Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat
Sorulara Dön
Anonim
Anonim Üye
0

Her Iki rasyonel sayı arasında mutlaka bir irrasyonel sayı olması gerektiğini kanıtlamanın bir yolu var mı?

Soruyu sorma tarzımın doğruluğundan emin değilim a, b kesirli herhangi iki sayı olsun bu ikisi arasında mutlak irrasyonel bir sayı vardır. Bunu nasıl "kanıtlarım"
4,004 görüntülenme
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
  • Dış Sitelerde Paylaş
  • Soruyu Takip Et
  • Raporla
  • Mantık Hatası Bildir
Tüm Reklamları Kapat
2 Cevap
Metin Can Aydemir
Matematik Araştırmacısı

Bir x sayısı irrasyonel ise bu sayıdan hangi rasyonel sayıyı çıkartırsan çıkart (veya topla) elde ettiğin sayı yine bir irrasyonel sayı olacaktır. Yani 10.5 ile 10.87 arasında bir irrasyonel sayı olduğunu kanıtlamak ile 0.5 ile 0.87 arasında bir irrasyonel sayı olduğunu kanıtlamak aynı yola çıkacaktır sadece bulduğumuz irrasyonel sayıya 10 eklemeliyiz. O yüzden sayıları küçültmemiz ve son halinin arasında irrasyonel sayı olduğunu göstermemizde bir sakınca yoktur. A sayısı ile B sayısı arasında irrasyonel sayı bulmaya çalışıyor olalım, A<B olsun. A'nın tamsayı kısmını çıkartırsak (kalan virgüllü sayı a olsun) a ile B-a arasında bir irrasyonel sayı bulmalıyız. Eğer B-a>1 veya B-a=1 ise a ile 1 arasında bir irrasyonel sayı bulmamız yeterlidir. Eğer B-a<1 ise 0 ile 1 arasındaki bir ikilinin arasından irrasyonel sayı bulmalıyız. Yani her halükarda [0,1] aralığındaki a ve b rasyonel sayıları için (a,b) aralığında irrasyonel sayı olduğunu göstermek yeterlidir. Bu sayıların ondalık yazımı,

a=0,x1x2x3... ve b=0,y1y2y3... olsun. (b=1 ise b=0,999... olarak alınabilir, bunun sebebi 1=0,999... olmasından ziyade 0.999...'nın 1'den küçük eşit olmasıdır.)Şimdi bu basamakları karşılaştıralım sayılar birbirinden farklı olduğundan bir yerde farklı basamak olacaktır. Bu basamaktan başlayarak basamakları değiştirerek bu ikili arasında yeni bir sayı elde edebiliriz, mesela,

Tüm Reklamları Kapat

a=0.1589666 ve b=0.15897888 olsun. Yeni sayıyı şöyle değiştirebiliriz, c=0.15896999912657984...

Bu iki sayı arasında kalacak şekilde birkaç basamak değiştirdikten sonra tekrarlı olmayan bir şekilde rastgele sayı eklemeye devam edebiliriz, tekrarlı olmadığından bu sayı irrasyonel olacaktır.

Tüm Reklamları Kapat

Çok daha basit ispatlar vardır fakat bu benim cevabı yazarken oluşturduğum bir cevap, üstüne çok düşünmedim.

Not 1: Sayıları [0,1] aralığına indirmemizin sebebi sayılarda tamsayı kısmının farklı olması durumunda o durumun ayrı incelenmesi gerektiğidir. [0,1] aralığında bu tamsayı kısmı iki sayı için de 0 olacaktır. Son kısım matematiksel olarak çok doğru bir yazım değildir çünkü bu rakam değişikliklerini yapabildiğimizi göstermemiz gerekir fakat bu örnek de anlatılmak isteneni gösteriyor.

Not 2: Bu soruya kardinalite ve sayılabilir kümeleri bilenler için f(x)=(x-a)/(b-a) fonksiyonu da çok güzel bir çözüm sağlar çünkü bu fonksiyon (a,b)'den (0,1)'e tanımlı birebir ve örten bir fonksiyondur. Dolayısıyla (a,b) sayılabilir bir küme değildir, yani (a,b) arasında en az bir irrasyonel sayı olmalıdır, aksi durumda çelişki olur çünkü rasyonel sayılar kümesi sayılabilir bir kümedir. Fark edilebilir ki a ve b'nin reel sayı olması yeterlidir yani rasyonel olması gerekli ve yeterli şart değildir.

