Laplace Denkleminin Dairesel Bölgede Neumann Tipi Sınır Koşullarında Çözümü
Laplace denklemi ilk defa Pierre Simon Laplace tarafından çalışılmış, matematikte, fizikte ve mühendislikte oldukça önemli bir denklemdir. Fizikte en çok akla gelen uygulama alanı Maxwell denklemleri, Laplace operatörü ile ifade edilir. Kimyada ise bu denklem, homojen olmayan versiyonu ile karşımıza çıkar: Young-Laplace denklemi. Bu denklem yüzey gerilimi veya duvar gerilimi fenomeni nedeniyle su ve hava gibi iki statik sıvı arasındaki arayüz boyunca sürdürülen kılcal basınç farkını tarif eder.
Matematiksel olarak ise en bilindik eliptik tipteki kısmi türevli diferansiyel denklemdir. Ayrıca kompleks analizde bir kompleks fonksiyonun analitik olup olmamasını Laplace denklemi ile çok yakından alakası vardır. Bu yazıda Laplace denklemi basitçe detaylara girerek tanıtılıp daha sonra Neumann tipi sınır koşullarına sahip homojen Laplace denkleminin dairesel bir kesit üzerinde çözümü yapılacaktır.
Tanım(Laplace Operatörü): uu iki değişkenli fonksiyonunun Laplace operatörü altındaki görüntüsü Δu\Delta u ile gösterilir ve Δu=uxx+uyy\Delta u=u_{xx}+u_{yy} ile tanımlanır. İç çarpım ile bir gösterim yapacak olursak ">Δu=<∇,∇u>\Delta u= <\nabla,\nabla u> ile tanımlanır.
Tanım (Laplace Denklemi): İki boyutlu öklid uzayından bir boyutlu öklid uzayına tasvir yapan ikinci mertebeden türevleri mevcut olan bir uu fonksiyonu uxx+uyy=0(1)u_{xx}+u_{yy}=0 (1) denklemini bir DD bölgesinde sağlıyorsa uu fonksiyonuna DD bölgesinde harmonik fonksiyon denir. (1)(1) denklemine ise Laplace denklemi adı verilir.
Tanım (Neumann tipi sınır koşulu): Neumann tipi sınır koşulu bir kısmi türevli diferansiyel denklemde bilinmeyen fonksiyonun kısmi türevleri üzerine verilen koşullardır.
Harmonik fonksiyonlar Laplace denkleminden çok daha farklı yerlerde de karşımıza çıkar. Kompleks kümede tanımlı bir fonksiyonun analitikliği ile ilgili çok güçlü bilgiler sunarlar. Harmonik fonksiyonların kümesini HH ile göstereceğiz. Aşağıdaki kanıtsav da analitiklik ile harmonik fonksiyonlar arasındaki ilişkilerden birini içeriyor.
Kanıtsav: f(z)=u+ivf(z)=u+iv kompleks basit bağlantılı bir altuzayda tanımlı bir fonksiyon olsun, bu fonksiyonun analitik olması için gerek ve yeter koşul uu ve vv fonksiyonlarının HH kümesine ait olmasıdır.
Kanıt: Yeterlilik koşulu daha çok kompleks analiz gerektirdiğinden sadece gereklilik koşulu kanıtlanacaktır, yeterlilik koşulu için ileri okumalar bölümünden bir kanıt bulunabilir. f=u+ivf=u+iv basit bağlantılı bölgede analitik olsun, o halde Cauchy-Riemann denklemleri sağlanır. Karışık türev teoreminden bu fonksiyonların harmonik olması gerektiği kolayca görülür. QED.
Dairesel bir bölgede çözmeden önce, çözümün mantığını özümsemek gerektiğinden önce dikdörtgensel bölgede bir çözüm yapacağız. Dairesel bölgede de aynı yöntemi izleyeceğiz.
Problem: DD bölgesi 0≤x≤a,0≤y≤b0≤x≤a , 0≤y≤b bölgesi olsun. Bu bölgede Laplace denkleminin sınır koşulları ux(0,y)=uy(x,0)=uy(x,b)=0,ux(a,y)=f(y)u_x(0,y)=u_y(x,0)=u_y(x,b)=0 , u_x(a,y)=f(y) olarak verilsin. Bu problemi çözelim.
