Neden herhangi bir sayının 0. kuvveti 1'dir? x^0=1 olduğunun ispatı ne?

Ben bu soruya da daha önceden anlattığım 0!=1 ispatıyla aynı şekilde yaklaşmayı seviyorum. Herhangi bir sayıyı alabilirsiniz ama, kolaylık olması için tabanı 2 alalım ve 4. kuvvetten başlayalım:

Bir önceki kuvvet:

Şimdi, basit bir örüntüyü tespit edelim:

Güzel, şimdi yavaş yavaş geri gelelim:

Bir daha:

Son bir kez:

Cevaplarda güzel ispatlar var; ancak bu da gayet makul ve sadece "Biz öyle istiyoruz da ondan." deyip işin içinden çıkmaya engel oluyor.

Merhaba! Örnek olarak 2⁰ birdir. Bunun nedeni ise şudur: 2^2-2 de 2⁰ anlamına gelir. Bu da 2².2^-2 demektir. Yani 4/1.1/4 = 1'e eşittir. Ama Ali Nesin kaynaktaki videosunda 0! in de bir olmasının nedeni bizim öyle istememizdir demişti.

Nedeni tanımında gizlidir.

Önce önerilen yanıtlardaki yanlışları aktarayım :

• Üs alma kavramı şeklinde tanımlandığı ve olduğundan , n=2 ve x=1 değerleri için değeri 1 çıkar.

Bu önerilen cevabın hatası , ifadenin sağ tarafında (yani x üzeri n-1 kısmında) n değeri yerleştirildiğinde 0'ın kalması ve aslında aradığımız şeye , aradığımız yol üzerinde rastlamamız. Bir eşitliği çözmek için önce eşitlikteki ifadelerin ne olduğunu tanımlamanız gerekir. ifadesini tanımlamadan , onun içinde bulunduğu bir eşitliği çözemeyiz.

• Üs alma kavramı , 'yi sağlayan bir fonksiyon olarak tanımlandığı için , n=0 ve m=1 değerlerinde istenen ifadenin değerinin 1 olması gerekir.

Bu önerilen cevabın öncelikli hatası, üs fonksiyonunun bu şekilde değil birazdan açıklayacağım tümevarım yöntemiyle tanımlanmasıdır. Üs fonksiyonunda toplamanın karşılığının, toplanan sayıların ayrıca üslerinin çarpımı şeklinde sonuçlanması ise ayrı bir teoremdir ve tanım yordamıyla kanıtlanır. İkinci hata ise yine benzer şekilde daha ne olduğunu bilmediğimiz ifadesine , bulmaya çalıştığımız yol üzerinde rastlamamız. Bu noktada işlemler devam edemez.

• olduğundan , n ve m değerleri 1 iken değerinin 1 olduğu ortaya çıkar.

Buradaki hata yine bir eşitlikte ne olduğunu bilmediğimiz şey varken işlemlere devam ediyor olmamızdır. Daha eşitliğin solu tanımsızken tanımsız bir şeyin karşılığında hangi sayıyı bulduğumuzun önemi yoktur , tanımı olmayan şeyin değeri olmaz.

Şimdi gerçek açıklamaya gelelim ,

Üs alma fonksiyonu ve faktöriyel fonksiyonu "tümevarımla tanımlanan fonksiyonlar" kategorisindedir. Yani bir örgüye göre ve referans noktasına göre örgü iplikçikleri gibi parçadan bütüne -yani cevaba- ulaşılır.

ifadesi , n bir gerçel sayı ve olmak üzere , şeklinde tanımlanır.

Burada önemli nokta şudur , bir sayının sıfırıncı kuvvetini 1 ya da benzer şekilde sıfır faktöriyeli 1 seçmek tamamen tümevarımla tanımlanan fonksiyonların referans noktasını tanımlamak gibi , sadece bir tercihten ibarettir. Bu değiştirilirse bir başka faktöriyel ya da üs alma fonksiyonu yaratılır. Matematikçilerin keyfi seçimi değildir bu , sıfırıncı kuvvetin 2 ya da 3 diye tanımlanması bize sezgisel olarak istediğimiz ve zihnimizde oluşan gerçek üs alma fonksiyonunu yaratmayacağı için 1 seçeriz.

Unutmayın aksiyomlar ve tanımlar değiştirilebilir , bu sadece bize farklı ilişkiler üzerine kurulan farklı bir aksiyomatik yapı sağlar. Halbuki matematik yaparken istediğimiz , insan zihnindeki sezgisel olarak inşa edilen verileri tanımlara ve aksiyomlara geçirmek. Böylelikle sezgilerimizin gösterdiği ve bizim yaşadığımız , gözlemlediğimiz unsurlar üzerinde var olan matematiği yapmış oluyoruz. Dileyen elbette ki farklı bir matematik kurabilir , ama uygulama alanını bulmak imkansız olacaktır.

Soruda da olduğu gibi bir sayının 0. kuvveti 1dir.

Bu bütün sayılarda geçerlidir.0'dan farklı olmak kaydıyla.

x≠0 olmak üzere,

x0=1 olduğunu gösterelim,

x0 ifadesini xy-y olarak yazabiliriz.

xy-y=xy.x-y bu şekilde olur

Matematiksel tutarlilik acisindan oyle olmasi gerekiyor. a^b'yi hep b tane a'nin carpimi seklinde ogrendik. ama aslinda us fonksiyonu

a^(b + c) = a^b * a^c

esitligini her zaman saglamak zorundadir. b ve c'nin tam sayi olmasina gerek yoktur. a, b ve c karmasik sayi olabilir. hatta matris bile olabilir. matris ussu matrisi hayal etmek gercekten zor, ancak matematiksel olarak tanimlanabilir. linki alta biraktim.

gelelim sorumuza, b yerine 0 sececek olursaniz, 0'a esit olmayan her a icin,

a^(0 + c) = a^c = a^0 * a^c

elde edersiniz. bu esitligin bazen degil, her a ve c icin dogru olmasinin tek yolu a^0 = 1'dir. yani us fonksiyonunu tanimladiginiz anda a^0 = 1 yaninda geliyor.

0!'in 1 olmasi da tanimdan geliyor. faktoriyel fonkyionunu 1'den baslatarak tanimlarsaniz:

a! = 1 * 2 * ... * a.

her zaman saglanan esitlik

a! = a * (a-1)!

dolayisiyla a = 1 secerseniz, faktoriyel tanimini 0'a genisletmek isterseniz 0! = 1 tek seceneginiz olur. faktoriyel tanimini tamsayi olmayan sayilara genisletmek isterseniz, (0.5!) gibi, o zaman da faktoriyelin aslinda gamma fonksiyonunun ozel hali oldugunu gorursunuz.