Fourier Dönüşümü: İnternette Müzik ve Fotoğraf Paylaşımını Mümkün Kılan Matematik!

Fourier Dönüşümü: İnternette Müzik ve Fotoğraf Paylaşımını Mümkün Kılan Matematik! Gizmodo
6 dakika
32,065 Okunma Sayısı
Notlarım
Reklamı Kapat

Görselde gördüğünüz, Fourier Dönüşümü (İng: Fourier Transform). Eğer Spotify, iTunes, Google Music tarzı servisleri kullanarak müzik dinliyorsanız, bu matematiksel formüle teşekkür edebilirsiniz. Hatta internette gördüğünüz fotoğrafları minik JPG formatına dönüştüren de bu denklem. Ha bir de ses geçirmez (veya ses sıfırlayıcı) kulaklıklarınızın çalışmasını sağlayan da bu denklem. Gelin nasıl çalıştığına bir bakalım.

Bu formül, matematikçilerin bir sinyalin ne tür frekanslara sahip olduğunu hızlıca anlamasını mümkün kılmaktadır. Bu çok önemli bir özellik. Ama biz diyoruz diye değil: 1867 yılında, fizikçi Lord Kelvin, bu matematiksel denkleme olan aşkını ilan etmişti:

Fourier'in Teoremi, modern analizin en güzel sonuçlarından biri olmakla kalmıyor; aynı zamanda modern fizikte en az anlaşılan birçok soruya yaklaşmamızda bize vazgeçilmez bir araç sunuyor.

Matematik Bizi Ayırana Dek

Fourier Dönüşümü, belki de şaşırtıcı olmayan bir şekilde, matematikçi Baron Jean-Baptiste-Joseph Fourier tarafından geliştirildi ve 1822'de yazdığı Isının Analitik Teorisi isimli kitabında yayınlandı. Baron, ısının malzemeler içinde ve etrafında nasıl aktığıyla ilgileniyordu. Bu olguyu çalışırken, bu dönüşüm formülünü geliştirdi. O zamanlarda bu formülün bilime ne kadar büyük bir katkı sağlayacağının farkında değildi. Sadece matematik veya fizikten söz etmiyoruz. Bilimin genelinden, mühendislikten, hatta teknolojiden de söz ediyoruz.

Reklamı Kapat

Baron'un asıl büyük başarısı, karmaşık sinyallerin çok daha basit sinyallerin birbirine eklenmesiyle elde edilebileceğini fark etmesiydi. Bunu, sinüsoid denen dalgalarla yapmayı tercih etti. Bunlar, lise sıralarında öğrendiğiniz, düzenli şekilde dalgalanan sinyaller ve türevleri.

Diyelim ki bir piyanonun tuşlarından üçüne aynı anda bastınız. Bu durumda, 3 ayrı nota üretirsiniz. Bunların her birinin iyi tanımlanmış frekansları vardır. Bu frekanslara müzikte perde diyoruz. Bu perdelerin her biri, aşağıdaki gibi sevimli sinüs dalgalarından ibarettir.

3 Farklı Sinüs Dalgası
3 Farklı Sinüs Dalgası
Gizmodo

Ancak bu dalgaları birbirine eklediğinizde, çok daha ürkütücü olan şu dalgayı elde edersiniz:

Yukarıdaki 3 sinüs dalgasının bileşimi olan dalga
Yukarıdaki 3 sinüs dalgasının bileşimi olan dalga
Gizmodo

Bu dalga karmakarışık gözükür; ancak aslında çok basit üç sinüs dalgasının zaman ekseninde toplanmasından ibarettir. Fourier'in dehası, son derece karmaşık dalgaların bile sinüs dalgalarının toplamı olarak ifade edilebileceğini göstermesiydi; kimi zaman sonsuz sayıda basit yapılı sinüs dalgası kullanmak gerekse bile! Bunun en büyük katkısı ise şu: Sonunda elde etmeyi istediğimiz sinyali oluşturmak için kaç tane ve ne frekanslarda sinüs dalgası kullanmak gerektiğini tespit etmek oldukça kolaydır. Bu bilgiye sahipseniz, son ürün olarak üreteceğiniz dalganın tam frekansını da kesin bir şekilde bilebilirsiniz.

İşte bu yazının başındaki formülün bir adımda yaptığı da tam olarak budur. Formüldeki x(t)x(t) terimi, daha basit dalgalar kullanarak elde etmeye çalıştığınız büyük, karmaşık sinyali ifade eder. e−jπ2fte^{-j\pi2ft} terimi biraz ürkütücüdür; ancak aslında tek yaptığı şey, yazının başından beri sözünü ettiğimiz sinüsoidleri kısaca temsil etmek için matematikçilerin kullandığı bir matematiksel ifadeden ibarettir. İşin güzel tarafı, bu ikisini çarpıp, bir integralin içine aldığınızda, denklemi kullanarak bir sinyali temsil etmek istediğiniz her bir sinüsoid frekans parçasını seçmeniz mümkün olur. Dolayısıyla denklemin sonucu olan X(f)X(f), birbirine eklemeniz gereken her bir basit sinyalin büyüklüğünü ve zamansal olarak gecikme miktarını size verir.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

İşte bu, Fourier Dönüşümü'dür: Orijinal sinyal içinde tam olarak hangi frekansların bulunduğunu açıklamamızı sağlayan bir fonksiyon! Bu kulağa basit gelebilir. Ama değil.

