Size birisi gelip 10^9 mu yoksa 9^10 mu daha büyük derse ne yaparsınız? Aslında hiç düşünmeden 9^10 diyebilirsiniz. Nasıl mı? İşte şu harika teorem sayesinde:
e<a<b için (e burada değişken değil euler sabiti yaklaşık 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277)
a^b>b^a her zaman sağlanır.
İspatı ise türevden gelir
a^b ve b^a ifadelerinin ikisininde üstünü 1/ab ile çarpalım
a^(1/a) ve b^(1/b) olur
Bunların ikiside a ve b türünden yani biz sadece x^(1/x) için bakabiliriz
x^(1/x)=e^(ln(x)/x)
u=ln(x)/x
zincir kuramı
e^u∙(ln(x)/x) = (1 - ln(x))/x^2 oldu
x^(1/x - 2) (1 - ln(x)) oldu bu sadeleşince
Şimdi bakarsak x=e için türev 0
x>e için türev negatif yani azalıyor
x<e için türev pozitif yani artıyor
Burdan da şunu diyebiliriz:
x^(1/x) ifadesi x sonsuza gittikçe küçülerek 1'e yaklaşır
O halde e<a<b için a^b>b^a rahatlıkla diyebiliriz.
Evrim Ağacı
