Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat

Sonsuzluk Nedir? Sonsuzdan Büyük Sonsuz Olabilir mi?

Hayvanların Sayma Biçimi, İşlevsel Bir Sonsuzluk Tanımı Yapmamızı Kolaylaştırabilir mi?

Sonsuzluk Nedir? Sonsuzdan Büyük Sonsuz Olabilir mi? Jessica Cantlon
Hayvanlarda nicelik kavramı
9 dakika
9,105

Hayvanlardan bugüne kadar çok şey öğrendik, onların fiziksel özelliklerinden esinlenerek uçak yaptık, sonar cihazını yaptık. Ancak hayvanlardan öğreneceğimiz şeyler sadece fiziksel değil, hayvanların eşleştirme mantığını kullanarak sonsuzluğu da nihayetinde tanımlayabiliriz.

1,2,3... Bu sayı dizisini ne kadar ileriye götürebiliriz? Saniyede üç tane sayı sayabilsek (çok iyimser bir yaklaşım olduğunu saymaya başlayınca göreceksiniz) günde 259.200 , yılda 94.608.000 tane sayı sayabiliriz. Eğer bir insan nefes aldığı saniyeden 100 yaşına kadar sayabilirse 9.460.800.000'e kadar sayabilir. Sadece sayı saymak üzerine kurulu 100 yaşına kadar yaşayabilen bir ailenin var olduğunu varsayarsak bu aile 50 kuşak sonra 473.040.000.000‬ sayısına varacaktır. Bu ailenin keşfedilen ilk insan olduğunu varsayarsak (ilk insan örnekleri 200.000 yıl önce Afrika'da bulunmuştur), şu anda insanlığın 18.921.600.000.000‬'a kadar saymış olması gerekmektedir. Peki sonsuz bu sayı mıdır? Okuyucu muhtemelen tabii ki hayır cevabını vermiştir.

Bir sosyal bilimciye, fizikçiye, matematikçiye, mühendise "Sonsuz nedir?" diye sorulduğunda tamamen farklı 4 cevap almanız muhtemeldir. Farklı cevaplar almanız muhtemelen kafanızı karıştıracaktır ama aslında sonsuz kavramının ne olduğu saymak kavramından gelir. Bu yazıda sayma kavramını farklı bir şekilde, çoğu hayvanın yaptığı şekilde tanımlayacağız.

Tüm Reklamları Kapat

Hayvanlar Nasıl Sayı Sayar?

Hayvanlarda sayı duygusu, sayı miktarlarının tanınmasını ve karşılaştırılmasını içerir. Toplama gibi bazı sayısal işlemler, sıçanlar ve büyük maymunlar da dahil olmak üzere birçok türde gösterilmiştir. Şempanzelerde kesirleri temsil eden ve kesir ilavesi gözlemlenmiştir. Yaklaşık sayı sistemine sahip geniş bir tür yelpazesi, bu mekanizmanın erken evrimsel kökeni veya çoklu yakınsak evrim olaylarını göstermektedir.

Yani hayvanlar sayıları iki niceliği karşılaştırarak tanımlar. Belki ilkokuldan beri saymayı bu şekilde öğrenmemiz gerekiyordu. Çünkü bu tarz saymak aslında çok büyük matematiksel teorileri doğurur. Biz burada sayı saymayı kümeler arası fonksiyonlar inşa ederek yapacağız fakat bunun için öncelikle bazı bilgileri edinmemiz gerekiyor.

Georg Cantor ve sonsuzluk kavramı
Georg Cantor ve sonsuzluk kavramı
OpenMind BBVA

Tanım (Kardinalite)

AA kümesinin kardinalitesi ∣A∣|A| ile gösterilir ve bu kümenin eleman sayısı olarak tanımlanır.

