Matematiksel Evrime Genel Giriş

Evrim, halk arasında son derece sınırlı bir ölçekte bilinmektedir. Bunun birçok sebebi vardır. En temeli, bilindiği üzere biyolojinin sahalarından biri olarak doğan; ancak sonradan bilimin her bir köşesine ulaşacak kadar güçlenen evrimsel biyolojinin sadece şahsi inançlarla ilgili kısmında tartışmaların süregeliyor olmasıdır. Birçokları, evrimin detaylarını merak etmez; kendi düşünceleriyle ters düşmediğine kendini ikna edecek kadar diğerleriyle tartışmaya girmesi, bu kişiler için yeterlidir. Kısaca evrimle ilgileniyormuş gibi gözüken birçok kişi için evrim, bir masabaşı muhabbetinden, internette stres atmak için tartışma gruplarında kullanılan bir araçtan ibarettir. Ancak ortalama Evrim Ağacı okuyucusunun bu sığ düzeyden çok daha ötede olduğunu düşünüyor ve umuyoruz. Bu sebeple, bu yazı dizimizde ilk defa Türkçe ve detaylı olarak evrimin matematiğini anlatmaya çalışacağız.

İlk etapta bu satırları okuyan birinin aklına gelecek ilk soru, sanıyoruz ki "Evrimin matematikle ne alakası var ki?" sorusu olacaktır. Bu oldukça doğaldır ve sebebi yukarıda açıkladığımız gibidir: birçokları, evrimi sadece bir tartışma konusundan ibaret görmektedir. O tartışmalarda sıklıkla evrimin pratik geçmişinin 150 yılı, teorik geçmişinin ise 2000 yılı aşkın bir geçmişe sahip olduğundan bahsedilir; ancak bu sayıların önemi ve uzunluğu üzerinde pek durulmaz. Haydi teorik geçmişini bir kenara bırakalım ve Darwin'in Türlerin Kökeni'ni yazmasından sonraki evrimsel biyolojinin gelişim dönemine odaklanalım. Bu 150 yıl bile, modern bilimin birçok dalı için oldukça fazla bir sayıdır. Bir diğer deyişle, bilimin yaygın sahaları haline gelmiş birçok alan, evrimsel biyolojiye kıyasla günümüze çok daha yakın zamanlarda keşfedilmiş, geliştirilmiştir. 

Peki bu 150 yılda biyologlar sadece kuşları, böcekleri, genel olarak hayvanları, bitkileri, organizmaları inceleyip onların evrimi üzerinde spekülasyonlarda mı bulunmuşlardır? Darwin'in ortaya koymaya başladığı evrim mekanizmalarını tekrar tekrar doğada gözleyip, kendilerini bu mekanizmaların gerçekliğine ikna etmekle mi yetinmişlerdir? Sahi, Darwin'den sonra evrimsel biyoloji alanında ne gibi değişimler olmuştur? İşte bu sorular, "Madem insanlar maymundan geliyor, o zaman neden hala maymunlar var?" sorusunu soran bir bireyden çıkabilecek sorular değildir. Bu sorular, konunun özünü merak eden kişilerin sorabileceği sorulardır. Bu yazı dizimizde, bu soruları sorabilecek kadar evrimsel biyoloji kavrayışına erişmiş okurlarımızın soru işaretlerini gidermeye çalışacağız. Dolayısıyla bu yazı dizisinin, evrime yeni giriş yapacak okurlarımız için çok faydalı olduğunu düşünmüyoruz. Öncelikle daha temel yazılarımızı okuyup, evrimi tam olarak kavrayıp, ondan sonra arkasında yatan büyüleyici matematiği görmeye davet ediyoruz. Tabii ki karar her zaman olduğu gibi yine okurlarımızındır, bizden sadece tavsiyesi...

Umuyoruz ki bu yazı dizisi sonunda, evrimsel mekanizmaların matematiğini kavrayabilecek ve evrimin sanılanın aksine "tesadüflerden ibaret" olmadığını; tam tersine, evrime neden olan ana mekanizmaların tıpkı fizik yasaları gibi öngörülebilir temellere sahip olduğunu göreceksiniz. Bu konuları olabildiğince sadeleştirebilmek için elimizden geleni yapacağız, umarız başarılı oluruz.

