Bu soru sayı kümelerinin inşasıyla ilgilidir. Önce Peano aksiyomlarına göre açıklama yapayım. Aksiyom; ispatına gerek duyulmayan, apaçık olan ve başka önermelerin temeli olan önermedir.
Peano aksiyomları şöyledir:
A1). 1, doğal sayılar kümesinin elemanıdır.
A2). Her doğal sayı için onun ardılı denilen başka bir doğal sayı ve yalnızca bir doğal sayı vardır.
A3). Ardılı 1 olan hiçbir doğal sayı yoktur.
A4). İki doğal sayının ardılları eşitse, bu iki doğal sayı da eşittir.
A5). Eğer herhangi bir doğal sayı topluluğu 1'i içeriyorsa ve herhangi bir doğal sayıyı içerdiğinde o doğal sayının ardılını da içerme özelliği varsa, o zaman bu topluluk gerçekte bütün doğal sayıları içerir.
Şimdi doğal sayılar kümesinin inşasından tamsayılara, oradan da rasyonel sayılar kümesinin inşasına ve en son reel sayılar kümesinin inşasına geçeriz (reel sayılardan sonra son olarak karmaşık sayılar kümesini inşa ederiz). Tanım olarak 0'dan büyük her sayı pozitif olduğu ve doğal sayılar kümesi reel sayılar kümesinin alt kümesi olduğu için, doğal sayılar kümesinde tanımlı yukarıdaki aksiyomlar pozitif reel sayılar için de geçerlidir. Dolayısıyla 0=1 diyemeyiz. Çünkü kümemiz 1 ile başlamakta. :)
Burada kafa karıştıran husus 0'ın durumu. Bazı matematikçiler 0'ı doğal sayılar kümesinin elemanı olarak görmüyor.
Sayı kümelerinin inşası; kümeler cebiri ve Peano aksiyomları olmak üzere iki şekilde yapılıyor. Kümeler cebiri ile doğal sayıları inşa ettiğimizde 0'ı, boş küme ile yani {} ile temsil ediyoruz. 1 sayısını ise {boş küme} ile, 2 sayısını { {}, {boş küme} } ile ve böyle böyle tüm doğal sayıları inşa ediyoruz. Bu şekilde inşa ettiğimizde yine 0 ile 1'in temsil ettiği kümelerin farklı olduğunu görüyoruz (kümelerin eşit olması için elemanların tamamen aynı olması gerekir). Dolayısıyla 0=1 diyemiyoruz.