Evet. Tam sayı olmayan bir sayının faktöriyeli hesaplanabilir. Bunun için genelde gama fonksiyonu kullanılır. Tanımı şu şekildedir:
Aslında burada mantıklı şekilde "neden direkt 'nin üstü z değil" diyebilirsiniz. O şekilde olan hali de var tabiki:
Bu şekilde olan haline genelde pi fonksiyonu denir. Peki bu ne işe yarar?
hesaplamak bir pozitif tam sayı için kolay sadece o sayıya kadar olan tam sayıları çarpın. Ama nasıl hesaplanır? İşte bu sefer integrali kullanacaksınız. Çünkü bu integral şu özelliği sağlar:
Bu aynı zamanda faktöriyelin tanımı! İntegrali her sayı için hesaplayabiliriz. O zaman neden bu integrali faktöriyel hesaplamak için kullanmayalım? İşte bu fonksiyonu kullanarak herhangi bir kompleks veya reel sayının faktöriyelini hesaplayabilirsiniz. Biraz uzun sürecek ama mesela eğlencesine faktöriyel hesaplayalım!
Hemen gamma fonksiyonu ile yazalım:
Bu ifadeyi biraz daha işe yarar yapmak için yazmak yerine bunu tabanına alalım. Yani olarak yazalım. Bu da olur. Peki bu ne olur? Hatırlayın! . İspatıına buradan bakabilirsiniz. O zaman bunu olarak yazalım.
ifadesini dağıtalım:
İki integrale ayıralım:
'yi burada 'ye bağlı olmadığı için dışarı çıkardık. Şuan sol kısım reel sağ kısım sanal taraf oldu. Geri kalan integralleri çözmenin şuan anlamı yok çünkü reel sayılarla integralden başka bir şey değiller. Ama eğer çözücek olsaydık şu sonucu alırdık:
