Boşlukları Zarlar Yardımıyla Nasıl Doldururuz?

Boş bir odada olduğunuzu hayal edin ve zemin, kare karolarla kaplı olsun. Bu zeminde hiç boşluk olmadığını görüyorsunuz, kare karolar birbirlerine komşu bir şekilde düzgün dizilmiş olsunlar. Zeminde hiç boşluk yok ve kare karoların en az 2 tanesinin ortak bir kenarı paylaştığını görüyorsunuz. Peki ya üç boyutlu bir ortamda, "karoların" kaç kenarı ortak olurdu? Ya da 4, 5, 6, …, n. boyutlarda durum ne olurdu?

Ott-Heinrich Keller (1906-1990) tarafından ortaya atılan Keller'in varsayımı, eldeki boşlukları birbirinin aynısı olan karolarla kaplamakla ilgili bir varsayımdır. İleri sürdüğü varsayım; iki boyutlu bir alanı iki boyutlu kare karolarla kaplarsanız, kare karolardan en az ikisinin bir kenarının ortak olması gerektiğini ileri sürer.

Carnegie Mellon University

Şekil 1 ve Şekil 2 ‘de görüldüğü üzere iki ve üç boyutlu durumlar gayet anlaşılır. Peki diğer boyutlarda durum nasıl?

Üç boyutun ötesine geçmek, matematikle arası iyi olmayanlar için zor görünebilir, ancak uzmanlar için aynı modelin dört hatta beş boyut düşünüldüğünde de geçerli olduğunu göstermek zor değildir.

Matematikçiler Keller varsayımını farklı boyutlarda ele alarak dönemsel olarak ispatlamaya çalıştılar; ta ki 7. boyuta kadar... Daha önce sadece 7. boyut dışında tüm boyutlarda bu varsayımın doğru olup olmadığına bakmışlardı; ancak iş 7. boyuta gelince, burada biraz tıkanma söz konusuydu. Sonuç olarak matematikçiler, bilgisayardan da yardım alarak, 2019 yılında 7. boyut için varsayımı açıkladıklarında, artık Keller varsayımı ile ilgili bir sorun kalmamış oldu. Şimdi, Keller varsayımına biraz detaylı bakalım.

Süreci geçmişten günümüze kadar kronolojik olarak ilerletmeye çalışalım. İlk olarak 1930'da Keller, bu ilişkinin herhangi bir boyuttaki karşılık gelen boşluklar ve kare karolar için geçerli olduğunu varsaydı. İlk sonuçlar, Keller'in tahminini destekledi.

1940'ta Perron, 1≤n≤ 6 olduğunu kanıtlamış oldu (buradaki n boyuttur). Bu kanıtı Perron kağıt ve kalemle kendi yöntemleriyle bulmuştu.

Tarihler 1990 gösterdiğinde, Keresztély Corrádi ve Sándor Szabó “Redei Teoreminin yeni bir kanıtı” adlı makalelerinde, László Rédei'nin kanıtlamış olduğu sonlu bir Abelyen grubun alt grubunu bulma ile ilgili teoremi daha kısa bir kanıtını buldular. Bu kanıt ise, Keller Varsayımına eş değer sorular ile daha basit çözülmesinin önünü açmış oldu. Tarihsel sürece biraz ara verip, bu kanıtı açıklamaya çalışalım.

Başlamak için, her biri iki noktalı yüz yukarı bakacak şekilde yerleştirilmiş bir masada zar düşünün. İki nokta olması gerçeği, ikinci boyut varsayımını ele aldığınız gerçeğini yansıtır. Şimdi, dört renkten herhangi birini kullanarak, her noktayı renklendirin: kırmızı, yeşil, beyaz veya siyah. Bu renkler rastgele yazılmamıştır kanıta başlamadan önce renklerin eşleştirmesi yapılmış olup şöyledir: Kırmızı-Yeşil , Siyah-Beyazdır. Her bir zarda iki nokta olduğu için, birinci noktayı x, ikinci noktayı y diye düşünüp sıralı ikili benzetmesi yaparsak sorun olmaz.