Fourier Dönüşümü Sayesinde Dijital Veri İletiminde Devrim!

Diyelim ki internet üzerinden müzik yayını yapan bir firma sahibisiniz. Bir kayıt firması, bir müziği kaydettiğinde elde ettiği dosyayı bütün dinleyicilere aynen aktarabilirdiniz. Ancak bu dosya o kadar büyük olacaktır ki, internetin bant genişliği bunun için yeterli olmayacaktır. Çünkü müzik kayıtları yapılırken, hiçbir verinin kaybedilmemesi ve sesin her detayının kaydedilmesi hedeflenir. Müzik enstrümanlarından gelen her bir frekans kaydedilir ve "miksleme" denen süreç sonrasında tek bir müzik dosyasına dönüştürülür. Herhangi bir müziğin ufak bir kısmına Fourier Dönüşümü uygulayacak olursanız, bazı frekans parçalarının aşırı güçlü, bazı diğerlerininse oldukça sönük etkiye sahip olduğunu görebilirsiniz.

Müzik dünyasında Fourier Dönüşümü bir devrim yaratmıştır.
Müzik dünyasında Fourier Dönüşümü bir devrim yaratmıştır.
Universal Audio

MP3 müzik dosyası tam da bunu yapar. Ancak bunu yaparken, o sönük frekansları veya duyma aralığımızın dışındaki frekansları müzikten çıkararak boyutunu düşürüyor. Bunu, şarkının sadece bir kısmında değil, tamamında yapıyor. Bunu yapmak için müziği milyonlarca ufak parçalaya bölüyor, en önemli frekans parçalarını tespit ediyor, gereksiz olanları eliyor ve işlemi tamamlıyor. Bu işlemden geriye kalan, müziğin en önemli frekansları, yani notaları oluyor. Geri kalanı çaldığınızda, beyniniz orijinalinden farkını neredeyse hiç ayırt edemiyor. En önemlisi ise, dosya boyutu 10 kat kadar azalmış oluyor.

Spotify, Shazam ve Kulaklıklarınız

Spotify'ı ele alalım. Spotify, masaüstü sunucularında Ogg Vorbis adı verilen bir dosya tipi kullanıyor. Vorbis, Fourier Dönüşümü'nün ışık hızındaki versiyonu olan Ayrık Kosinüs Dönüşümü denen bir formül kullanıyor. Bunun yaptığı da özünde aynı.

Reklamı Kapat

Şansa bakın ki meşhur şarkı tespit yazılımı Shazam da aynı yaklaşımı kullanıyor. Shazam'ın belirli frekanslardan oluşan bir veritabanı var ve siz ona bir şarkıyı dinlettiğinizde, şarkının sadece spesifik freakanslarını bu veritabanı ile kıyaslayıp uyuşan şarkıyı buluyor. Çünkü bu, tüm şarkıyı veritabanıyla kıyaslamaya göre çok daha hızlı ve isabetli.

Ses sıfırlayıcı kulaklıklar
Ses sıfırlayıcı kulaklıklar
CNET

Hazır ses dosyalarından bahsetmişken... Ses sıfırlayıcı (İng: "noise-cancelling") kulaklıklarınız da Fourier Dönüşümü'nü kullanıyor. Bir mikrofon, etrafınızdaki gürültüyü kaydediyor, sonrasında kulaklık bütün ses spektrumundaki frekansları analiz ediyor ve müziğinize buna uygun frekanslar ekleyerek ağlayan bebeklerin veya yoldan gelen gürültünün seslerinin size ulaşmasına engel oluyor.

Ses Harici Alanlarda Fourier Dönüşümü

Ancak Fourier Dönüşümü tek bir numaradan ibaret değil. Şu ana kadar sadece ses sinyallerinden bahsettik. Ancak hatırlayacak olursanız bu formülün geliştirilmesini sağlayan saha, ısının malzemeler boyunca nasıl hareket ettiğine yönelik çalışmalardı. Yani bu yaklaşım, uzamsal konularda da aynen çalışabiliyor. Fourier için bu, 2 boyutlu ısı dalgalarını kullanarak çok daha karmaşık ısı hareketlerini modelleyebilmek anlamına geliyordu. Ancak bu yaklaşımı aynen kullanarak, dijital fotoğrafları da piksel piksel oluşturmaktan çok daha etkili yöntemler geliştirmemiz mümkün.

