Görselleştirilmiş Modüler Formlar Nedir?

Modüler formlar, yüzyıllardır matematikçilerin ilgisini çekmiştir. Çoklu yapıları sayesinde, matematiğin çeşitli alanları arasında bir köprü oluştururlar. Modüler formlar; analiz araçları, Sayı Teorisi yapıları veya Galois Teorisi kullanılarak tanımlanabilir. Bununla birlikte görselleştirilmeleri zorlu bir görev olmaya devam etmektedir. Burada zorluk, dört boyutlu bir uzayı sezgisel olarak hayal edememekten kaynaklanmaktadır. Bu makalede, belirli modüler formların uzayda nasıl davrandığını grafiksel olarak göstereceğiz. Nihai hedef; estetik düşünceyi, matematiksel titizlikle birleştirebilecek Escher benzeri bir modüler form temsili oluşturmaktır.

Modüler formlar, Karmaşık düzlemin ( $\mathbb{C}$ ile ifade edeceğiz) bir bölümünden (üst yarım düzlemi) $\mathbb{C}$' ye yapılan uygulamalardır. $\mathbb{C}$, 2 boyutlu bir vektör uzayı olduğundan 4 boyutlu uzayları temsil etmemiz gerekir. 4 boyutlu uzayın temsili sorunu, matematikçiler için merkezi bir konu olmuştur. Bu temsilin iki standart yolu vardır; birincisi renkleri kullanmak, ikincisi ise uzaya özgü topolojik özellikleri kullanmaktır.

Bu iki yöntem arasındaki farkı bazı yaygın fonksiyonların (kimlik fonksiyonu, üstel fonksiyon ve bazı modüler formlar) grafiği ile göstereceğiz:

Daha sezgisel olduğunu düşündüğümüz ve temel etki alanını daha net bir şekilde temsil etmemizi sağladığı için sonraki görselleştirmelerde renkleri kullanacağız.

Biraz Teori

Tanım: Modüler bir form $\mathbb{C}$ 'nin üst yarım düzleminden $\mathbb{C}$ 'ye aşağıdaki özelliklere sahip holomorfik bir $f$uygulamasıdır:

$f(\frac{az+b}{cz+d})=(cz+d{)}^{k}f(z)$ $\forall$ $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ $\in$ $\mathbb{S}{\mathbb{L}}_2$

Burada $k$, genellikle ağırlık olarak adlandırılan sabit bir değerdir.

Karmaşık (kompleks) Analizden Notlar

Tanım: $\Omega$ , $\mathbb{C}$'nin bir alt kümesi olmak üzere $\Omega \to \mathbb{C}$üzerinde tanımlanan $f$, aşağıdaki koşulu sağlıyorsa holomorf olarak adlandırılır:

$\underset{z\to z_0}{\lim }$$\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$ mevcuttur $\forall z_0\in \Omega$

Önerme: Tüm modüler formlar periyodiktir.

İspat: $f$ bir modüler form olmak üzere, $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ şeklinde tanımlanan T matrisini alarak $f(z+1)=f(z)$ $\forall z\in$ $\mathbb{H}$ olduğu kolayca görülebilir. Bu da $f$ 'nin periyodikliğini kanıtlar.

Önerme: Holomorfik bir fonksiyon aynı zamanda analitiktir. Periyodik olduğu için Fourier kuvvet serisi açılımına izin verir. Ancak $f$ için bir Fourier serisinin varlığı, $f$'in periyodik olduğunu göstermez.

Örnek: Bu yazımızda görselleştireceğimiz Eisenstein serileri, aşağıdaki tanıma uyan modüler formlardır:

$\tau$ , $\mathbb{H}$'de bir karmaşık sayı olsun ve ayrıca $\Lambda =\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$ şeklinde tanımlansın. O halde;

$E_k(\Lambda )={\sum }_{0/=\lambda \in \Lambda }{\lambda }^{-k}$

Bunların Fourier serileri olarak açılımı aşağıdaki biçimdedir:

$E_k(\Lambda )=E_k(\tau )={\sum }_{(0,0)/=(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2}$ $\frac{1}{(m+n\tau {)}^k}$

Buradan, her modüler formun yalnızca karmaşık bir kuvvet serisi (holomorfik olmalarından kaynaklanan) olarak değil, aynı zamanda Fourier dönüşümü olarak da tanımlanabileceğini görüyoruz. Bu, onları Fourier Serisi tanımıyla temsil etmemize yardımcı olacaktır.

$\mathbb{C}$'nin Açık Birim Diskine Dönüşümü

Bir $z_0$ noktası etrafındaki açık birim disk, $z_0$ noktasına olan uzaklıkları 1'den küçük olan noktalar kümesidir:

$D_1(z_0)=\{z:|z-z_0|<1\}$

Önerme: Açık birim disk, $\mathbb{H}$ 'ye homeomorfiktir.

