Her Iki rasyonel sayı arasında mutlaka bir irrasyonel sayı olması gerektiğini kanıtlamanın bir yolu var mı?

Bir x sayısı irrasyonel ise bu sayıdan hangi rasyonel sayıyı çıkartırsan çıkart (veya topla) elde ettiğin sayı yine bir irrasyonel sayı olacaktır. Yani 10.5 ile 10.87 arasında bir irrasyonel sayı olduğunu kanıtlamak ile 0.5 ile 0.87 arasında bir irrasyonel sayı olduğunu kanıtlamak aynı yola çıkacaktır sadece bulduğumuz irrasyonel sayıya 10 eklemeliyiz. O yüzden sayıları küçültmemiz ve son halinin arasında irrasyonel sayı olduğunu göstermemizde bir sakınca yoktur. A sayısı ile B sayısı arasında irrasyonel sayı bulmaya çalışıyor olalım, A<B olsun. A'nın tamsayı kısmını çıkartırsak (kalan virgüllü sayı a olsun) a ile B-a arasında bir irrasyonel sayı bulmalıyız. Eğer B-a>1 veya B-a=1 ise a ile 1 arasında bir irrasyonel sayı bulmamız yeterlidir. Eğer B-a<1 ise 0 ile 1 arasındaki bir ikilinin arasından irrasyonel sayı bulmalıyız. Yani her halükarda [0,1] aralığındaki a ve b rasyonel sayıları için (a,b) aralığında irrasyonel sayı olduğunu göstermek yeterlidir. Bu sayıların ondalık yazımı,

a=0,x₁x₂x₃... ve b=0,y₁y₂y₃... olsun. (b=1 ise b=0,999... olarak alınabilir, bunun sebebi 1=0,999... olmasından ziyade 0.999...'nın 1'den küçük eşit olmasıdır.)Şimdi bu basamakları karşılaştıralım sayılar birbirinden farklı olduğundan bir yerde farklı basamak olacaktır. Bu basamaktan başlayarak basamakları değiştirerek bu ikili arasında yeni bir sayı elde edebiliriz, mesela,

a=0.1589666 ve b=0.15897888 olsun. Yeni sayıyı şöyle değiştirebiliriz, c=0.15896999912657984...

Bu iki sayı arasında kalacak şekilde birkaç basamak değiştirdikten sonra tekrarlı olmayan bir şekilde rastgele sayı eklemeye devam edebiliriz, tekrarlı olmadığından bu sayı irrasyonel olacaktır.

Çok daha basit ispatlar vardır fakat bu benim cevabı yazarken oluşturduğum bir cevap, üstüne çok düşünmedim.

Not 1: Sayıları [0,1] aralığına indirmemizin sebebi sayılarda tamsayı kısmının farklı olması durumunda o durumun ayrı incelenmesi gerektiğidir. [0,1] aralığında bu tamsayı kısmı iki sayı için de 0 olacaktır. Son kısım matematiksel olarak çok doğru bir yazım değildir çünkü bu rakam değişikliklerini yapabildiğimizi göstermemiz gerekir fakat bu örnek de anlatılmak isteneni gösteriyor.

Not 2: Bu soruya kardinalite ve sayılabilir kümeleri bilenler için f(x)=(x-a)/(b-a) fonksiyonu da çok güzel bir çözüm sağlar çünkü bu fonksiyon (a,b)'den (0,1)'e tanımlı birebir ve örten bir fonksiyondur. Dolayısıyla (a,b) sayılabilir bir küme değildir, yani (a,b) arasında en az bir irrasyonel sayı olmalıdır, aksi durumda çelişki olur çünkü rasyonel sayılar kümesi sayılabilir bir kümedir. Fark edilebilir ki a ve b'nin reel sayı olması yeterlidir yani rasyonel olması gerekli ve yeterli şart değildir.