Ölçü teorisi hakkında araştırma yapmış olan okuyucuya bunun kümenin dış ölçüsünden farklı bir kavram olduğunu hatırlatmak isteriz. Bir kümenin kardinalitesi, bize kümenin büyüklüğü hakkında bilgi verir. Şimdi bu kavramı birebir ve örten fonksiyonların perspektifinden düşünelim.

Tüm Reklamları Kapat

  • f:A→Bf: A→ B fonksiyonu birebir fonksiyon olsun o halde ∣A∣≤∣B∣|A|≤|B| olur.
  • f:A→Bf: A→ B fonksiyonu örten olsun o halde ∣A∣≥∣B∣|A|≥|B| olur.
  • f:A→Bf: A→ B fonksiyonu birebir ve örten olsun o halde ∣A∣=∣B∣|A|=|B| olacaktır.

Ayrıca okuyucu için alıştırma olarak A⊂BA⊂B ise ∣A∣≤∣B∣|A|≤|B| eşitsizliğini göstermekle uğraşmasını tavsiye ediyoruz. Bu eşitsizlik işimize yarayacaktır.

Dikkat edilmesi gerekiyor ki eşitliğin sağlanması için AA'nın BB'nin öz alt kümesi olmasına gerek yoktur, zaten sonsuzluk kavramını da buradan inşa edeceğiz. Ayrıca yukarıdaki 3. maddeye bakılırsa, iki kümenin aynı büyüklükte olması için gerek ve yeter şartın kümeler arasında birebir ve örten bir fonksiyon bulunması olduğu görülür.

Hayvanların bizden iyi bildiği şey, saymanın bu şekilde yapılması gerektiği. Hayvanlar iki niceliği kıyaslarken niceliklerdeki elemanları birbiriyle eşleştirir, biz bunu daha matematiksel bir yapı olarak yani fonksiyonlarla ifade ediyoruz. Hayvanlar, "Eğer ikinci nicelikte bazı elemanlar bu eşleştirme konusunda dışarıda kalıyorsa bu ikinci nicelikte daha fazla eleman vardır. Tersi durumda, birinci nicelikte daha fazla eleman vardır. Eğer iki nicelikte tam olarak eşleşiyorsa iki nicelikte birbiriyle aynı büyüklüktedir." sonucuna varırlar. Bunu, aşağıdaki görsel ile gösterebiliriz.

İki niceliğin eşleştirilmesi. 1'in a ile, 2'nin b ile, 3'ün c ile eşleştirildiğini düşünün. İkinci kümede d elemanı açıkta kalacağı için, bir hayvan ikinci setin daha büyük olduğu sonucuna varır.
İki niceliğin eşleştirilmesi. 1'in a ile, 2'nin b ile, 3'ün c ile eşleştirildiğini düşünün. İkinci kümede d elemanı açıkta kalacağı için, bir hayvan ikinci setin daha büyük olduğu sonucuna varır.
Wikiversity

Muhtemelen hayvanlar birebir ve örten bir fonksiyon aramıyordur; ama biz, sonsuzluğu kavramak için, bu tür bir fonksiyon arayacağız. Sonlu sayıda elemana sahip kümelerin kıyaslanması kolaydır, ancak sonlu sayıda elemana sahip olmayan kümelerin karşılaştırılması biraz daha karmaşıktır. Biz bu yazının devamında "sonlu sayıda elemana sahip olmayan kümelerin hepsi sonsuz sayıda eleman içerir" yargısını kıracak, sonsuzluk kavramını ikiye ayıracağız.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Şimdi, tam sayılar ile doğal sayılar kümesinin kardinalitelerini kıyaslayalım, yani hayvanların yaptığı gibi elemanlarını eşleştirelim. Daha matematiksel olarak bir birebir ve örten bir fonksiyon bulalım. Doğal sayılar kümesini sıfırı içerecek şekilde tanımlayalım.

f:N→Zf:ℕ →Z fonksiyonunu (burada ZZ tam sayılar kümesi) f(x)={0, x=0−n+12, x tekn2, x negatifveçiftf(x)=\begin{cases} 0 &\text{, } x=0 \\ - \dfrac{n+1}{2} &\text{, } x\space tek\\ \dfrac{n}{2} &\text{, } x\space negatif ve çift\end{cases}

olarak tanımlayalım. Bu fonksiyonun birebir ve örten olduğunu göstermek okuyucuya bırakılmıştır.