Değişkenlerin ayrılması yöntemini kullanarak adi diferansiyel denklem çözer gibi bir çözüm önerisinde bulunacağız, önerimiz u(x,y)=X(x)Y(y)u(x,y)=X(x)Y(y) formunda olsun, bunu tercih etmemizin nedeni değişkenlerine ayrılabilen bir fonksiyonla başa çıkmanın çok daha kolay olmasındandır.
Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.
Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.
Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.
Çözüm önerisini Laplace denkleminde yerine koyarsak X′′−λX=0...(3),Y′′+λY=0...(4)X''-\lambda X=0 ... (3), Y''+\lambda Y=0 ... (4) olmak üzere iki denkleme ulaşırız. Burada λ\lambda özdeğerleri temsil etmektedir, (4)(4) denklemi için sınır koşullarından Y′(0)=Y′(b)=0Y'(0)=Y'(b)=0 koşullarını elde ederek bir Sturm Liouville problemi elde ederiz.
Çözüm yapılırsa λn=nπb\lambda_n=\dfrac{n\pi}{b} olarak bulunur.
Yn(y)=cos(nπby)Y_n(y)=\cos(\dfrac{n\pi}{b}y) olarak bulunur, dikkat etmek gerekir ki n=0n=0 olduğunda Y0(y)=a0Y_0(y)=a_0 sabit fonksiyon olacaktır.
Özdeğerler (3)(3) denklemine de konursa Xn(x)=ancosh(nπbx)+bnsinh(nπbx)X_n(x)=a_n\cosh(\dfrac{n\pi}{b}x)+b_n\sinh(\dfrac{n\pi}{b}x) olarak bulunur, burada nn pozitif tamsayıdır. süperpozisyon ilkesinden dolayı genel çözüm u(x,y)=a0+∑(ancosh(nπbx)+bnsinh(nπbx))cos(nπby)u(x,y)=a_0+\sum(a_n\cosh(\dfrac{n\pi}{b}x)+b_n\sinh(\dfrac{n\pi}{b}x))\cos(\dfrac{n\pi}{b}y) sayılabilir sonsuz toplam olarak bulunur.
Sınır koşulları yerine yerleştirilirse, an=0,bn=B∫−ππf(w)cos(nwπb)dwa_n=0, b_n=B \intop_{-\pi}^{\pi}f(w)\cos(\dfrac{nw\pi}{b})dw olarak bulunur, burada B=b.cosech(naπb)nπ2B=\dfrac{b.cosech(\dfrac{na\pi}{b})}{n\pi^2} sabittir. Ayrıca Fourier açılımından dolayı a0=0a_0=0 olmalıdır yani ∫−ππf(w)dw=0\intop_{-\pi}^{\pi}f(w)dw=0 eşitliği sağlanmalıdır.
Kompleks Analiz
Bu problemin çözümü bize çözümün varlığı hakkında bir koşul söyler, peki diferansiyel denklemlerin olmazsa olmazı çözümün tekliği için neler söyleyebiliriz? Bize burada kompleks analiz yardım edecek. Harmonik fonksiyonların supremum ve infimum prensiplerinden yararlanarak çözümün tekliği hakkında bir kanıtsav ortaya atacağız.
Kanıtsav: Bir DD bölgesinde harmonik bir uu fonksiyonu supremum (infinimum) değerini bu bölgenin sınırında alır.
Bu kanıtsavın kanıtı için ileri okumalar kısmından okuma yapılabilir.
Kanıtsav: DD bölgesinde Neumann tipi sınır koşullarına sahip Laplace denklemini sağlayan bir harmonik fonksiyon varsa bu fonksiyon tektir.
Kanıt: Çelişki yöntemi ile kanıt yapacağız. u1,u2u_1, u_2 iki çözüm olsun. O halde u=u1−u2u=u_1-u_2 fonksiyonunu tanımlayalım uxx+uyy=∥∇(u1−u2)∥2u_{xx}+u_{yy}=\Vert \nabla(u_1-u_2)\Vert^2 olur. Buradan diverjans teoremi kullanılırsa u1=u2u_1=u_2 sonucuna varılır. Yani çözüm varsa o çözümün tekliği garanti edilir.
