Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat
Tüm Reklamları Kapat

Fraktallar: Göz Kamaştıran Geometrik Şekiller!

Julia ve Mandelbrot Kümeleri Nedir? Koch Kar Tanesi Nasıl Görünür?

Fraktallar: Göz Kamaştıran Geometrik Şekiller! Wikipedia
7 dakika
42,045
Tüm Reklamları Kapat

Fraktallar, büyükten küçüğe birbirine benzeyen birçok geometrik şeklin oluşturduğu, sonsuzluğa doğru giden, kompleks ve göz kamaştırıcı şekillerdir. Fraktal kelimesi Latince’deki ‘’fractus’’ kelimesinden türetilmiştir, kırılmış ve parçalanmış anlamına gelmektedir. Fraktal, bir geometri sistemidir; fraktallar yakından incelendiğinde büyük şekli oluşturan ve orantılı olarak küçülerek oluşan küçük şekillerin büyük şekle benzediği ve bu kendini tekrar etme olayının sonsuzluğa uzandığı görülür.

Fraktallarla İlgili İlk Çalışmalar

Fraktal şekillerle ilgili ilk çalışmalar Fransız matematikçiler Gaston Julia (1893-1978) ve Pierre Fatou (1878-1929) tarafından yapılmıştır fakat onların yaşadığı zaman diliminde bilgisayarlar henüz bu fraktalları gösterebilecek kadar gelişmediğinden, Gaston Julia kendi oluşturduğu fraktal kümesinin (Julia kümesi) şeklini bilgisayarda görememiştir.

Tüm Reklamları Kapat

Fraktal terimi ilk defa Polonya asıllı matematikçi Benoit Mandelbrot (1924-2010) tarafından 1975 yılında ortaya atılmıştır. Mandelbrot’un geliştirdiği Mandelbrot kümesi, sanal karmaşık sayıların kullanılmasıyla elde edilen fonksiyonları bilgisayar ortamında muhteşem fraktallara dönüştürülebilen kümedir.

Bu fraktal örneği kar tanesinden esinlenilerek çizilmiştir. Şekil yakından incelendiğinde büyük şekli oluşturan küçük şekillerin, büyük şeklin aynısı olduğu görülür.
Bu fraktal örneği kar tanesinden esinlenilerek çizilmiştir. Şekil yakından incelendiğinde büyük şekli oluşturan küçük şekillerin, büyük şeklin aynısı olduğu görülür.
Genetic Fractals
Başka bir fraktal örneği Sierpinski üçgenidir. Birbirine benzeyen eşkanar üçgenlerin oluşturduğu en bilindik fraktal örneklerinden biridir. Adını Polonyalı matematikçi Wacław Sierpiński’den almıştır.
Başka bir fraktal örneği Sierpinski üçgenidir. Birbirine benzeyen eşkanar üçgenlerin oluşturduğu en bilindik fraktal örneklerinden biridir. Adını Polonyalı matematikçi Wacław Sierpiński’den almıştır.
Wikipedia

Doğadaki Fraktal Örnekleri

Mandelbrot’un öncülüğünü yaptığı, bilgisayar ortamında ortaya çıkan muhteşem fraktal örneklerini incelemeden önce doğadaki fraktal örneklerine bir bakalım. Doğadaki fraktallar karmaşık ve düzensizdir. Daha önce hiç fraktal örneği görmemiş olsanız bile fraktal tanımına uygun örnekleri hemen bulabilirsiniz. Örneğin brokoli , karnabahar, kar tanesi veya eğrelti otunda gördüğümüz şekiller fraktal örnekleridir.

Tüm Reklamları Kapat

Bu şekillere baktığımızda ne kadar estetik olduklarını düşünürüz. Mandelbrot’a fraktalın ne olduğu sorulduğunda ağaç örneğini vermiştir. Ağacın dallarının ağacın kendisine benzediğini ve dallandıkça kendine benzeyen küçük ağaçcıklara dönüştüğünü anlatır Mandelbrot. Buradan fraktalın ortaya çıkışının doğadan esinlenerek gerçekleştiği düşünülebilir. Tabii ki, daha önce söylediğimiz gibi doğadaki fraktal örnekleri bilgisayarda şekillendirilen fraktal örnekleri kadar mükemmel değildir. Doğadaki birbirini tekrarlamalar birbirine çok benzese de, birbirinin aynısı olamaz.