İspat: $f(z)=\frac{z}{1-|z{|}^2}$ fonksiyonu, açık birim diskten düzleme gerçek analitik ve birebir örten bir fonksiyon örneğidir. Ayrıca ters fonksiyonu da analitiktir. Bu açık birim diskin tüm $\mathbb{C}$ düzlemine analitik olduğunu gösterir. Ancak $\mathbb{H}$ , $\mathbb{C}$ 'ye homeomorfik olduğundan ve homeomorfizm bir denklik ilişkisi olduğundan $\mathbb{H}$ açık birim diske de homeomorfiktir.

Bunu kanıtlamanın bir başka yolu da $g(z)=i\frac{1+z}{1-z}$ (Cayley dönüşümü olarak adlandırılır) fonksiyonunun birim çemberden $\mathbb{H}$ 'ye konformal bir birebir eşleme olduğunu görmektir. Aslında açık birim disk ve $\mathbb{H}$ yalnızca topolojik olarak eşdeğer olmakla kalmaz, aynı zamanda Riemann yüzeyi olarak da benzerdirler. Buradan, üst düzlemdeki herhangi bir modüler formu alıp birim diske yansıtabileceğimizi görüyoruz. Bu da Escher benzeri bir gösterimin çizilmesini mümkün kılar.

Modüler Formların Açık Birim Disk Üzerinde Gösterimi

Açık birim diskin, $\mathbb{H}$ 'ye homeomorfik olduğunu gördük. Modüler bir forma ters Cayley dönüşümü uygulayarak onu açık birim diskte temsil edebiliriz. Bu nedenle daha önce $\mathbb{H}$ 'de çizdiğimiz Eisenstein serisini aşağıdaki seriye dönüştürebiliriz:

Bu görselleştirme modüler formların periyodik yapısını kolayca görmemizi sağlar.

Mobius Dönüşümleri

Mobius dönüşümleri, $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ olacak şekilde karmaşık izdüşüm çizgisinin izdüşümsel dönüşümleridir. Bunlar izdüşümsel doğrusal $\mathbb{PGL}$$(2,C)$ Mobius Grubu adı verilen bir grup oluştururlar.

Önerme: Mobius dönüşümleri aşağıdaki iki matris tarafından oluşturulur:

$T=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ ve $S=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

İspat: İlk durumda $c=0$ olduğunu varsayalım. O halde Mobius dönüşümü doğrusal bir dönüşümdür, bu da onun gerçekten bir öteleme olarak temsil edilebileceği anlamına gelir. Şimdi de $c/=0$ ve $a=0$ olduğunu varsayalım. O halde Mobius dönüşümü bir ters çevirmedir. Son olarak $c/=0$ ve $a/=0$ olduğunu varsayalım. O halde Mobius dönüşümü $f$, şu şekilde yazılabilir:

$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ $⟺f(z)=\frac{a}{c}(1+\frac{bc-ad}{a(cz+d)}$$)$

Bu nokta çok önemlidir. Aslında her Mobius dönüşümünün öteleme ve/veya ters çevirme işlemlerine ayrıştırılabileceğini göreceğiz. Bu, bunların sistematik bir temsiline sahip olmamızı ve yalnızca belirli bir Mobius dönüşümü için kaç öteleme ve ters çevirme işlemine ihtiyaç duyulduğuyla ilgilenmemizi sağlar.

Önerme: Mobius dönüşümleri birbirinden farklı 3 nokta tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir.

Önerme: Özdeşlik olmayan her Mobius dönüşümü en fazla 2 sabit noktaya sahiptir.

İspat: $f(z_i)=z_i$ olmak üzere $i=1,2,3$ olacak şekilde $z_1,z_2,z_3$ noktalarını alalım. Öncelikle eşitlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

$az+b=c{z}^2+dz$

Ancak bu, ancak ve ancak $c=b=0$ ve $a=d$ olduğunda 2'den fazla çözüme izin verir, bu da özdeşlik dönüşümüne eşdeğerdir.

İspat: $0,1$ ve $\infty$ noktalarını ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ olmak üzere verilen üç noktaya eşleyen iki Mobius dönüşümü $S$ ve $T$ olsun. Mobius dönüşümlerinin tersine çevrilebilir olduğunu bildiğimizden, aynı zamanda bir Mobius dönüşümü olan $S\circ T^{-1}$ haritasını oluşturabiliriz. Bu harita $0,1$ ve $\infty$ noktalarını korur. Bu, Mobius dönüşümünün özdeşlik olduğunu ve bu da $T=S$ olduğunu gösterir. Buradan, her Mobius dönüşümünün 3 nokta tarafından benzersiz bir şekilde belirlendiğini görüyoruz.

Önerme: Mobius dönüşümleri çember ve doğru için kararlıdır.