Buraya kadarki elde ettiğimiz sonuçlar bize çözümün varlığı, tekliği, supremum ve infimum değerini nerede aramamız gerektiğini gösterdi, bütün bu ısınma turları karşılığında artık istediğimiz şey olan dairesel bölgede çözümü yapabiliriz.
Dairesel bir bölgede çözüm için koordinat takımı değişikliğine gitmek gerekir,bu denklemi çözmek için aşağıda tanıtılacak kutupsal koordinat takımı kullanılacaktır.
Tanım (Kutupsal Koordinatlar): (x,y)→(r,θ)(x,y)→(r,\theta) koordinat dönüşümü x=rcos(θ),y=rsin(θ)x=r\cos(\theta) ,y=r\sin(\theta) 0 , 0≤\theta≤2\pi">r>0,0≤θ≤2πr>0 , 0≤\theta≤2\pi ile tanımlanan dönüşümdür.
Laplace denklemini kutupsal koordinat takımında ifade etmek istersek kısmi türev operatörünün zincir kuralını da kullanarak uxx+uyy=urr+r−1ur+r−2uθθ=0...(2)u_{xx}+u_{yy}=u_{rr}+r^{-1} u_{r}+r^{-2} u_{\theta\theta}=0 ... (2) denklemine elde ederiz. Artık çözmek istediğimiz problemi çözmek için gerekli her bilgiye sahibiz.
Problem: urr+r−1ur+r−2uθθ=0,R1≤r≤R2,0≤θ<α≤π/2u_{rr}+r^{-1} u_{r}+r^{-2} u_{\theta\theta}=0 , R_1≤r≤R_2 , 0≤\theta<\alpha≤\pi/2
Sınır koşulları ur(R1,θ)=f(θ),ur(R2,θ)=g(θ),uθ(r,0)=0=uθ(r,α)u_{r}(R_1,\theta)=f(\theta) , u_r(R_2,\theta)=g(\theta) , u_{\theta}(r,0)=0= u_{\theta}(r,\alpha)
Adi diferansiyel denklemlerdeki mantıkla aynı olarak bir çözüm önerisinde bulunacağız. u(r,θ)=R(r)T(θ)u(r,\theta)=R(r)T(\theta) formundaki bu öneri denklem için klasik çözüm önerisidir. Bu öneriyi denklemde yerine yerleştirirsek, r2R′′+rR′+λR=0(3),T′′+λT=0(4)r^2R''+rR'+\lambda R=0 (3) , T''+\lambda T=0(4) olmak üzere iki yeni denklem elde ederiz. Burada λ \lambda keyfi değildir özdeğer adı verilir.
Dikdörtgensel bölgede uyguladığımız yöntemi buraya uyarlarsak, (4)(4) denklemine ana problemimizdeki sınır koşulları yardımı ile T′(0)=T′(α)=0T'(0)=T'(\alpha)=0 sınır koşullarını eklersek bu denklemi bir Sturm-Liouville problemine dönüştürürüz.
(4)(4) denklemini sınır koşullarıyla birlikte çözersek λn=0\lambda_n=0 özeğeri için T0(θ)=b0(sabit)T_0(\theta)=b_0 (sabit) λn=nπ/α\lambda_n=n\pi/\alpha özdeğeri için Tn(θ)=cos(nπθ/α)T_n(\theta)=\cos(n\pi\theta/\alpha) özfonksiyonları bulunur, burada nn doğal sayıdır.
