Henüz çözülmemiş bazı hipotezler var. Örneğin ikiz asalların sonsuzluğu, goldbach, collatz sanısı vb. Bunların bir cevabı var. Örneğin ikiz asallar ya sonsuz adet var ya belli bir yerde bitiyorlar. Peki 3. Bir durum olarak bu sayının sonlu mu sonsuz mu olduğunun asla bilinemeyeceği kanıtlanabilir mi?
Evet, kanıtlanabilir ama şöyle: matematikte ispat dediğimiz şey aslında kabul ettiğimiz aksiyomlardan rüretme kuralları ile göstermektir. Aksiyom, bir kanıt sunmadan doğru kabul ettiğimiz önermelerdir. Örneğin, bir noktadan yalnızca bir doğru geçer, veya, her saysının 1 fazlası vardır, örnek gösterilebilir. Önemli olan şey şu ki, farklı akisyomlar belirleyebiliriz. Dolayısıyla bir aksiyom sisteminde kanıtlanabilir olan bir şey başka bir aksiyom sisteminde kanıtlanamıyor olabilir.
Peki öyle bir aksiyom sistemimiz olsun ki matematiksel bütün doğruları kanıtlayabilelim. Böyle bir şey mümkün mü? Gödel, kendi eksiklik teoremi gösterdi ki bir aksiyom sisteminin aksiyomları algoritmik olarak sıralanabiliyorsa ve aritmetik içeriyorsa bu sistemin kanıtlayamayacağı doğru önermeler vardır. Dolayısıyla mümkün değil. Goldbach Hipotezi, Riemann Hipotezi gibi şeylerin bazılarının günümüz matematiğinin altını oluşturan ZFC aksiyom sistemi ile kanıtlanamayacağı düşünülüyor fakat bu henüz belli değil.
