Kalkülüsteki Ortalama Değer Teoremi Nedir?

Ortalama değer teoremi matematiksel olarak bir eğri üzerinde alınan bir aralıkta, fonksiyonun uç noktalarını birleştiren doğruya (sekant doğrusuna, kirişe) paralel, fonksiyonun en az bir teğet doğrusu (tanjant doğrusu) olduğunu ifade eder. Bu teorem, özellikle nümerik analiz gibi alanlarda, uygulanan metodun çalışması için gerekli koşulları belirtmede sıklıkla kullanılır.

Gündelik bir örnekle ortalama değer teoremini açıklamak daha kolaydır: Bir araçta olduğunuzu ve uzun bir yolculuğa çıktığınızı düşünün. Yolculuk boyunca aracınız hızlanacak ve yavaşlayacaktır. Dolayısıyla zaman içerisinde farklı hız değerlerinde olacaksınız. Fakat bir saatin sonunda eğer 50 kilometre yol aldıysanız ortalama değer teoremi, yolculuk sırasında en az bir kere saatte 50 kilometre hıza ulaşmış olduğunuzu söyler.

Wikimedia Commons

Figür 1, yukarıda verdiğimiz matematiksel ifadeyi bize görsel olarak açıklar. [a,b] aralığında bulunan bir eğri için ortalama türev, fonksiyonun uç noktalarını birleştiren doğrudur. Yani f(a) ve f(b) arasında çizdiğimiz doğru, ortalama bir değişimi ifade eder. Teoremin bize dediği şey ise bu eğrinin en az bir teğet doğrusunun (tanjantının), bu doğruya paralel olması gerektiğidir.

Burada matematiksel olarak teğet olan bu noktanın yatay eksendeki değeri c'nin (a,b) aralığına düşmesi gerektiğini görürüz. Bu da kullanacağımız teoremlerde belirlediğimiz bir aralık içerisinde istenen bir değerin, bu aralıkta kalmasını sağlayan koşulu bize sunmuş olur.

Burada fonksiyonun sürekli bir fonksiyon olması gerektiğine dikkat ediniz. Eğer belirli aralıkta fonksiyon sürekli değilse o aralıkta bu değere en az bir kere ulaşacağını garantileyemez.

Daha teknik bir ifadeyle ortalama değer teoremi, eğer f fonksiyonu [a,b] kapalı aralığında sürekli bir fonksiyonsa ve (a,b) açık aralığında diferansiyellenebiliyorsa; o halde (a,b) açık aralığında öyle bir c noktası vardır ki c noktasının tanjantı, (a, f(a)) ve (b, f(b)) noktalarının sekant doğrusuna paraleldir. Bunu biraz daha anlaşılır bir biçimde açıklamaya çalışalım.

Ortalama Değer Teoreminin Matematiksel İfadesi

Eğer f fonksiyonu [a,b] kapalı aralığında sürekli ve a<b olduğu (a,b) açık aralığında diferansiyellenebilir bir fonksiyonsa (a,b) açık aralığında aşağıdaki koşulu sağlayan bir c değeri bulunur.

Burada eşitliğin sağındaki ifade, bizim sekant doğrumuzu ifade eder (doğrunun eğimini). f(b)-f(a) ifadesi dikey eksendeki değişim olan Δy'dir. b-a ifadesi ise yatay eksendeki değişim olan Δx'dir. Böylelikle, fonksiyonun uç noktalarını birleştiren doğru denklemini yazmış oluruz.

Teoremin bize söylediği şey, bu doğruya paralel, bu aralıkta tanımlı en az bir tane teğet (tanjant) doğrusu olması gerektiğidir. Bir fonksiyonun o noktasındaki teğet doğrusunun eğimi, o noktasındaki türevi olarak tanımlandığına göre, (a,b) aralığında bulunan bu c noktası için üstteki eşitlik sağlanır (f'(x) değeri (x,f(x)) noktasındaki teğetin eğimini verir).

Ek Bilgiler

Ortalama değer teoremi, verilen aralıkta, kiriş doğrusuna paralel en az bir tane teğet doğrusu olması gerektiğini söyler fakat bunun kaç tane olduğu ile ilgili bir şey ifade etmez. Eğer eğrimiz, kiriş doğrusunun kendisi ise bu durumda kiriş üzerindeki her nokta istenilen özelliğe sahiptir. Aynı zamanda ortalama değer teoremi, varlığını ima ettiği c noktasının nasıl bulunduğu hakkında da bir bilgi vermez. Basit fonksiyonlarda c kolaylıkla hesaplanabilir görünür fakat pratik değildir.

Bu yüzden ortalama değer teoremi, tek başına pek fazla anlam ifade etmez. Fakat kullanacağınız teoremde, gerekli koşulların betimlenmesi için çok iyi bir araç sunar. Bu yüzden min-max teoremi (extreme value theorem) ve ara değer teoremi (intermediate value theorem) gibi varlık teoremleri sınıfının bir üyesidir.

Özellikle sayısal analiz (nümerik analiz) ile ilgili ders alanlar bu teoremle sık karşılaşırlar. Çünkü sayısal analizde belirli bir aralıkta sayısal değeri tespit etmeye çalışırken o aralıkta ilgili bir değerin bulunacağını bilmek önemlidir.