Evrimin Matematiği, Matematiğin Evrimi

Biyolojinin temel bilimlerde kısmen "dışlanıyor" olmasının nedeni, matematiksel açıdan "boşlukta" olmasıdır. Çünkü henüz biyolojinin matematiğini çözebilmiş değiliz. Örneğin havada serbest bıraktığımız topun yere ne zaman düşeceğini milisaniyeler düzeyinde başarıyla hesaplayabiliriz. Ancak bir parmağınızı, avcunuza ileri geri sürttüğünüzde, avcunuzun kaç saniye sonra ne kadar kızaracağını bilmemizin bir yolu yok. Genlerinize bakarak matematiksel olarak boyunuzun 6 yaş 4 ay 2 günlükken kaç santimetre ve kaç milimetre olacağını bilemiyoruz. Parmağınızı kestiğinizde, kaç gün içerisinde ne kadar yenileneceğini, kaç hücrenin tam olarak yarayı kapatacağını hesaplayamıyoruz. Hatta işin komik tarafı, vücudumuzda kaç hücre olduğunu bile bilmiyoruz! 

Ancak bunların sebebi, biyolojinin "gizemli" olması falan değil. Bunların sebebi, biyolojik yapıların son derece doğrusal olmayan (non-lineer) ve kaotik sistemler olmasıdır. Bunu bir robota benzetebiliriz: aslında mühendisler olarak robotların her bir adımını önceden belirleyebiliriz; ancak eğer ki önünüze bir robot konuverirse, robota dair tüm teknik detayları ortaya çıkarmadığınız müddetçe, robotun hareket etmesini sağlayan kodları, dinamik modelleri, elektrik devrelerini öngörmeniz mümkün değildir. Tahminlerde bulunabilirsiniz, deneme-yanılma yöntemlerine başvurabilirsiniz, birçok testten geçirerek sonuçları istatistiki olarak analiz edebilirsiniz, tersine-mühendislik yöntemleriyle sonuçlara varabilirsiniz; ancak tamamen bilmeniz çok zordur. 

İşte biz de, biyolojide aynen bunu yaparız: sistemler çok karışık, çok kaotik, çok düzensiz olduğu için, büyük gruplar halinde ele alıp, tekil incelemeler yapıp, sonrasında istatistiki analizlerden geçirerek sonuçlara varmaya çalışırız. Aslında tüm bilimler böyle çalışır. Fakat diğer bilimlerde, sistemlerin biyolojik yapılar kadar karışık olmamasından ötürü hata payları oldukça azaltılabilir ve her seferinde kesin (veya kesine çok yakın) sonuçlar verebilecek teoriler geliştirilebilir: Kütleçekim Teorisi, Gazların Kinetik Teorisi, Makina Teorisi gibi... Biyolojide geliştirdiğimiz teoriler ise, çok daha geniş hata paylarına, daha fazla istisnalara, daha esnek tanımlara sahiptir. Ancak nasıl ki fizik ve uygulamalı bilimler (mühendislik) sahalarındaki teorilerimiz sayesinde bugün kıtalar arası seyahat edebiliyor, Ay'a gidebiliyor, on binlerce kilometre öteden ses ve görüntü aktarımı yapabiliyorsak; biyoloji teorilerimiz sayesinde de canlıların nasıl var olduğunu, nasıl değiştiğini, nasıl geliştiğini, nasıl evrimleştiğini anlayabiliyoruz. Geride biraz daha fazla soru işareti kalıyor; ancak yine de bu başarılarımız sayesinde, astrofizikçilerin bile "gelmiş geçmiş en göz kamaştırıcı bilim kuramı" olarak tanımladıkları Evrim Kuramı'na sahibiz. Bu biyoloji teorilerimiz sayesinde "evrenin en karmaşık yapısı" olarak tanımlanan beynin nasıl çalıştığını giderek daha iyi şekilde anlıyoruz. Biyolojide geliştirdiğimiz teoriler sayesinde teknolojimize, yapay zekaya, biyolojiden esinlenen mühendisliğe yön verebiliyoruz. Dolayısıyla biyolojinin fizik veya kimya kadar kesin sonuçlar vermemesi, sizlerin yanlış kanılara kapılmasına neden olmasın! Biyoloji de, sıradan bir insanın aklını zorlayabilecek kadar isabetli ve net sonuçlar verebilen bir bilim dalıdır.

