Perkolasyon Teorisi Nedir?

Latince percolare, yani "filtreleme, süzülme" kelimesinden türemiş olan perkolasyon kavramı, günlük yaşamımızda ve bilimsel çalışmalarda kendine oldukça geniş bir yer bulmaktadır. Kavramın genel anlamda ne ifade ettiğini anlamak, sonrasında özel olarak bir teori yaklaşımıyla değerlendirirken bize yol gösterecektir.

Perkolasyon, sürekli bir ekstraksiyon yöntemidir, denebilir. Farklı bilimsel alanlarda; teknik, yaklaşım, araştırma konusu, modellenen bir sistem veya bir teori olarak kendine yer bulan bu kavram, bu alanlarda çağrışımsal terimlerle ifade edilmektedir. Örneğin kahve demleme işlemini kabaca, suyun öğütülmüş kahve çekirdeklerinin arasından sızması olarak tanımlayabiliriz.

Perkolasyon bir diğer adlandırmayla sızma teorisini anlaşılır kılmak için kullanılan en popüler akıl yürütme yollarından biri, "orman yangını" analojisidir. Bu doğrultuda, farklı sayıda ve birbirinden farklı uzaklıklardaki ağaçlardan oluşan bir ormandaki yangının, eldeki verilerin değişmesine bağlı olarak hangi senaryolarda yayılacağı üzerine değerlendirmeler yapılır. Dolayısıyla perkolasyon teorisi, düzensizlikleri matematiksel ve fiziksel anlamda incelemekle ilgilidir denebilir. Bu teori; fizik, jeoloji, kimya, biyoloji ve diğer alanlardaki benzer süreçleri anlamak için kullanılan matematiksel bir araçtır.

Ağlar ve Düğümler

Öncelikle matematiksel bir araç olarak nitelendirdiğimiz bu teoriyi, matematiksel modellemeleri kullanarak inceleyeceğiz.

Bir ağ, birbirine bağlı nesnelerden oluşur. Bu nesneler, ağların matematiksel temsili olan grafiklerde "düğüm" olarak kendine yer buluyorken düğümler arasındaki bağlantılar ise kenarları oluşturur.

The Network Pages

Günlük hayattan anlaşılır bir örnek vereceksek bu, sosyal ağlar olabilir. Sosyal ağları düşünürsek bir bilginin yayılması olayında kişiler, düğüm; birbirleriyle olan ilişkileri yani bağlantıları ise kenarlardır. İki kişinin bilgi alışverişi olasılığına bağlı olarak bir söylenti; yalnızca yerel olarak yayılması, hiç yayılmaması veya viral hale gelerek ağdaki herkesin bilmesi olarak sonuçlanabilir.^[1]

Şimdi sonsuz bir kare ızgarayı hayal edelim. Grafikteki her kenar, rastgele bir şekilde silinip silinmeyeceğine karar versin. Eğer kenar silinmezse bu kenar grafikte kalacak ve bu kenarı "açık" olarak ifade edeceğiz. Kenar silinirse buna "kapalı" diyeceğiz. Şimdi her kenarın açık ya da kapalı olma ihtimalinin yarı yarıya olduğunu düşünelim. Burada her bir kararın birbirinden bağımsız olarak alınması çok önemlidir. Dolayısıyla ağın bir bölümünde olanlar, başka bir yerinde olanları etkilemez. Her kenar kararını verdikten sonra sonsuz kare ızgaranın bir alt grafiği olan yeni bir grafik elde ederiz. Bu grafikte bir düğümü renklendirmek, düğümlere bağlı kenarlarla birlikte tüm bileşenlerini renklendirecektir.^[2]

Kritik Faz Sızma Eşiği

1957'de Broadbent ve Hammersley tarafından ortaya atılan perkolasyon teorisi, yıllar içinde birçok alanda kullanılmış ve uygulanmıştır. Tüm bu uygulamalarda öne çıkan matematiksel modelleme ve grafikler söz konusu teorinin değişkenleri üzerine şekillendirilmiştir.

Bu noktada ön plana çıkan Bernoulli rastgele değişkeni; yukarıda bahsettiğimiz kenarların açık veya kapalı olmasıyla ilgili, yani yalnızca iki olası sonucu içeren ve 1 veya 0 değeri alan olasılık dağılımıdır. X Bernoulli rastgele değişkeni olmak üzere, bu rastgele değişkenin değer kümesi $D_X$={$0,1$} dir. Burada yalnızca iki sonuç veren Bernoulli rastgele deneyi, ardışık bir şekilde $n$ defa ve birbirinden bağımsız olmak üzere gerçekleştirildiğinde elde edilen dağılıma Binom dağılım denir. Bu durumu, perkolasyon teorisini anlamamıza yardımcı olması amacıyla kare kafes grafiği üzerinde örneklendirebiliriz.

Herhangi iki düğüm arasındaki kenarın açık olma olasılığına $p$ dersek kapalı olma olasılığı ise $1-p$ olacağından, açık bağlantılardan oluşan bir yolun oluşma olasılığının ne olduğunu bilmek istiyoruz. Açık bağlantılardan oluşan bir yolun ortaya çıkması için, faz geçişine karşılık gelen kritik bir eşik olasılığı var mıdır?

Bu rastgelelik, ağdaki açıklığın bazen fazla bazen ise az olabilmesi demektir. Binom dağılımı için, $n$ düğüm sayısı olmak üzere, $n\times p\times (1-p)$$.$ varyanstır. $p=1$ ise tüm kenarlar kesinlikle korunacak yani tüm kenarlar açık olacak, $p=0,5$ ise kenarların yarısı korunacak ve $p=0$ ise tüm kenarlar kesinlikle kaldırılacak yani tüm kenarlar kapalı olacak. Burada $p$'nin alabileceği değerleri $[0,1]$ aralığına genişletirsek bu parametreye bağlı olarak farklı grafikler elde edilecektir.

Geldiğimiz bu noktada $p$, $p_c=(\frac{log(n)}{n})$ değerine eşit olduğunda bir faz geçişi söz konusudur. $c<1$ olmak üzere $p=(\frac{clog(n)}{n})$ değeri için büyük olasılıkla grafik, bağlantılı değildir. Ancak $c>1$ için $p=(\frac{clog(n)}{n})$ değerine göre grafik, bağlantılıdır. Benzetme yaparsak bağlantılı olmak ile kastettiğimiz suyun kahve granülleri arasından sızarak dibe ulaşması ve dolayısıyla kahvenin süzülmesidir.

Perkolasyon modellerinin belki de en önemli özelliği, bir faz geçişi sergilemesidir. Yani bir eşik değeri, sızma eşiği, vardır ve bu değer $p_c\in [0,1]$ dir. Öyle ki sistemin davranışı $p<p_c$ ve $p>p_c$ durumları için oldukça farklıdır.^[3]

Sonuç

Perkolasyon teorisinde, sızma eşiği önemli bir rol oynar. Bu faz geçişleri gerçek hayatta karşılık bulur ve ilgi çekicidir. Bu teori, birçok diğer fiziksel sistemin anlaşılmasını kolaylaştırır. Perkolasyon teorisi fraktal kavramıyla da yakından ilişkilidir ve bu kavram doğada hemen hemen her yerde ortaya çıkmaktadır.

Sızma olgusunun incelenmesi bazı fiziksel gözlemlerle başlamıştır ve bu alanda günümüze kadar büyük ilerlemeler kaydedilmiştir. Perkolasyon teorisi hala, birçok olguyu açıklamak için kullanılan yaygın yöntemlerden biridir.