Kaynak istiyor Kök dışına tam olarak çıkmayan sayıları nasıl hesaplarız?

Bu hesaplamayı yapmak için nümerik analiz metodlarını kullanmanız gerekiyor. Nümerik analiz problemlere yaklaşık sonuçlar elde etmek için kullanılan algoritmalar ve yöntemler geliştiren bir matematik alanıdır.^[1] Denklem kökü bulma, diferansiyel denklem çözme, lineer denklem sistemleri çözme, matrislerde özdeğer/özvektör ve determinant hesaplama, fonksiyonların integralini ve türevini hesaplama gibi bir çok problemi makul bir hata payı ile yaklaşık olarak hesaplamak için kullanılır.

Şimdi √5 gibi bir ifadeyi sayısal olarak nasıl hesaplayabileceğimize bakalım. Nümerik analizde bir denklemin kökünü bulmak için farklı yöntemler vardır. Örnek olarak Bisection metodu, Newton-Raphson metodu, False Position metodu ve saire.^[2] Burada en kolay anlaşılanı olduğu için Bisection metodunu anlatmak istiyorum.

√5 ifadesini öncelikle bir kök bulma problemi haline getirmeliyiz. Bunu ifadeyi x² - 5 şeklinde yazarak elde edebiliriz. x² - 5 = 0 eşitliğini sağlayan pozitif x kökü bizi √5'in değerine götürecek.

Bu ifadenin kökünün 2 ve 3 arasında olduğunu biliyoruz. Kökü bulmak için ilk adımda bu iki sayıyı kullanacağız. Bu sayıların ortasındaki sayıyı bulmak için (2+3) /2 hesabını yaparak 2.5 değerini alacağız. Sonra fonksiyonda x gördüğümüz yere 2.5 yazacağız.

2.5² - 5 = 1.25

Cevap pozitif çıktı. Bu demek oluyor ki aradığımız cevap 2 ile 2.5 arasında. Önceki işlemdeki 3 sayısını iptal edip yerine yeni 2.5 sayısını yazacağız. (2+2.5)/2 = 2.25.

2.25² - 5 = 0.0625

Yine sonuç pozitif. Demek ki aradığımız kök 2 ile 2.25 arasında. Bu sefer önceki 2.5 sayısı yerine artık yeni 2.25 sayısını yazacağız. (2+2.25)/2 = 2.125.

2.125² - 5 = -0.484375

Sonucumuz negatif. Bu sefer de 2 sayısını çıkarıp yerine 2.125 yazacağız. Kökümüz 2.125 ile 2.25 arasında. (2.125+2.25)/2 = 2.1875. Bu şekilde aradığımız kökü iki sayının arasına sıkıştırıyoruz ve gittikçe aralığı daraltarak gerçek cevaba yaklaşıyoruz.

Aşağıdaki tablo √3 sayısı için aynı işlemi 12 iterasyon boyunca tekrarlayınca çıkan sonucu gösteriyor.