Kayıpsız dijital fotoğraflar her bir pikselin renk bilgisini ayrı ayrı depolar. Bu dosyayı JPG olarak kaydettiğinizde, bütün fotoğraf ufak parçalara bölünür ve bu blokların 2 boyutlu Fourier Dönüşümleri alınır. Bu, fotoğrafın renk ve parlaklığının, fotoğraf boyunca dağılımının uzamsal frekanslarını verir. Tıpkı MP3 örneğinde olduğu gibi, JPG de bazı yüksek frekanslı parçaları atar. Bu parçalar görsele keskinlik ve netlik veren frekanslardır. Ancak birçoklarımız için bu renk farklarını algılamak neredeyse imkansızdır; dolayısıyla pikseller arasındaki ufak farkları veren frekanslardan kurtulmak, görselin kalitesini dikkate değer miktarda azaltmaz. Ancak elbette bunu abartacak olursanız, görselin kalitesi de düşecek ve bazı kısımları bariz şekilde bloklara ayrılmış gibi gözükecektir.

Reklamı Kapat

Junonia lemonas (JPG dosyası)
Junonia lemonas (JPG dosyası)
Wikimedia

En iyi eğitilmiş gözlere ve kulaklara bile MP3 ve JPG dosyalarının yarattığı fark oldukça az gözükür. Ses ve görüntü harikadır; ancak orijinal dosyaya göre çok ama çok daha ufaktırlar. Bir diğer deyişle, Fourier Dönüşümü modern ve dijital fotoğrafları ve müzik dosyalarını patik hale getirir. Bu sayede onları kolaylıkla paylaşabiliriz.

Düşünecek olursanız tüm bunlar, ufacık bir denklem için fazlasıyla etkileyicidir.

Okundu Olarak İşaretle
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Muhteşem! 14
  • Tebrikler! 9
  • Bilim Budur! 7
  • Merak Uyandırıcı! 3
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 2
  • İnanılmaz 2
  • Umut Verici! 2
  • Güldürdü 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
  1. Türev İçerik Kaynağı: Gizmodo | Arşiv Bağlantısı

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 20/09/2021 21:22:52 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/7728

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Reklamı Kapat
Size Özel
İçerikler
Instagram
Kuyruk
Malzeme
Habercilik
Yatay Gen Transferi
Yıl
Meyve
Hasta
Cinsiyet
Element
Nöron Hücresi
Bilişsel
Primat
Gen
Alkol
Savaş
Maske Takmak
Aşı
Karar
Yas
Sinirbilim
Madde
Öğrenme Teorileri
Kara Delik
Karbonhidrat
Yaşamın Başlangıcı
Daha Fazla İçerik Göster
Evrim Ağacı'na Destek Ol
Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katmak için hemen buraya tıklayın.
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
EA Akademi
Evrim Ağacı Akademi (ya da kısaca EA Akademi), 2010 yılından beri ürettiğimiz makalelerden oluşan ve kendi kendinizi bilimin çeşitli dallarında eğitebileceğiniz bir çevirim içi eğitim girişimi! Evrim Ağacı Akademi'yi buraya tıklayarak görebilirsiniz. Daha fazla bilgi için buraya tıklayın.
Etkinlik & İlan
Bilim ile ilgili bir etkinlik mi düzenliyorsunuz? Yoksa bilim insanlarını veya bilimseverleri ilgilendiren bir iş, staj, çalıştay, makale çağrısı vb. bir duyurunuz mu var? Etkinlik & İlan Platformumuzda paylaşın, milyonlarca bilimsevere ulaşsın.
Podcast
Evrim Ağacı'nın birçok içeriğinin profesyonel ses sanatçıları tarafından seslendirildiğini biliyor muydunuz? Bunların hepsini Podcast Platformumuzda dinleyebilirsiniz. Ayrıca Spotify, iTunes, Google Podcast ve YouTube bağlantılarını da bir arada bulabilirsiniz.
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
Geri Bildirim Gönder
Reklamsız Deneyim

Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, Evrim Ağacı'nda çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.

Kreosus

Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.

Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.

Patreon

Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.

Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.

YouTube

YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.

Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.

Diğer Platformlar

Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.

Giriş yapmayı unutmayın!

Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.

Destek Ol
Sizi Takip Ediyor

Devamını Oku
Evrim Ağacı Uygulamasını
İndir
Chromium Tabanlı Mobil Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
İlk birkaç girişinizde zaten tarayıcınız size uygulamamızı indirmeyi önerecek. Önerideki tuşa tıklayarak uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu öneriyi, yukarıdaki videoda görebilirsiniz. Eğer bu öneri artık gözükmüyorsa, Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Chromium Tabanlı Masaüstü Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
Yeni uygulamamızı kurmak için tarayıcı çubuğundaki kurulum tuşuna tıklayın. "Yükle" (Install) tuşuna basarak kurulumu tamamlayın. Dilerseniz, Evrim Ağacı İleri Web Uygulaması'nı görev çubuğunuza sabitleyin. Uygulama logosuna sağ tıklayıp, "Görev Çubuğuna Sabitle" seçeneğine tıklayabilirsiniz. Eğer bu seçenek gözükmüyorsa, tarayıcının Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Safari Mobil Uygulama
Sırasıyla Paylaş -> Ana Ekrana Ekle -> Ekle tuşlarına basarak yeni mobil uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu basamakları görmek için yukarıdaki videoyu izleyebilirsiniz.

Daha fazla bilgi almak için tıklayın