Evrim Ağacı Logo Evrim AğacıSoru & Cevap
Evrim Ağacı Soru & Cevap
Reklamı Kapat
Puan Ver
0
Puan Ver

Her ıki rasyonel sayı arasında mutlaka bir irrasyonel sayı olması gerektiğini kanıtlamanın bir yolu var mı?

Soruyu sorma tarzımın doğruluğundan emin değilim a, b kesirli herhangi iki sayı olsun bu ikisi arasında mutlak irrasyonel bir sayı vardır. Bunu nasıl "kanıtlarım"

2
Teşekkür (1)
Hatırla (1)
Takip (1)
Paylaş
Reklamı Kapat
2 Cevap

Bir x sayısı irrasyonel ise bu sayıdan hangi rasyonel sayıyı çıkartırsan çıkart (veya topla) elde ettiğin sayı yine bir irrasyonel sayı olacaktır. Yani 10.5 ile 10.87 arasında bir irrasyonel sayı olduğunu kanıtlamak ile 0.5 ile 0.87 arasında bir irrasyonel sayı olduğunu kanıtlamak aynı yola çıkacaktır sadece bulduğumuz irrasyonel sayıya 10 eklemeliyiz. O yüzden sayıları küçültmemiz ve son halinin arasında irrasyonel sayı olduğunu göstermemizde bir sakınca yoktur. A sayısı ile B sayısı arasında irrasyonel sayı bulmaya çalışıyor olalım, A<B olsun. A'nın tamsayı kısmını çıkartırsak (kalan virgüllü sayı a olsun) a ile B-a arasında bir irrasyonel sayı bulmalıyız. Eğer B-a>1 veya B-a=1 ise a ile 1 arasında bir irrasyonel sayı bulmamız yeterlidir. Eğer B-a<1 ise 0 ile 1 arasındaki bir ikilinin arasından irrasyonel sayı bulmalıyız. Yani her halükarda [0,1] aralığındaki a ve b rasyonel sayıları için (a,b) aralığında irrasyonel sayı olduğunu göstermek yeterlidir. Bu sayıların ondalık yazımı,

a=0,x1x2x3... ve b=0,y1y2y3... olsun. (b=1 ise b=0,999... olarak alınabilir, bunun sebebi 1=0,999... olmasından ziyade 0.999...'nın 1'den küçük eşit olmasıdır.)Şimdi bu basamakları karşılaştıralım sayılar birbirinden farklı olduğundan bir yerde farklı basamak olacaktır. Bu basamaktan başlayarak basamakları değiştirerek bu ikili arasında yeni bir sayı elde edebiliriz, mesela,

a=0.1589666 ve b=0.15897888 olsun. Yeni sayıyı şöyle değiştirebiliriz, c=0.15896999912657984...

Bu iki sayı arasında kalacak şekilde birkaç basamak değiştirdikten sonra tekrarlı olmayan bir şekilde rastgele sayı eklemeye devam edebiliriz, tekrarlı olmadığından bu sayı irrasyonel olacaktır.

Çok daha basit ispatlar vardır fakat bu benim cevabı yazarken oluşturduğum bir cevap, üstüne çok düşünmedim.

Not 1: Sayıları [0,1] aralığına indirmemizin sebebi sayılarda tamsayı kısmının farklı olması durumunda o durumun ayrı incelenmesi gerektiğidir. [0,1] aralığında bu tamsayı kısmı iki sayı için de 0 olacaktır. Son kısım matematiksel olarak çok doğru bir yazım değildir çünkü bu rakam değişikliklerini yapabildiğimizi göstermemiz gerekir fakat bu örnek de anlatılmak isteneni gösteriyor.

Not 2: Bu soruya kardinalite ve sayılabilir kümeleri bilenler için f(x)=(x-a)/(b-a) fonksiyonu da çok güzel bir çözüm sağlar çünkü bu fonksiyon (a,b)'den (0,1)'e tanımlı birebir ve örten bir fonksiyondur. Dolayısıyla (a,b) sayılabilir bir küme değildir, yani (a,b) arasında en az bir irrasyonel sayı olmalıdır, aksi durumda çelişki olur çünkü rasyonel sayılar kümesi sayılabilir bir kümedir. Fark edilebilir ki a ve b'nin reel sayı olması yeterlidir yani rasyonel olması gerekli ve yeterli şart değildir.

