bir çemberin çevre uzunluğunun hangi aralıkta olduğunun çokgenler kullanılarak hesaplanmasına dayanıyordu.

Bir çemberin içerisindeki herhangi bir çokgenin çevre uzunluğu çemberin çevre uzunluğundan kısadır. Çemberi içerisine alan bir çokgenin çevre uzunluğuysa çemberinkinden fazla olmalıdır.

Dolayısıyla herhangi bir çemberin içine ve dışına çokgenler çizerek pi sayısının değerinin hangi aralıkta olduğunu belirlemek mümkündür. Örneğin aşağıdaki çizimleri ele alalım. Eğer bu çizimlerdeki çemberlerin çapı 1 birimse çevre uzunlukları π birim olmalıdır.

Birinci çizimde çemberin içerisine ve dışarısına çembere teğet olarak çizilmiş kareler görüyorsunuz. Geometri kullanılarak yapılan basit bir hesap dıştaki karenin çevre uzunluğunun 4 birim, içteki karenin çevre uzunluğununsa yaklaşık 2,8284 birim olduğunu gösterir.

Dolayısıyla bu bilgileri kullanarak π sayısının 4>π>2,8284 aralığında olduğu sonucuna varırız. Şimdi de ikinci çizime bakalım. Hesaplar içteki altıgenin çevre uzunluğunun 3 birim, dıştaki altıgenin çevre uzunluğununsa yaklaşık 3,4641 birim olduğunu gösterir.

Dolayısıyla π sayısının değerinin 3,4641>π>3 aralığında olduğu çıkarımını yapabiliriz.

Görüldüğü gibi çokgenlerin kenar sayısı 4’ten 6’ya çıkınca pi sayısının değerindeki belirsizlik azaldı. Kullanılan çokgenlerin kenar sayısını artırmaya devam ederek belirsizlik daha da azaltılabilir.

Arşimet’in kendisi hesaplara altıgenlerle başlamış ve giderek daha çok kenarlı çokgenler kullanarak pi sayısının değerini iki basamak kesinlikle 3,14 olarak hesaplamıştı.

Daha sonraları MS 150’lerde Batlamyus aynı yöntemi kullanarak 3,1416 değerini hesapladı. Yaklaşık bir yüzyıl sonra Çinli matematikçi Liu Hui, çokgenlerden yararlanılan bir algoritma kullanarak yine 3,1416 değerini elde etti.

MS 480 yılında Zu Chongzhi, Hui’nin yöntemini kullanarak virgülden sonraki basamak sayısını yediye çıkardı. Chongzhi’nin elde ettiği değer ancak 800 yıl sonra geliştirilebildi. Daha sonraları Avusturyalı gökbilimci Christoph Grienberger 1630 yılında pi sayısının virgülden sonraki 38 basamağını hesaplamayı başardı.

Grienberger’in elde ettiği değer, çokgenlerden yararlanılan algoritmalar yardımıyla ve sadece insan çabasıyla elde edilmiş en kesin değer olma unvanına sahip.

16. ve 17. yüzyıllarda sonsuz serilerin geliştirilmesinden sonra pek çok matematikçi pi sayısını hesaplamak için kullanılabilecek eşitlikler buldu. Bu eşitliklerin bilinen ilk yazılı örneğine MS 1500 civarında Hint matematikçi Nilakantha Somayaji tarafından yazılmış Sanskritçe bir metinde rastlanıyor:

https://www.matematiksel.org/wp-content/uploads/2019/04/pi-sayısı.jpg.webp (Bu görseli yükleyemedi.)

Bu eşitliğin ispatı MS 1530 civarında yapıldı.

Isaac Newton da 1665 yılında sonsuz serileri kullanarak pi sayısının on beş basamağını hesaplamıştı. Daha sonraları başka matematikçiler sonsuz seriler yardımıyla daha kesin hesaplar yaptı.

1956 yılında yapılan ve pi sayısının 620 basamağının elde edildiği hesap, hesap makinesi yada bilgisayar yardımı olmaksızın yapılmış en kesin hesap olma özelliğini taşıyor. Pi sayısını hesaplamak için kullanılabilecek sonsuz serilerin bazıları şunlardır:

Leonard Euler tarafından geliştirilen son eşitlikteki her bir oranda paylarda tek asal sayılar, paydalardaysa bu asal sayılara en yakın, dörde bölünebilen sayılar var.

Bilgisayarların geliştirilmesinden sonra pi sayısı çeşitli algoritmalar kullanılarak çok daha büyük bir kesinlikle hesaplanmaya başlandı.

Rasyonel sayı kümesinin tanımı a ve b tam sayı ve b = değil 0 olmak üzere a/b cinsinden ifade edilebilen sayılar kümesidir.

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd61efa520a61f5179f68e9ffbe10cf243a70454
  

1761 yılında Lambert yukarıdaki serinin tanjant serisi olduğunu göstermiş ve 0'a eşit olmayan bir x rasyonel sayısı için bu serinin irrasyonel olduğunu ancak irrasyonel sayılar için rasyonel sayı ürettiğini kanıtlamıştır. Tan(pi/4) = 1 (tan[45 derece]) olduğu için pi/4 irrasyonel olmalıdır dolayısı ile pi irrasyonel olmalıdır.