0.999... (sonsuzluğa kadar devam eden 9'lar) sayısı tam olarak kaçtır ve nasıl kanıtlanabilir?

(bu kanıt değil)

1/3=0.3 devir

3.1/3=1+0.9 devir

1=0.9 devir

kanıt 1

0.9 devir=9/10+9/100+9/1000 ...

9/10 1 den küçük o zaman toplam a/1-r (a=9/10 ve r=1/10)

(9/10)/(1-1/10)=1

kanıt 2

Kalkülüs kullanacağız

Σ k=1→1 9/10^k nın 1 e uzaklığı 0.1

Σ k=1→2 9/10^k nın 1 e uzaklığı 0.01

Σ k=1→3 9/10^k nın 1 e uzaklığı 0.001

Σ k=1→4 9/10^k nın 1 e uzaklığı 0.0001

Sürekli bire yaklaşıyor

O zaman lim x→∞ Σ k=1→x 9/10^k=1

kanıt 3

x=0.9 devir

x≥0.9

x≥0.99

x≥0.999

x≥0.9999

x≥0.99999

x≥0.999999

x olası bütün 9 dizilerinden büyüktür veya diğer bir tabirle 1 den küçük en büyük sayıdır

bunu sup değidiğimiz bir matematiksel fonksiyon ile ifade edebiliriz

sup(0.9,0.99,0.999...)=x

Yani x, 1 ile infinitesimal number olarak bilinen ε ın farkı ile 1 arasındadır ve bu da bize 1 sonucunu verir

0,999... 1'e eşittir.

Kanıt 1:

0,999... buna x diyelim:

x = 0,999...

Her iki tarafı 10 ile çarpalım:

10x = 9,999...

Her iki tarafı -x ekleyelim:

10x - x = 9,999... - 0,999...

9x = 9

x = 1

Kanıt 2:

2/3 + 1/3 = 3/3 = 1

2/3 0,666...'a eşittir. 1/3 ise 0,333...'e eşittir. Bu durumda:

0,666... + 0,333... = 3/3 = 1

0,999... = 3/3 = 1