Buz kristaline yakından baktığımızda buz kristalininin doğal bir fraktal olduğunu görürüz.
Buz kristaline yakından baktığımızda buz kristalininin doğal bir fraktal olduğunu görürüz.
Wikipedia
Eğrelti otu da doğadaki fraktal örneklerinden biridir. İngiliz matematikçi Michael Barnsley, Fractals Everywhere adlı kitabında eğrelti otu örneğini vermiştir. Dolayısıyla eğrelti otu fraktalının adı Barnsley eğrelti otu fraktalı olarak geçer.
Eğrelti otu da doğadaki fraktal örneklerinden biridir. İngiliz matematikçi Michael Barnsley, Fractals Everywhere adlı kitabında eğrelti otu örneğini vermiştir. Dolayısıyla eğrelti otu fraktalının adı Barnsley eğrelti otu fraktalı olarak geçer.
Wikipedia

Julia ve Mandelbrot Kümesi

Gelelim bilgisayar ortamında oluşturulan fraktallara. Yazının başında da söylediğimiz gibi Fransız matematikçi Gaston Julia ilk olarak fraktal geometrisi ile uğraşan kişilerden biridir ama oluşturduğu Julia kümesinin şeklini görme şansı olmamıştır.

Gaston Julia'nın yazdığı Julia kümesinin bilgisayarda oluşturduğu fraktal şekillerden biri.
Gaston Julia'nın yazdığı Julia kümesinin bilgisayarda oluşturduğu fraktal şekillerden biri.
Wikipedia

Fraktal terimi ise Benoit Mandelbrot tarafından 1975 yılında ortaya atılmıştır. Mandelbrot kümesinin fraktal şekli, 1979 yılında IBM bilgisayarlarına erişince oluşturulabilmiştir. Mandelbrot kümesi, bir dizi karmaşık sayının oluşturduğu fraktal şekildir. Mandelbrot, bu kümenin oluşumuna dair formülü kullanarak birbirinin benzeri şekillerin küçülerek sonsuza kadar oluştuğunu gözlemiştir.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Bu şekiller renklendirildiğinde görsel olarak büyüleyici şekiller oluşur. Bilgisayar ortamında oluşturulan Mandelbrot kümesi son derece basit bir denklemden üretilir. Karmaşık sayılar düzleminde f(z)f(z) olarak tanımlanan fonksiyonda zz’nin karesi alınıp bir sabitin eklenmesiyle oluşur. Mandelbrot kümesi, z=z2+cz = z^2 + c denklemiyle gösterilir. Bu denklemde cc ve zz karmaşık sayılardır.

Mandelbrot Kümesinin Oluşturduğu Göz Kamaştıran Şekillerden Bazıları

Şimdi sırasıyla yayınlayacağımız şekiller, Mandelbrot kümesinin oluşturduğu başlangıç şekli üst üste büyütülerek elde edilmiştir. Mandelbrot bu çalışması sayesinde sanat ve bilim çevrelerinin hayranlığını kazanmıştır.