Burada ilginç bir nokta var: Bu fonksiyon, bize tam sayılar ve doğal sayıların aynı niceliğe sahip olduğunu anlatıyor. Yani ∣Z∣=∣N∣|Z|=|ℕ|.

İlk etapta önemini anlamamış olabilirsiniz; ancak bu eşitliğin ne kadar ilginç bir eşitlik olduğunu göstermek için bir tanım yapalım.

Tanım: AA bir küme olsun. −A={−a∣a∈A}-A=\lbrace -a| a∈A \rbrace olarak tanımlanır.

Tüm Reklamları Kapat

Yukarıdaki tanım çerçevesinde Z=N∪−NZ=ℕ \cup -ℕ, 0 haricinde iki ayrık kümenin birleşimi olarak düşünülebilir. Bu tanımdan dolayı N⊂Zℕ⊂Z olur ancak kardinaliteleri eşit olur, bu da yukarıda okuyucuya bıraktığımız eşitsizliğin bir uygulamasıdır. Ayrıca ∣Z∣=∣N∣+∣N∣−1|Z|=|ℕ|+|ℕ|-1 olur, -1 olmasının sebebi de 0'ın iki kümede de yer almasındandır.

Bu denklem ve üstte bulduğumuz sonuç birleştirilirse, ∣Z∣=∣N∣=∣N∣+∣N∣−1|Z|=|ℕ|=|ℕ|+|ℕ|-1 olur; basit sadeleştirmelerle ∣N∣=1|ℕ|=1 bulunur - ki bu imkansızdır çünkü doğal sayılar bir tane değildir. O halde bu işlem üzerinde bir sadeleştirme yapılamaz; yani bilinenin aksine bir toplama işleminden söz ediyoruz. Buradan, doğal sayılar kümesinin kardinalitesi üzerinde bilinen işlemlerin yapılamayacağı sonucuna varılır.

Doğal sayılar kümesinin kardinalitesi ∣N∣=ℵ0|ℕ|=\aleph _0 ile gösterilir. Bu niceliğin sayısal bir değeri yoktur; fakat "sayılabilir sonsuz" adı verilir. Buradaki "saymak" gündelik yaşamda kullandığımız anlamıyla "saymak" değil, eşleştirmenin mümkünatı dolayısı ile söylenmiş bir sözdür. Bunu hayvanlar, evrimsel temelleri dolayısıyla bizden daha iyi yapmaktadırlar. İşleri biraz daha irdeleyelim ve rasyonel sayılar kümesine bir göz atalım.

Tüm Reklamları Kapat

Q={ab∣a,b∈Z ebob(a,b)=1}ℚ= \lbrace \dfrac{a}{b} | a,b ∈ Z\space ebob(a,b)=1 \rbrace bu kümeyi Q={(a,b)∣a,b∈Z ebob(a,b)=1}ℚ=\lbrace (a,b) | a,b∈Z \space ebob(a,b)=1\rbrace olarak düşünelim, aşağıdaki kanıtsavı kullanıp bakış açımızı değiştireceğiz.

Kanıtsav: f:A→Bf:A→B fonksiyonu birebir ve g:B→Ag:B→A fonksiyonu da birebir ise, AA ile BB arasında birebir ve örten bir fonksiyon vardır.

Çılgınca gelecek; ancak ∣Q∣=∣N∣|ℚ|=|ℕ| sonucuna varacağız. Bunu görmek için ise ilk eşleştirmeyi rasyonel sayılardan doğal sayılara yapacağız. f:Q→Zf:ℚ→Z fonksiyonu f(n)=n1f(n)=\dfrac{n}{1} fonksiyonu birebirdir. İkinci eşleştirmeyi ise tablo ile yapacağız. Tam sayıları satır ve sütunlara yerleştirelim araya da satır ve sütunu bölüm formunda yazalım.