1,305 görüntülenme

Kaynaklar

  1. M. C. Aydemir. Kardinalite. (6 Kasım 2020). Alındığı Tarih: 15 Kasım 2020. Alındığı Yer: geomania.org | Arşiv Bağlantısı
  2. P. Keef & D. Guichard, et al. Cardinality And Countability. (15 Kasım 2020). Alındığı Tarih: 15 Kasım 2020. Alındığı Yer: Whitman | Arşiv Bağlantısı
Bu cevap, soru sahibi tarafından en iyi cevap seçilmiştir. Ancak bu, cevabın doğru olduğunu garanti etmez.
1
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
  • Dış Sitelerde Paylaş
  • Raporla
  • Mantık Hatası Bildir
Umut Umut
I like math

x, 0 ile 1 arasındaki herhangi bir irrasyonel sayı olsun. İşlemleri daha iyi anlamaya yardım edeceğini düşündüğüm için

x = 1/(sqrt(2))

Tüm Reklamları Kapat

olarak seçtim.

Yapmaya çalıştığımız şey, a ve b rasyonel sayılarının arasında bir irrasyonel sayı bulmak. Bu iki sayı birbirine eşit değil, yani birisi diğerinden büyük. Diyelim ki büyük olan sayı b. O halde,

Tüm Reklamları Kapat

0<(b - a)×1/(sqrt(2))<b - a

0 + a<(b - a)×1/(sqrt(2)) + a<b - a + a

a<((b - a)/sqrt(2) + a)<b

eşitsizliği geçerlidir. Eşitsizliği ortasındaki sayı ise irrasyonel. Neden? Sayının rasyonel olduğunu varsayımının çelişkiye yol açacağını ispatlayabiliriz.

Diyelim ki,

a + (b - a)×1/(sqrt(2)) = p/q

p, q ∈ Z ve (q ≠0)

O halde,

Tüm Reklamları Kapat

(p/q - a)/(b - a) = 1/2 (sqrt(2))

2×(p/q - a)/(b - a) = (sqrt(2))

Soldaki sayı rasyonel ama kök 2 rasyonel değil. Yani bir çelişki elde ettik. O halde sayı irrasyonel olmalı.

541 görüntülenme

Kaynaklar

  1. Matematik delisi. Karekök 2'Nin Irrasyonelliğinin Ispatı. (22 Kasım 2020). Alındığı Tarih: 22 Kasım 2020. Alındığı Yer: | Arşiv Bağlantısı
1
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
  • Dış Sitelerde Paylaş
  • Raporla
  • Mantık Hatası Bildir
Daha Fazla Cevap Göster
Cevap Ver
Evrim Ağacı Soru & Cevap Platformu, Türkiye'deki bilimseverler tarafından kolektif ve öz denetime dayalı bir şekilde sürdürülen, özgür bir ortamdır. Evrim Ağacı tarafından yayınlanan makalelerin aksine, bu platforma girilen soru ve cevapların içeriği veya gerçek/doğru olup olmadıkları Evrim Ağacı yönetimi tarafından denetlenmemektedir. Evrim Ağacı, bu platformda yayınlanan cevapları herhangi bir şekilde desteklememekte veya doğruluğunu garanti etmemektedir. Doğru olmadığını düşündüğünüz cevapları, size sunulan denetim araçlarıyla işaretleyebilir, daha doğru olan cevapları kaynaklarıyla girebilir ve oylama araçlarıyla platformun daha güvenilir bir ortama evrimleşmesine katkı sağlayabilirsiniz.
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Gündem
Bugün Türkiye'de bilime ve bilim okuryazarlığına neler katacaksın?
Bağlantı
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Bu platformda cevap veya yorum sistemi bulunmamaktadır. Dolayısıyla aklınızdan geçenlerin, tespit edilebilir kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Ekle
Soru Sor
ve seni takip ediyor

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close