Irrasyonal sayılar gerçekte yoksa neden bu sayılarla işlemler yapıyoruz olmayan bir şey üzerinden teoriler üretiyoruz?

Fiziksel bir varlıkları olmamasına rağmen irrasyonel sayılarla işlemler yapar ve onlara dayalı teoriler kurarız çünkü bunlar gerçeği doğru bir şekilde tanımlamak ve modellemek için elzemdir. ve gibi irrasyonel sayılar geometri, trigonometri ve kalkülüs gibi çeşitli matematiksel bağlamlarda doğal olarak ortaya çıkar. Bu sayılar rasyonel sayılarla ifade edilemeyen nicelikleri (örneğin bir karenin köşegeni veya bir dairenin çevresi gibi) kesin olarak hesaplamamıza ve göstermemize olanak tanır. İrrasyonel sayıları kullanmadan matematiksel modellerimiz eksik kalır ve doğal dünyayı tanımlamada daha az etkili olur.^[1]

Öncelikle irrasyonel sayıların varlığını ispatlamak için Pisagor teoremi üzerinde duralım. Bir dik üçgende, hipotenüs uzunluğunun karekökü, kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir:

Eğer olacak şekilde bir dik üçgen düşünürsek hipotenüs uzunluğu:

Burada uzunluğu irrasyonel bir sayıdır çünkü rasyonel bir sayı olarak ifade edilemez.

İrrasyonel sayıların rasyonel olmayan kareköklerle ilişkisini de gösterebiliriz:

Burada irrasyonel bir sayı olup rasyonel olmayan bir sayının kareköküdür.