Cantor'un tahtası
Cantor'un tahtası
Science Photo Library

Bu çılgınca yöntem, ilk olarak Georg Cantor tarafından yapılmıştır. Bu tablodaki eşleştirme fonksiyonu da birebirdir; bu da bizi ∣Z∣=∣N∣=∣Q∣|Z|=|ℕ|=|ℚ| eşitliklerine ulaştırır. İnanılmazdır; ancak ne kadar rasyonel sayı varsa, o kadar tam sayı ve o kadar da doğal sayı vardır ve hepsi de sayılabilir sonsuz kadardır!

Tüm Reklamları Kapat

Agora Bilim Pazarı
Arabalar, Trenler ve Uçaklar Çıkartmalı Etkinlik Kitabı 2

Çeşit çeşit arabalar, uçaklar ve trenler!

Bu kitapta onlarla ilgili birçok etkinlik bulacaksın. Nokta birleştirmeler, labirentler, aradaki farkı bulmalar, boyamalar ve rengârenk çıkartmalar… Ayrıca taşıtlarla ilgili bir sürü teknik ve tarihi bilgi de var. Eğlenirken hem öğrenecek hem de yaratıcılığını kullanacaksın!

Devamını Göster
₺70.00
Arabalar, Trenler ve Uçaklar Çıkartmalı Etkinlik Kitabı 2
  • Dış Sitelerde Paylaş

Bu kavram, "en küçük sonsuzluk" olarak tanımlanır.

Georg Kantor ve Sonsuzluk Kavramı

Burada biraz Georg Cantor tarafından duruma bakmamız gerekmektedir. Cantor, kümeler kuramını kuran ve sonsuz kavramına ilk defa kavranabilirlik getiren Alman bir matematikçidir. Zamanının çok ötesindeki düşünceleri daha yeni anlaşılmaktadır. Öyle ki sonsuzluğun tek olmadığını düşünmüş ve göstermiştir.

Gerçek sayılar kümesinin doğal sayılar kümesini kapsadığı açıktır; peki onun kardinalitesi hakkında ne söylenebilir? Cantor, bu kez gerçek sayılar kümesinin kardinalitesinin doğal sayılarınkiyle aynı olmadığını gösterdi.

Kanıtsav: ∣R∣>ℵ0|ℝ|> \aleph_0

Kanıt: Çok daha çılgınca bir iddia ortaya atıp [0,1][0,1] aralığının kardinalitesinin, sayılabilir sonsuzdan büyük olduğunu göstereceğiz. Varsayalım ki ∣[0,1]∣=ℵ0|[0,1]|=\aleph_0 olsun, o halde f:N→[0,1]f:ℕ→[0,1] birebir ve örten fonksiyonu vardır. Daha farklı bir deyişle bu aralıktaki bütün sayıları kapsayan sonsuz listeler vardır, örneğin a1=0.24372293a_1=0.24372293, a2=0.84756129a_2=0.84756129 ... gibi. NN sayısını şöyle tanımlayalım: n.n. basamağındaki sayı eğer 9'dan küçükse listedeki n.n. sayı +1 değeri alsın, 9 ise 0 değeri alsın. NN hiçbir listede bulunamaz, bu sayede listenin tamamlanmadığı ortaya çıkar - yani birebir ve örten bir fonksiyon yoktur. Bu da ∣[0,1]∣>ℵ0|[0,1]|>\aleph_0 eşitsizliğine götürür. [0,1]⊂R[0,1]⊂ℝ olduğundan ∣R∣>ℵ0|ℝ|>\aleph_0 sonucuna ulaşırız.