İşte tüm bu çalışmalarda biyolojinin ayaklarının yere daha sağlam basmasını sağlayan, ele alınan ve incelenen bir gen popülasyonunu, bir canlı popülasyonunu ya da belirli bir bireyin belirli bir özelliğini analiz edebilmemize imkan sağlayan matematiktir. Sadece matematik de değil; matematikle iç içe alanlar olan istatistik ve mühendislik de çok önemli bulgulara ulaşmamızı, çok güçlü teoriler geliştirmemizi sağlamaktadır. İşte bu yazı dizimizde, sizlere bu matematiksel açıklamalardan bahsedecek, biyolojinin belki de pek bilmediğiniz bir tarafını göstermeye çalışacağız.

Bazı Önemli İsimlere Örnekler...

Darwin'den sonra gelen bilim insanları, özellikle de biyologlar, çoğu zaman sadece "biyolog" değillerdi. Birçokları mühendislik, matematik, istatistik, sosyal bilimler, iktisat gibi alanlarda uzmanlıkları olan kişilerdi. Evrimsel biyolojinin babaları arasında sayılan ve evrimin matematiğine büyük katkılar sunmuş olan John Maynard Smith, mühendislik öğrencisiydi ve 2. Dünya Savaşı boyunca uçak tasarımları üzerinde kendisini geliştirdi, araştırmalarını bu konuya odakladı. Ancak Maynard Smith, matematiğin en temel kuramları arasında yer alan oyun teorisinin evrime uyarlayarak bu konuda somut çalışmalar yapan ilk bilim insanı oldu. Sonrasında, evrimsel biyoloji alanında yaptığı çalışmalarla seksin evrimine ışık tuttu ve cinsel sinyalleme teorilerini geliştirdi. Bu sayede, az önce de bahsettiğimiz gibi, "evrimin babaları" arasında yerini aldı. Mühendislikle başlayan ve devam eden hayatı, evrimsel biyoloji sahasında yaptığı çalışmalarla Kraliyet Cemiyeti'ne girmesiyle devam etti. 1986'da Darwin Madalyası'nı, 1990'da Frink Madalyası'nı, 1991'de Balzan Madalyası'nı, 1995'te Linne Madalyası'nı, 1997'de Kraliyet Madalyası'nı, 1999'da Crafoord Madalyası'nı, 2001'de Kyoto Madalyası'nı kazandı. 2008'de Darwin-Wallace Ödülü'ne layık görüldü. Tüm bunlar, evrimsel biyoloji ve genel olarak bilim dalında en yüksek prestijli ödüller arasında yer almaktadır.

Bir diğer örnek, yine adı bilim tarihine altın harflerle yazılmış olan Ronald Fisher'dır. Fisher, İngiliz bir istatistikçidir; yani özü matematiktir. Ancak aynı zamanda (ve yoğunlukla) evrimsel biyoloji ve genetik alanlarında çalışma yürütmüştür. Bugün bilimin her sahasında kullanılan istatistiki yöntemleri, evrimsel biyoloji sahasında yaptığı çalışmalar sırasında geliştirmiştir. Örneğin ANOVA (çeşitlilik analiz) testi, maksimum benzerlik metodu, güvenilir sonuç metodu, örnekleme dağılımlarının matematiksel çıkarımları Fisher tarafından keşfedilen ya da geliştirilen yöntemlerden sadece birkaçıdır. Üstelik bir istatistikçi olan Fisher, günümüzde modern popülasyon genetiğinin babalarından biri olarak bilinmektedir. Danimarkalı istatistik tarihçisi Anders Hald, Fisher için "neredeyse tek başına modern istatistik bilimini kuran dahi" demektedir. Richard Dawkins ise, çok daha basit bir tanım yapmaktadır: "Darwin'den beri yaşamış en büyük biyolog." Günümüzde, istatistik biliminde Fisher'ın adıyla bilinen birçok terim vardır: Fisher bilgisi, Fisher denklemi, Fisher'ın kesin testi, Fisher'ın Doğrusal Diskriminantı, Fisher'ın Geometrik Modeli, Fisher'ın Eşitsizliği, Fisher'ın Gözbebeği, Fisher Yöntemi, Fisher Permütasyon Testi, Fisher z-Dağılımı, Fisher kerneli, Fisher-Bingham Dağılımı, Fisher-Tippett Dağılımı, Fisher-Yates Karışımı, Behrens-Fisher Problemi ve daha nicesi... Tüm bunlar, Fisher'ın evrimsel biyoloji alanında yaptığı çalışmalar sırasında geliştirdiği matematiksel yöntemler, yaklaşımları, terimlerden bazılarıdır.