Öncelikle zarların birbirine bağlanması için belirli şartlar gerekiyor; çünkü ancak şartlar sağlandığı zaman, Keller Varsayımına uyarlanabiliyor, aksi durumda bu mümkün değildir.

Samuel Valesco

Üst şekilde görüldüğü üzere zar ile kare karolar arasında bağlantı kurulmuştur. Yukarıda gördüğünüz şekilde, aynı renkli zarlarla böyle bir bağlantı kurmak isterseniz, şeklin sağ kısmında kare karoların üst üste gelmesine engel olamazsınız; dolayısıyla şartımızdan birisi, aynı renkli zarlar ile bağlantı (klik) yapılamaz.

Samuel Valesco

Tabii hemen ilk akla gelen "Ya farklı renkler olursa?" sorusudur. Eğer ki farklı renkteki zarlar ile, farklı renkteki zarları eşleştirmeye çalışırsanız, o zaman kare karolar görüldüğü üzere kısmen örtüşen olarak görünürler. Dolayısıyla tamamen farklı renkler olursa zarlar arasında yine bağlantı (klik) elde edemiyoruz.

Samuel Valesco

Gelelim bir diğer şartımıza: Şekilde görüldüğü üzere, ortak bir renk mevcuttur. İşte bu renk, kare karoların ortak bir kenarını temsil ediyor diyebiliriz. Aynı zamanda eşleştirilmiş bir renk çifti var, başlangıçta Kırmızı-Yeşil ve Siyah-Beyaz eşleştirmesi yapmıştık. Dolayısıyla kare karoların bir kenarı aynı renkten dolayı ortak olup şekilde görüldüğü gibi istediğimiz hale geliyor; bundan dolayı zarlar arasında bağlantı (klik) kurabiliriz.

Samuel Valesco

Sanıyoruz yine aklınıza bir başka soru geldi: "Peki ya eşleştirilmiş renk ve farklı renk çiftleri varsa?". Eğer böyle bir durum olursa, ortak bir kenar buluyoruz; lakin belirli kısmı olmuş oluyor. Sonuç olarak belirli kısmı ortak olsa bile uygun olan şartlardan biri, yani zarlar arasında bağlantı(klik) olmuş oluyor.

Şu ana kadar yaptığımız kare karoların dizilimi için zarların hangi şartları sağlaması gerektiğiydi. Biraz kafanız karıştıysa bu kısmı şöyle özetlemekte yarar var...

Şekilde 2 tane zar ve oklar ile gösterilmiş 1. durum ve 2. durum var. Eğer biz kare karoları şartı sağlayacak şekilde yerleştirmek istiyorsak...

Şimdi gelelim asıl konuya. Yukarıdaki kuralları uygularsak, karşımıza şöyle bir grafik çıkıyor:

Samuel Valesco

İlk baktığınızda çok karmaşık olan bir grafik gibi duruyor; ancak açıklamaya çalışalım: Öncelikle, 4 rengimiz olduğunu ve bu renkleri Kırmızı-Yeşil ve Siyah-Beyaz şeklinde eşleştirdiğimizden (eşleştirmek demek, aynı zarda Kırmızı-Yeşil olması anlamına gelmiyor) daha önce bahsetmiştik. Turuncu çizgiler, bağlantılarımız, yani kliklerimizdir. Grafikte 16 zar var çünkü renklerin toplamda 16 kombinasyonu var: Kırmızı-Kırmızı, Kırmızı-Yeşil, Kırmızı-Beyaz, Kırmızı-Siyah gibi... Şimdi, elde ettiğimiz verileri yazalım.