Bulduğumuz özdeğerleri (3)(3) denkleminde de kullanırsak R0(r)=a0ln(r) R_0(r)=a_0\ln(r) ve Rn(r)=anrnπ/α+bnr−nπ/αR_n(r)=a_nr^{n\pi/\alpha}+b_nr^{-n\pi/\alpha} olarak bulunur. Süperpozisyon ilkesinden:
u(r,θ)=a0ln(r)+b0+∑(u(r,\theta)=a_0\ln(r)+b_0+\sum(anrnπ/α+bnr−nπ/α)a_nr^{n\pi/\alpha}+b_nr^{-n\pi/\alpha})cos(nπθ/α)\cos(n\pi\theta/\alpha)
çözümüne ulaşılır. Sınır koşulları da işin içine katılırsa Fourier serilerinden esinlenilerek
a0=R1/2π∫−ππg(θ)dθa_0=R_1/2\pi\intop_{-\pi}^{\pi}g(\theta)d\theta, an=α/nπ2∫−ππ(R2−(nπ+α)/αg(θ)−R1−(nπ+α)/αf(θ))cos(nπ/α)dθCa_n=\dfrac{\alpha/{n\pi^2} \intop_{-\pi}^{\pi}(R_2^{-(n\pi+\alpha)/\alpha}g(\theta)-R_1^{-(n\pi+\alpha)/\alpha}f(\theta) )\cos(n\pi/\alpha)d\theta}{C}
bn=α/nπ2∫−ππ(R2(nπ−α)/αg(θ)−R1(nπ−α)/αf(θ))cos(nπ/α)dθCb_n=\dfrac{\alpha/{n\pi^2} \intop_{-\pi}^{\pi}(R_2^{(n\pi-\alpha)/\alpha}g(\theta)-R_1^{(n\pi-\alpha)/\alpha}f(\theta) )\cos(n\pi/\alpha)d\theta}{C}
burada:
C=(R1/R2)(nπ−α)/α−(R2/R1)(nπ−α)/αC=(R_1/R_2)^{(n\pi-\alpha)/\alpha}-(R_2/R_1)^{(n\pi-\alpha)/\alpha} olarak hesaplanır. Ayrıca Green teoreminden dolayı b0=0b_0=0 olarak bulunur.
Bu denklemi biraz daha analiz edersek, R1→0R_1→0 iken çözümün bilinen bir problem olan dairesel bölgede Neumann tipi Laplace denklemi problemine dönüşmesi beklenir. Gerçekten de a0→0,f(θ)→0a_0→0 ,f(\theta)→0 olur ve katsayılar da bu çözümlü problemle uyumlu olur. Yani önerdiğimiz bu çözüm bütün dairesel tipteki bölgeler için geçerlidir, Laplace denkleminin Neumann tipi probleminin en genel çözümü bu önerdiğimiz çözümdür.
Bu karmaşık katsayılar bize tıp için çok önemli bir cihaz hakkında çeşitli bilgiler verir. Örneğin, Elektriksel Empedans Tomografi cihazının potansiyel fonksiyonunun seviye eğrileri, tam dairesel bölge üzerindeki Laplace denklemi ile bulunabilir. Bunun için tek yapmamız gereken şey R1=0,f(θ)=0,g(θ)=I0δ(θ−π/2)−I0δ(θ+π/2)R_1=0 , f(\theta)=0 , g(\theta)=I_0\delta(\theta-\pi/2)-I_0\delta(\theta+\pi/2) olarak almak. Burada I0I_0 bir sabit ve δ\delta Dirac delta fonksiyonudur. Bu problemi çözebilir misiniz?
Laplace denkleminin cilt cilt kitaplara ancak sığacak özellikleri vardır ancak bu yazıda birkaçını paylaştık ve Laplace denkleminin özel bir hali için çözüm yaptık. Son bölümde uygulama olarak yaptığımız Elektriksel Empedans Tomografi probleminin çözümünü de sizlere alıştırma olarak bırakıyoruz.
İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
Soru & Cevap Platformuna Git- 6
- 5
- 4
- 4
- 3
- 3
- 2
- 2
- 1
- 1
- 0
- 0
- T. Chen, et al. Derivation Of The Generalized Young-Laplace Equation Of Curved Interfaces In Nanoscaled Solids. (20 Ekim 2006). Alındığı Tarih: 16 Mayıs 2020. Alındığı Yer: Research NCKU | Arşiv Bağlantısı
- J.D Gray, et al. When Is A Function That Satisfies The Cauchy-Riemann Equations Analytic?. (4 Mayıs 2020). Alındığı Tarih: 16 Mayıs 2020. Alındığı Yer: Semantic Scholar | Arşiv Bağlantısı
- A. Peirce. Wedges With Cut-Outs, Dirichlet And Neumann Problems On Circular Domains. (4 Ağustos 2020). Alındığı Tarih: 16 Mayıs 2020. Alındığı Yer: UBC Math | Arşiv Bağlantısı
- D. Ryul. Strong Maximum Principle For Harmonic Function. (9 Kasım 2015). Alındığı Tarih: 16 Mayıs 2020. Alındığı Yer: Matschi | Arşiv Bağlantısı
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 21/11/2024 14:34:40 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/8718
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.