Göreceli hız nasıl hesaplanır?

Bu soru için arka arkaya 2 formül kullanmamız gerekiyor. İlk formülden başlayalım:

İlk kullanacağımız formül şu:

Kozmik Anafor

Biz, bu formülü şu şekilde de yazabiliriz:

L = L₀ Karekök 1 - v² / c²

L = Size göre Dünya - Alpha Centauri arasındaki uzaklığın ışık yılı cinsinden değeri

L₀ = Gideceğiniz yıldızın uzaklığının ışık yılı cinsinden değeri (sorunuzda bu değer 4,3)

v = Sizin uzay aracınızda ilerlerken hızınız (sorunuzda bu değer 0,93)

c = Işık hızı (sabit ve değer olarak 1 alınır)

Şimdi siz uzay aracınızla yolculuğa çıktınız ve biz de bu formülle ilk olarak size göre Dünya - Alpha Centauri arasındaki uzaklığın kaç ışık yılı olduğunu bulalım:

L = 4,3 * Karekök 1 - (0,93)² / 1²

L = 4,3 * Karekök 1 - (0,8649) / 1²

L = 4,3 * Karekök 1 - 0,8649

L = 4,3 * Karekök 0,1351

L = 4,3 * 0,36756

L = 1,58

Yani siz uzay aracınızda o kadar hızlı gidiyorsunuz ki; bize Dünya'da 4,3 ışık yılı uzaktaki yıldız, size sadece 1,58 ışık yılıymış gibi geliyor, bu kadar yüksek hızdan dolayı.

Şimdi, sizin için bu yolculuk ne kadar zamanınızı alacak onu hesaplayalım. Sizin gittiğiniz yolun, hızınıza oranı zamanı verir:

x = v * t₀

x = Size göre Dünya - Alpha Centauri arasındaki uzaklığın kaç ışık yılı olduğu (1,58 olarak bulmuştuk)

v = Sizin uzay aracınızda ilerlerken hızınız (sorunuzda bu değer 0,93)

t₀ = Sizin bu yolculuğunuzda harcadığınız zamanınız!

Dolayısıyla t₀ değeri, sizin bu sorunuzun cevabı olacaktır;

t₀ = x / v

t₀ = 1,58 / 0,93 c

t₀ = 1,6989

Yani yaklaşık olarak 1,7 ışık yılı!

Gerçekten bu hızda bir araçla 4,3 ışık yılı uzağa gittiğinizde ve oraya ulaştığınızda Dünya'da 4,3 yıldan daha fazla bir zaman geçerken (çünkü ışık hızının altındaki bir hızda gittiniz ve dolayısıyla Dünya'daki gözlemcilere göre ışıktan yavaşsınız ve bu yüzden Dünya'daki insanlara göre oraya 4,3 yıldan daha uzun bir zamanda ulaştınız) sizin için zaman sadece 1,7 yıl aktı ve 1,7 yıl yaşlandınız' Eğer aynı hızda hiç oyalanmadan Dünya'ya geri dönseydiniz 1,7 + 1,7 = 3,4 yıl zamanınız giderken, Dünya'da ise 4,3 + 4,3 = 8,6 yıldan daha uzun bir zaman aktı!

Daha pratik bir hesabı, hileyi ben vereyim. Ben bu formülleri genelde hatırlamam, hafızam çok kötüdür. Ama bunu bildiğim için hesabı kolayca yaparım. Sizin de işinize yarayacaktır.

Özel görelilikteki bu hesapları yaparken Lorentz faktörü dediğimiz ve gamma () ile gösterdiğimiz bir faktör işin içerisine girer.

olarak hesaplanır. Karekök kısmından göreceğiniz üzere v (hız) c'ye ne kadar yakınsa payda o kadar küçük olur. En büyük durumda v=c iken payda direkt sıfırdır, dolayısıyla gamma sonsuza gider. Eğer v çok küçükse de gamma 1 olur. Demek ki gamma hızın artmasıyla 1'den sonsuza artıyor. Eğer özel göreliliğin temellerini biliyorsanız gerisi çok kolay.

0.93c hız ile 4.3 ışık yılı öteye gidişinizi, dünyada duran bir gözlemci 4.3/0.93=4.62 yıl olarak gözlemler. Soru şudur: Duran bir referans sistemindeki 4.62 yıl, 0.93c ile hareket eden bir sistemde ne kadar sürer?

Hareketli referans sisteminde zaman daha yavaş akacağı için değer 4.62'den az olmalı. O halde 1 ile sonsuz arasında değişen Lorentz faktörüne bunu bölmeliyiz ki cevap daha küçük çıksın.

yıl olarak kolayca bulunur.

Sadece Lorentz faktörünü hatırlayarak, eğer özel göreliliğin temellerini biliyorsanız, işleri halletmek bu kadar kolay. Bu nedenle fizikte ezber yapılmamasına sıklıkla dem vuruyorum.