İspat: Çemberler 3 noktaya kadar benzersiz bir şekilde belirlenir; bu, 3 noktanın doğrusal olması durumunda çember bir doğrudur. $f$, bir Mobius dönüşümü ve ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ birbirinden farklı 3 nokta olsun. Daha önce bahsettiğimiz bir önermede olduğu gibi Mobius dönüşümlerinin birbirinden farklı 3 nokta tarafından benzersiz bir şekilde belirlendiğini gördük. Bu da $f({\alpha }_i)={\beta }_i$, $i\in 1,2,3$ olmak üzere $f$'in benzersiz bir Mobius dönüşümü tanımladığı anlamına gelir. $\mathbb{C}$ 'nin tüm doğrularını ve doğru çemberlerini içeren aileyi gösteren $F$ kümesinin her üyesi, denklemin geometrik yeridir.

$\alpha \ast z\ast \bar{z}+\beta \ast z+\bar{\beta }\ast \bar{z}+\gamma =0$

Burada $\beta \bar{\beta }>\alpha \gamma$ olmak üzere $\alpha$ ve $\gamma$ gerçek sabitler, $\beta$ ise karmaşık bir sabittir. Eğer $\alpha /=$$0$ ise bu bir çember tanımlar. $\alpha =0$ ise bu bir doğruyu tanımlar. $z$ yerine $\frac{1}{z}$ yazmak önceki denklemi şu hale dönüştürür:

$\alpha +\beta \ast \bar{z}+\bar{\beta }\ast z+\gamma \ast z\ast \bar{z}=0$

Bu aynı biçimde bir denklemdir ve ispat tamamlanır.

Temel Etki Alanı

Temel etki alanı; $D\subset X$ olmak üzere $X$, $G$ altında $D$ dönüşümlerinin birleşimidir:

$X={\bigcup }_{g\in G}$ $gD$ ve herhangi iki öteleme için $Int(gD\cap g^{\prime }D)$ = $\text{Ø}$ olacak şekilde sağlanır.

Örneğin, modüler bir formun temel tanım kümesi;

$F=\{z\in C:|Re(z)|\le \frac{1}{2},|z|\ge 1\}$ şeklindedir.

Böyle bir nesneyi tanımlamamızın nedeni, modüler formlarımızın yalnızca bir periyodunu temsil etmemize olanak sağlamasıdır. Fonksiyonu tüm uzayda hesaplamak için zaman kaybetmek yerine onu yalnızca temel tanım kümesinde hesaplayıp daha sonra $\mathbb{C}$ 'nin tüm üst düzlemine genişletebileceğiz.

Temel Etki Alanının Temsili

Şimdiye kadar temel etki alanlarını temsil edebilmek için periyodik yapıyı ve modüler formları bir araç olarak kullandık. Eisenstein Serisiyle ilgili temel alanı çizmek için Mobius dönüşümünün değişmez (doğrular ve çemberlerin dönüşümler karşısında korunması) doğasından yararlandık.

Temel etki alanını oluşturma algoritmasının temel fikri, özyinelemeyi ve Mobius dönüşümlerinin $T$ ve $S$ tarafından üretildiği gerçeğini uygulamaktır. Dolayısıyla elimizde şu eşitlik vardır:

$A_{n+1}=$$\{A_n$ x $T,A_n$ x $S,A_n$ x $T^{-1},A_n$ x $S^{-1}\}$\lbrace {A_n

Aynı algoritma bize açık birim çemberin temel tanım kümesini de verebilir.

Modüler Formlara Uygulanan Temel Alan

Öncelikle Eisenstein Serisinin grafiği üzerinde temel etki alanını uygulayacağız ve daha sonra sadece bu Eisenstein Serisini temel etki alanı üzerinde çizerek adım adım ilerleyeceğiz.

Algoritmanın Detayı

Burada $\mathbb{C}$ 'nin üst yarım düzleminin her noktasını; yalnızca Mobius dönüşümü kullarak, temel alan $F$' ye çeviren bir algoritma önereceğiz. $\mathbb{H}$'de rastgele bir $z$ noktası alalım. İlk olarak normun $\mid z\mid$$\ge 1$ olup olmadığını kontrol ederiz. Değilse sağlayana kadar $T$'yi uygularız, sonrasında $\mid Re(z)\mid \le \frac{1}{2}$ sağlayana kadar $S$ uygularız. Bu sürecin $F$'ye ulaşmamızı sağladığını gösterelim.