Mandelbrot kümesinin ilk şekli.
Mandelbrot kümesinin ilk şekli.
Wikipedia
Yukarıdaki şekli biraz büyüttüğümüzde karşımıza çıkan, baş ve gövde arasında yer alan ve ‘’denizatı vadisi’’ olarak adlandırılan bölge.
Yukarıdaki şekli biraz büyüttüğümüzde karşımıza çıkan, baş ve gövde arasında yer alan ve ‘’denizatı vadisi’’ olarak adlandırılan bölge.
Wikipedia
Denizatı vadisi biraz daha büyütüldüğünde görülen sağdaki şekiller ‘’denizatı’’, soldakiler ‘’çift spiraller’’dir.
Denizatı vadisi biraz daha büyütüldüğünde görülen sağdaki şekiller ‘’denizatı’’, soldakiler ‘’çift spiraller’’dir.
Wikipedia
‘’Denizatı’’ şekillerinden birinin daha da büyütülmüş hali.
‘’Denizatı’’ şekillerinden birinin daha da büyütülmüş hali.
Wikipedia
''Denizatı'' şeklinin kuyruğu büyütüldüğünde karşımıza çıkan şekil.
''Denizatı'' şeklinin kuyruğu büyütüldüğünde karşımıza çıkan şekil.
Wikipedia
''Denizatı'' şeklinin kuyruğunu oluşturan bölümler.
''Denizatı'' şeklinin kuyruğunu oluşturan bölümler.
Wikipedia
Yukarıdaki şeklin merkezi büyütüldüğünde karşımıza çıkan şekil.
Yukarıdaki şeklin merkezi büyütüldüğünde karşımıza çıkan şekil.
Wikipedia
Yukarıdaki şeklin merkezi daha da büyütüldüğünde ise karşımıza başlangıç şeklinde gördüğümüz baş, gövde ve antenden oluşan şekil çıkar.
Yukarıdaki şeklin merkezi daha da büyütüldüğünde ise karşımıza başlangıç şeklinde gördüğümüz baş, gövde ve antenden oluşan şekil çıkar.
Wikipedia

Gördüğünüz gibi ne kadar odaklanırsak o kadar ayrıntılı şekillere ulaşırız. Bu şekiller birbirini takip eden şekillerdir. Karşımıza Mandelbrot kümesinin başlangıcında yer alan siyah şekiller, denizatı vadileri, denizatları ve denizatlarının kuyrukları çıkar. Ortaya çıkan bu karmaşık şekiller adeta görsel bir şölen gibidir. Mandelbrot bir söyleşisinde şunları söylemiştir:

Bizi şaşırtan şey, hem Julia kümesi hem de Mandelbrot kümesindeki girifliğin, nasıl desek, keyfi olmamasıydı ve neredeyse herkeste bu şekillerin harikulade güzel olduğu izlenimi uyanmıştı. Bu şekiller çok basit bir fonksiyonun, z2+c’nin ciddiye alınması ve görselleştirilmesiyle ortaya çıktı. İnsanlar ilk başta bunun tamamen dünya dışına ait bir şey olduğunu düşündüler ama sonra, çok kısa bir süre sonra geri gelip şöyle dediler: "Biliyor musunuz, bunlar bana bir şey hatırlatıyor. Bence bunlar doğal. Kâbus ya da rüya gibiler ama doğallar." Ve bu kombinasyon; yeni olmaları, çünkü onları daha önce hiç kimse görmemişti ama diğer yandan da çok bilindik olmaları, bana hâlâ olağanüstü şaşırtıcı geliyor.

Koch Kar Tanesi: Kendiniz de Fraktallar Çizebilirsiniz!

Basit bir eşkenar üçgen çizin. Sonra bunu üç parçaya bölerek ortadaki parçayı çıkarın. Ardından çıkardığınız yere, tabanıyla aynı uzunluğa sahip iki kenar daha çizerek bir üçgen daha oluşturun. Üç birim uzunluğa sahip bir kenarı, dört birim uzunluğa çıkarmış olacaksınız. Ardından bu süreci her kenar için tekrarlayarak devam edin. Tıpkı aşağıdaki gibi.

Alvaro Costa

Bu resimde gördüğünüz şekil bir fraktal olacaktır, eğer küçük üçgenlerden birine yakınlaşırsanız bir önceki sahnenin aynısını görürsünüz, çünkü siz de benzer bir üçgenle başlamıştınız.

Tüm Reklamları Kapat

Burada gerçekleşen olay, üç birim uzunluğundaki bir kenarı her seferinde dört birime çıkarmak. Dolayısıyla çevre her seferinde 4/3 kat artıyor. Bu da bu işlemi sonsuza kadar tekrarladığınızda, çevrenin sonsuza kadar artacağı ve ıraksayacağı anlamını taşıyor. Bir de bu şeklin alanını inceleyelim.