Bu kanıtsav bize çok başka şeyler de söyler. Örneğin irrasyonel sayıların kümesini irir ile gösterirsek R=ir∪Qℝ=ir\cup ℚ olacağını biliyoruz, ∣R∣=∣ir∣+∣Q∣|ℝ|=|ir|+|ℚ| olur çünkü irrasyonel sayılar ile rasyonel sayılar ayrıktır. Yukarıdaki eşitlikten ∣ir∣>ℵ0|ir|>\aleph_0 sonucuna varırız. Dahası gerçek sayılar kümesinin kardinalitesi "sayılamaz sonsuz" olarak tanımlanır, buradaki sayılamamaktan kastın ne olduğunu artık biliyoruz. Bu tanım ışığında ∣R∣=∣ir∣|ℝ|=|ir| olduğu sonucuna varırız. Yani irrasyonel sayılar rasyonel sayılardan çok daha fazladır.

Sayılamaz sonsuzluk ise 2ℵ02^{\aleph_0} ile gösterilir.

Sonuç

Sonsuzluk kavramının ortaya çıkışı, kümeleri karşılaştırmaktan gelir. Hayvanların karşılaştırma güdüsü, matematikçilerin fonksiyon kurmasına benzetilebilir ve bu benzetmeden dolayı sonlu sayıda elemanlı kümelerin karşılaştırması gibi sonlu sayıda elemanlı olmayan kümelerin de karşılaştırması yapılabilir.

Bir kümenin sonlu olmaması, sonsuz olması anlamına gelmez; sayılabilir ya da sayılamaz sonsuz olduğu anlamına gelir. "Sayılamaz sonsuzluk" genelde kısaca sonsuzlukla sayılabilir; sonsuzluk ise kısaca sayılabilirlik ile anılır; ancak ikisi de sonsuzluğun bir temsilidir.

Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
29
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

İçerikle İlgili Sorular
Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Tebrikler! 11
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 5
  • Muhteşem! 3
  • Merak Uyandırıcı! 3
  • Bilim Budur! 2
  • Güldürdü 1
  • İnanılmaz 1
  • Umut Verici! 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 22/04/2024 13:04:28 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/8768

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Kafatası
Beslenme Biçimi
Hastalık
Jinekoloji
Hayvan Davranışları
Uygulama
Bilinç
Obstetrik
Tıp
Evrimsel Tarih
Küresel Isınma
Bilim
İnsan
Asteroid
Bebek Doğumu
İletişim
Dilbilim
Önlem
Genel Halk
Elektrokimya
Tohum
Hukuk
Uzun
Parçacık
Foton
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Gündem
Bugün Türkiye'de bilime ve bilim okuryazarlığına neler katacaksın?
Bağlantı
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Bu platformda cevap veya yorum sistemi bulunmamaktadır. Dolayısıyla aklınızdan geçenlerin, tespit edilebilir kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Ekle
Soru Sor
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
M. Taşdemir, et al. Sonsuzluk Nedir? Sonsuzdan Büyük Sonsuz Olabilir mi?. (25 Mayıs 2020). Alındığı Tarih: 22 Nisan 2024. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/8768
Taşdemir, M., Özdil, A. Ş. (2020, May 25). Sonsuzluk Nedir? Sonsuzdan Büyük Sonsuz Olabilir mi?. Evrim Ağacı. Retrieved April 22, 2024. from https://evrimagaci.org/s/8768
M. Taşdemir, et al. “Sonsuzluk Nedir? Sonsuzdan Büyük Sonsuz Olabilir mi?.” Edited by Ayşegül Şenyiğit Özdil. Evrim Ağacı, 25 May. 2020, https://evrimagaci.org/s/8768.
Taşdemir, Mert. Özdil, Ayşegül Şenyiğit. “Sonsuzluk Nedir? Sonsuzdan Büyük Sonsuz Olabilir mi?.” Edited by Ayşegül Şenyiğit Özdil. Evrim Ağacı, May 25, 2020. https://evrimagaci.org/s/8768.
ve seni takip ediyor

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close