Fotoğrafta gördüğünüz ikinci kişi olan Sewall Wright'ın da benzer bir bilimsel arka planı bulunmaktadır. Kendisi bir genetikçi ve evrimsel biyolog olarak bilinir; ancak bu süreçte yaptığı çalışmalarla hem evrimin matematiğine, hem de matematiğin kendisine ve istatistiğe çok ciddi katkılar sunmuştur. En meşhur keşiflerinden biri, günümüzde matematikte "yol analizi" (path analysis) olarak bilinen ve değişkenlerin birbirine olan yönlendirilmiş bağımlılıklarını tanımlamaya yarayan yöntemidir. Bunun haricinde Wright, doğadaki popülasyonların gerçek sayılarının, matematiksel/teorik sayılar ile örtüşmediğini tespit etmiş ve evrimsel biyolojideki kilit konseptlerden biri olan "etkili popülasyon büyüklüğü" kavramını geliştirmiştir. Özellikle evrimin genetik sürüklenme mekanizmasına yaptığı matematiksel katkılar sayesinde hem heterozigotluğun evrimsel süreçteki değişimini anlamamızı sağlamış, hem de türlerin şansa bağlı değişimlerinin analizini kolaylaştırmıştır. 

Burada tek tek isimleri ve hayatlarını saymaya yerimiz elvermez; zaten birçoğunun hayat hikayesini başka yazılarımızda ele alacağız. Ancak evrimsel biyoloji, matematiksel alandaki zaferlerle doludur. Çünkü biyoloji, matematiksel açıdan en boşta kalmış bilim sahasıdır ve halen keşfedilmeyi bekleyen birçok sır vardır. Birçok matematikçi ve mühendis, bu sahada yaptıkları çalışmalar sayesinde biyolojinin matematiğini geliştirmeyi başarmışlardır. Sewall Wright, J.B.S. Haldane, William Hamilton, Edmund Ford, Luigi Cavalli-Sforza ve daha nice isim bunlardan sadece bazılarıdır. Bu kişiler, evrimin doğal seçilim, cinsel seçilim, akraba seçilimi, mutasyonlar, genetik sürüklenme gibi mekanizmalarının arkasında yatan matematiksel ilişkileri ortaya çıkarmak konusunda çok ciddi adımlar atmayı başarmışlardır. Dolayısıyla biyolojinin en hızlı "matematikselleşen" alanlarından biri olan evrimsel biyolojinin gelişimine hız katmışlardır. Popülasyon genetiği sahasında yapılan matematiksel çalışmalar sayesinde, evrimsel biyolojinin de temelleri giderek net tanımlanmış matematiksel temellere oturtulabilmiştir.

Matematik Bunun Neresinde?

Sanıyoruz ki buraya kadar olan kısım evrimsel biyolojinin tarihinde matematiğin önemini ve yerini anlamanızı sağlamaya yetmiştir. Ancak yine de aklınızda, "Tamam da, matematiği nasıl kullanacağız ki biyolojide?" gibi bir soru kalmış olabilir. Bu da çok normaldir; çünkü tüm eğitim hayatımız boyunca biyolojiyi "ezber dersi", geri kalan fen derslerini ise "matematik dersi" gibi görmüşüzdür, buna şartlandırılmışızdır. Bu vahim durumdan siz okurlarımızı kurtarmayı, Evrim Ağacı olarak yola çıktığımızdan beri kendimize görev bildik; umuyoruz ki başaracağız.