Eşkenar bir üçgenin alanını hesaplamak oldukça kolaydır, eğer bir kenarının uzunluğu aa birim ise, alanı 2a34\frac{2a\sqrt{3}}4'tür. İlk işlemde bu alana ek olarak üç eşkenar üçgen daha oluşur. Bu üçgenin kenarının biri a3\frac{a}3 birim uzunluğa sahiptir. İşlemde karesi alınarak gittiğinden, bir süre sonra yeni oluşup toplam alana eklenen üçgenlerin katkısı kaybolur. Detaylı bir hesap yapıldığında Koch kar tanesinin alanı 2(2a√3)5\frac{2(2a√3)}5 olarak bulunur. Yani şekil başlangıçtaki üçgenin alanının 85\frac{8}5 katı kadar bir alana sahiptir. Zaten şeklin ilerleyiş biçiminden, kar tanesinin belirli bir alan içerisine hapsolduğunu anlayabilirsiniz.

Öyleyse bu şeklin alanı sonlu, fakat çevresi sonsuzdur! Yani şeklin içini dolaşabilir, ama çevresini dolaşamazsınız! Ama bu nasıl olur? İçini dolaşırken kenarları da dolaşmış olmuyor muyuz? Demek ki sezgilerimizle örtüşmeyen bir durum söz konusu. Matematik oldukça basit olmasına rağmen, bu durumu anlamakta zorlanıyoruz. Bu da bizim, olası bilimsel çıkarımlarda dikkatli olmamız konusunda bize sağlam bir uyarıda bulunuyor. Bu yüzden bilimi, matematik gibi araçlar kullanarak geliştirmeye çalışıyoruz.

Eğer bunu anlamakta zorlanıyorsanız şöyle düşünün. Bir tane kare alın, bunun alanı bellidir, ölçebilirsiniz. Kenar uzunluğunu da hesaplayabilirsiniz. Şimdi bunu tam ortadan ikiye bölün, sonra kestiğiniz parçayı diğerinin yanına ekleyerek bir dikdörtgen elde edin. Alanınız değişmedi, çünkü yeni bir şekil eklemediniz. Fakat şeklinizin taban kenarının uzunluğu ikiye katlandı. Aynı işlemi tekrar yapın, taban uzunluğu tekrar ikiye katlanacak fakat alan hiç değişmeyecek. Bu işlemi sonsuz kez tekrarladığınızda, artık bir kareden bir doğru gibi incecik bir çizgi elde etmeye doğru ilerliyor olacaksınız. Uzunluğu sonsuz olacak, fakat alanı sonlu...

Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
41
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Tebrikler! 20
  • Merak Uyandırıcı! 15
  • İnanılmaz 12
  • Muhteşem! 11
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 7
  • Bilim Budur! 4
  • Umut Verici! 3
  • Güldürdü 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 29/03/2024 17:56:12 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/7518

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Tüm Reklamları Kapat
Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Alan
Astrobiyoloji
Alkol
Yaşanabilir Gezegen
Çekirdek
Tohum
Botanik
Nöron
Makina
Karanlık
Uydu
Aminoasit
Geometri
Sayı
Mantık Hatası
Beyin
Bilişsel
Hominid
Evren
Süt
Araştırma
Filogenetik
Homo Sapiens
İspat
Güneş
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Gündem
Bugün bilimseverlerle ne paylaşmak istersin?
Bağlantı
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Bu platformda cevap veya yorum sistemi bulunmamaktadır. Dolayısıyla aklınızdan geçenlerin, tespit edilebilir kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Ekle
Soru Sor
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
M. Ç. Sever, et al. Fraktallar: Göz Kamaştıran Geometrik Şekiller!. (20 Aralık 2018). Alındığı Tarih: 29 Mart 2024. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/7518
Sever, M. Ç., Ölez, Ş., Kayalı, . (2018, December 20). Fraktallar: Göz Kamaştıran Geometrik Şekiller!. Evrim Ağacı. Retrieved March 29, 2024. from https://evrimagaci.org/s/7518
M. Ç. Sever, et al. “Fraktallar: Göz Kamaştıran Geometrik Şekiller!.” Edited by Şule Ölez. Evrim Ağacı, 20 Dec. 2018, https://evrimagaci.org/s/7518.
Sever, Meltem Çetin. Ölez, Şule. Kayalı, . “Fraktallar: Göz Kamaştıran Geometrik Şekiller!.” Edited by Şule Ölez. Evrim Ağacı, December 20, 2018. https://evrimagaci.org/s/7518.
ve seni takip ediyor

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close