182 görüntülenme
Kabul Edilen Cevap
Puan Ver
1
Puan Ver
Teşekkür (1)
Paylaş
1

Kaynaklar

  • M. C. Aydemir. Kardinalite. (06 Kasım 2020). Alındığı Tarih: 15 Kasım 2020. Alındığı Yer: geomania.org | Arşiv Bağlantısı
  • P. Keef & D. Guichard, et al. Cardinality And Countability. (15 Kasım 2020). Alındığı Tarih: 15 Kasım 2020. Alındığı Yer: Whitman | Arşiv Bağlantısı

x, 0 ile 1 arasındaki herhangi bir irrasyonel sayı olsun. İşlemleri daha iyi anlamaya yardım edeceğini düşündüğüm için

x = 1/(sqrt(2))

olarak seçtim.

Yapmaya çalıştığımız şey, a ve b rasyonel sayılarının arasında bir irrasyonel sayı bulmak. Bu iki sayı birbirine eşit değil, yani birisi diğerinden büyük. Diyelim ki büyük olan sayı b. O halde,

0<(b - a)×1/(sqrt(2))<b - a

0 + a<(b - a)×1/(sqrt(2)) + a<b - a + a

a<((b - a)/sqrt(2) + a)<b

eşitsizliği geçerlidir. Eşitsizliği ortasındaki sayı ise irrasyonel. Neden? Sayının rasyonel olduğunu varsayımının çelişkiye yol açacağını ispatlayabiliriz.

Diyelim ki,

a + (b - a)×1/(sqrt(2)) = p/q

p, q ∈ Z ve (q ≠0)

O halde,

(p/q - a)/(b - a) = 1/2 (sqrt(2))

2×(p/q - a)/(b - a) = (sqrt(2))

Soldaki sayı rasyonel ama kök 2 rasyonel değil. Yani bir çelişki elde ettik. O halde sayı irrasyonel olmalı.

Puan Ver
1
Puan Ver
Teşekkür (1)
Paylaş
1

Kaynaklar

  • Matematik delisi. Karekök 2'Nin Irrasyonelliğinin Ispatı. (22 Kasım 2020). Alındığı Tarih: 22 Kasım 2020.
Cevap Ver
Bu soruya cevap vermek için lütfen
Evrim Ağacı Soru & Cevap Platformu, Türkiye'deki bilimseverler tarafından kolektif ve öz denetime dayalı bir şekilde sürdürülen, özgür bir ortamdır. Evrim Ağacı tarafından yayınlanan makalelerin aksine, bu platforma girilen soru ve cevapların içeriği veya gerçek/doğru olup olmadıkları Evrim Ağacı yönetimi tarafından denetlenmemektedir. Evrim Ağacı, bu platformda yayınlanan cevapları herhangi bir şekilde desteklememekte veya doğruluğunu garanti etmemektedir. Doğru olmadığını düşündüğünüz cevapları, size sunulan denetim araçlarıyla işaretleyebilir, daha doğru olan cevapları kaynaklarıyla girebilir ve oylama araçlarıyla platformun daha güvenilir bir ortama evrimleşmesine katkı sağlayabilirsiniz.
Reklamı Kapat
Türkiye'deki bilimseverlerin buluşma noktasına hoşgeldiniz!

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
“Gerçekliğe kıyasla bilimimiz oldukça ilkel ve çocukçadır. Ancak o, sahip olduğumuz en değerli şeydir.”
Albert Einstein
Geri Bildirim Gönder
Reklamsız Deneyim

Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, Evrim Ağacı'nda çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.

Kreosus

Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.

Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.

Patreon

Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.

Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.

YouTube

YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.

Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.

Diğer Platformlar

Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.

Giriş yapmayı unutmayın!

Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.

Destek Ol