Sorunuzun cevabı birçok ölçekte yanıtlanabilir. Burada, şimdilik genel bir cevap vereceğiz: matematik, biyoloji dahilinde basit cebir hesapları şeklinde karşımıza çıkabildiği gibi, karmakarışık diferansiyel denklemler olarak da karşımıza çıkabilmektedir. Bu yazı dizimizde, sizi basitten alıp en azından orta düzeye kadar götürmeye çalışacağız. Orta düzeyin ilerisinde zaten akademik çalışmalara giriş yapmış oluyorsunuz. Eğer ki bu yazı dizimizi takip edip, anlayabildiyseniz, muhtemelen bir sonraki adımınız akademik araştırmaların içerisine doğru olacaktır. Bu konuda da size her türlü desteği vermeye hazırız.

Bu yazı dizimizde, ilk etapta çok basit matematiksel hesapları göreceğiz: mutasyon oranlarının hesabı, popülasyon dağılımındaki özelliklerin frekansları ve benzeri hesaplamalar... Bunlar, dört işlem bilen herkes için yapması kolay; ancak yer yer anlaması zorlayıcı olabilecek konulardır. Olabildiğince açık bir şekilde anlatacak ve siz okurlarımıza gerekli bilgileri vereceğiz. Bunları öğrendikten sonra, gördüğünüz herhangi bir popülasyona da aynı hesapları uygulayarak birçok matematiksel analizi kendi başınıza yapabileceğinizi düşünüyoruz.

Evrimsel biyolojinin basit bir biyoloji sahası olarak başlayıp, günümüzde tüm bilimlere sıçramış bir alan olduğundan söz etmiştik. "Tüm bilimler" derken abartmıyoruz. Matematikle biyolojiyi birleştirmeyi başardıktan sonra yapabileceklerinizin sınırı yok adeta! Örneğin robotik alanına ilgi duyuyorsanız, "davranış temelli robotik" isimli bir sahada yelken açmaya başladığınızda, kısa sürede karşınıza "evrimsel robotik" ve "evrimsel algoritmalar" çıkacaktır. Bu sahalar, robotlara evrimsel biyolojinin matematiksel uygulamalarını adapte ederek, evrimleşen robotlar yaratmayı hedeflemektedir. Bu yazının yazarı olarak, an itibariyle doktora çalışma konum da tam olarak budur. Hem biyoloji, hem de mühendislik sahasında yetkin biri olarak, umuyorum ki sizlere bu yazı dizimizde birçok matematiksel evrim konusunu öğretmeyi başarabileceğim.

Robotlardan söz açılmışken, bu matematiksel evrim yöntemlerini birçok başka sahaya adapte etmeniz de mümkündür. Evrim, optimizasyon (en uyguna ulaşma) demektir. Ortam değiştikçe türler de değişir. Bu değişimin sebebi, optimizasyondur. Değişim söz konusu olduğu anda, matematik devreye girer. Çünkü bu değişimin hızı, türü, miktarı matematikle tanımlanmaktadır. Dolayısıyla evrim, özü itibariyle matematikle ilişkili bir bilim sahasıdır diyebiliriz. Ancak yine de, bu sahada çok sınırlı sayıda araştırma yürütülüyor olmasından ötürü, henüz baş döndürücü keşiflerin yapılması mümkün olmamıştır.

Kim bilir? Belki bu satırları okuyan okurlarımızdan birisi, geleceğin Fisher'ı ya da Smith'i olarak matematiksel evrime yön verir. Zaten Evrim Ağacı olarak yegane amacımız da, siz okurlarımızı bilim konusunda heyecanlandırarak bu sahaların içerisine gitmek konusunda sizleri cesaretlendirebilmek. 

Evet, bu temel girişten sonra, artık yavaş yavaş konularımıza geçebiliriz. Umuyoruz ki faydalı bir yazı dizisi olacaktır. Ancak bir sonraki yazımıza geçmeden önce, matematiksel evrimin ne olduğuyla ilgili olarak Arpat Özgül tarafından kaleme alınan ve Burak Avcı ile Tüzer Kalkan tarafından geliştirilen "Evrimle matematiğin ne alakası var?" başlıklı yazıyı okuyabilirsiniz.