İspat: $\mathbb{H}$ üzerinde $z(x,y)$ öyle bir nokta olsun ki $x$, $Re(z)$ 'yi tanımlasın ve $y=Im(z)$ olsun. ${\mid z\mid }^2=x^2+y^2\ngeqq 1$ ve $\mid Re(z)\mid \le \frac{1}{2}$ olduğunu varsayalım. İkinci koşulu; noktayı gerçek sayı eksenine göre öteleyerek yani $S$ uygulayarak elde edebiliriz. $T$ uygulayarak normu değiştirip $\mid Tz\mid =\frac{\mid z\mid }{\mid z^2\mid }$ olduğunu görebiliriz. Ancak $\mid z\mid <1$ iken $\mid Tz\mid >\mid z\mid$ olur. Sabit noktalar $\mid z\mid =1$ olacak şekilde tanımlandığından, bu da $F$'de bulunur ve ispat tamamlanır.

Modüler Formların Bir Escher Eseri Olarak Temsil Edilmesi

Geldiğimiz noktada periyodik modüler formlarımızın Escher litografisine benzer resimlere nasıl dönüşebildiğini görebiliyoruz. Bu ilginin kaynağı, Escher eserlerinin büyük çoğunluğunun periyodiklik ve simetriler üzerine kurulu olmasıdır. Bu ilginin ikinci bir nedeni ise Escher'in eserlerinin ardındaki estetik araştırmadır. Güzelliğin sezgiyle bağlantılı olmasıyla birlikte 4 boyutlu uzaylar ve modüler formlar sezgisinin yaratılması, bu alanda sürekli araştırmalarla güzelliğin takip edilmesi anlamına gelir.

Görüldüğü gibi bu resimde çok fazla simetri ve tekrar vardır. Dahası bu simetrilerin modüler formların simetrilerine benzemesi tesadüf değildir. Bu resim, açık birim disk üzerindeki bir mozaikleme örneğidir. Karoların şekilleri, açık birim diskteki temel alanın kopyalarının şekilleriyle aynıdır.

Böyle bir görsel oluşturmak zorlu bir iştir. Ancak daha basit bir örnek oluşturmak mümkündür. Temel etki alanını tek bir renkle, örneğin siyahla, boyayarak başlanabilir. Ardından bu etki alanının bir dönüşümle $(S,T,T^{-1})$ kopyaları siyaha boyanır, bu kopyaların sonraki kopyaları beyaza boyanır bu böyle devam eder.

Tanım: $z\in \mathbb{H}$ olsun. Temel alanda bir karmaşık sayıya dönüştürmek için gereken en küçük dönüşüm sayısını $(S,T,T^{-1}$ arasında$)$ $ord(z)$ ile gösteriyoruz ve $z$ 'nin mertebesi olarak ifade ediyoruz. Aynı zamanda $ord(z)$, temel etki alanının $z$'yi de içeren kendi kopyasına dönüştürmek için gereken minimum Mobius dönüşümü sayısıdır.

Bu tanım sayesinde iki renkli ve Escher eseri benzeri bir resim çizen bir fonksiyon yazabiliriz:

$f:\mathbb{H}\to \mathbb{C}\cup \{\infty \}:z\to$ $\{\begin{array}{ll}0& 2|ord(z)\\ \infty & di\breve{g}er\end{array}$ olmak üzere,

Çıkış değerleri olan 0 ve $\infty$ 'u diğer değerlerle değiştirerek renkleri de değiştirebiliriz. Örneğin $\infty$ 'u 1 ile değiştirirsek siyah ve kırmızı bir resim elde ederiz.

Bir diğer olasılık ise bir $m$ modüler formuna sahipsek fonksiyonu şu şekilde tanımlarız ve elde edilen resimde bazı bölümler modüler formun parçalarını gösterirken diğerleri siyah kalır:

$f:\mathbb{H}\to \mathbb{C}\cup \{\infty \}:z\to \{\begin{array}{ll}0& 2|ord(z)\\ m(z)& di\breve{g}er\end{array}$ olmak üzere,

Dahası da var! f fonksiyonu ile z'yi ikiden fazla karmaşık sayıya gönderebiliriz ve böylece modüler formdaki resimden farklı olarak ikiden fazla renge sahip bir resim oluşturabiliriz.

$n\in \mathbb{N}$ ve { $z_k\in \mathbb{C}\mid k=1,2,...,n$ } birbirinden farklı karmaşık sayılar ailesi olsun. O halde $f$ şu şekilde tanımlanır:

$ord(z)\equiv k-1modn$ olmak üzere,

$f:\mathbb{H}\to \mathbb{C}$ $:z\to z_k$

Bu şekilde $n$ renkli Escher benzeri bir resim elde ederiz. Örneğin 6 renkle yapılmış bir resim:

Yukarıdaki fonksiyon $\mathbb{H}$ üzerinde tanımlanmıştır, açık birim çember üzerinde değil. Çünkü modüler formları $\mathbb{H}$ üzerinde ele aldık. Doğru resmi elde etmek için Cayley dönüşümünü kullanarak $\mathbb{H}$ 'den açık birim diske geçiş yapmak yeterlidir.^[1]