Boyut 2, Renk 4, Renk çifti 2 (K-Y, S-B), 16 tane zar ve her bir zar için 5 tane bağlantı (klik) elde ettik. Bu verileri daha sonra genellemeye ulaşmak için kullanacağız. Sıra 3 boyutlu grafikte durumun nasıl olduğuna geldi. Boyut 3, Renk 6, Renk çifti 3, 216 tane zar ve her bir zar için 8 den fazla bağlantı(klik) olması gerekir ki 3.boyutta doğru olsun. Görüldüğü üzere boyutlar arası geçişte belirli kuralları elde ediyoruz. Bu durumu:

Genel bir kural olarak, G_n,s dersek:

Agora Bilim Pazarı

Phillips Diş Hekimliği Malzeme Bilimi

Devamını Göster

₺580.00

Satın Al Tüm Ürünler

• n: boyut
• s: renk çifti sayısı
• 2s: renklerin sayısı
• (2s)²: zar sayısı
• 2ⁿ: Bağlantı (klik) sayısı (2ⁿ tane bulursanız varsayım o boyutta yanlış oluyor.)

Yani bundan sonraki boyutlarda bu elde etmiş olduğumuz formülleri kullanabiliriz. Şimdi tarihsel sürece tekrar geri dönecek olursak:

1992’de Amerikan Matematik Derneğinin 27. cildi 2. sayısında yayımlanan Jeffrey C. Lagarias ve Peter W. Shor’un “Keller’in Varsayımının yüksek boyutlarda yanlış olması” adlı makalede n ≥ 10 olduğunu ispatlamış oldular.

Peki nasıl oluyor da 10 ve üstü boyutlarda ispatlamış oluyor? Matematikçiler bir argüman kullanarak, herhangi bir boyutta varsayımın yanlış olduğu durumda, ondan yüksek olan tüm boyutlarda zorunlu olarak yanlış olduğunu gösterdiler. Dolayısıyla, Lagarias ve Shor'dan sonra, kararsız boyutlar yedi, sekiz ve dokuzdu.

2002'de ise John Mackey, Springer tarafından üç ayda bir yayınlanan hakemli dergide; Mackey, Keller'in sekizinci boyut varsayımını 256 zardan oluşan bir klik bularak n ≥ 8 olduğunu ispatlamış oldu.

Carnegie Mellon University

8. boyuttan biraz bahsedecek olursak. Yukarıda zarları verilen G_8,2: Boyut 8, Renk 4, Renk çifti 2, 2¹⁶ tane zar vardır. 2⁸= 256 bağlantılı (klik) zar olduğuna göre 8. boyutta yanlış olmuş oluyor. Dolayısıyla belirsiz olan 9. boyut yanlış olmuş oluyor. Mevcut durumda sadece 7. boyut kalmış oldu.

Düğüm Çözülüyor

2019 Ekim ayında ise Joshua Brakensiek, Marijn Heule, John Mackey, and David Narvaez “Keller varsayımının çözümü” adlı makaleyi yayınladılar.

Keller’in 7.boyutta doğru olabilmesi için; 2⁷ = 128 bağlantı(klik) elde edersek 7. boyutta varsayım yanlış olmuş oluyor; aksi takdirde eğer 128 bağlantı (klik) bulunmaz ise, o zaman Keller varsayımı 7. boyutta doğru olmuş oluyor.

Ancak 128 zarın birbiriyle bağlantısı olduğunu bulmak hayli zor bir iştir. Evet siz şimdi peki 8. ve 10. boyut zor değil miydi? Diyeceksiniz, bir nebze daha kolaydı çünkü araştırmacılar, 8 ve 10 boyutlarının bir anlamda, çalışması daha kolay olan daha düşük boyutlu uzaylara “çarpanlara” dönüştürülebileceği gerçeğini kullanabilmişlerdi. Burada öyle bir şansımız yok. Çalışmanın yazarlarından Lagarias ise şöyle diyor:

Yedinci boyut kötü çünkü asal, bu da onu daha düşük boyutlu durumlara ayıramayacağınız anlamına geliyor, dolayısıyla bu grafiklerin tüm kombinasyonlarıyla uğraşmaktan başka seçenek yoktu.

Peki yapmamız gereken nedir? Perron gibi kâğıt kalem kullanarak bu işi yapmak mümkün gözükmüyor. Doğrusu 21. yüzyılın en önemli cihazı bilgisayarlara başvurmak mantıklı bir çözüm gibi duruyor.

Bağlantı (klik) arayışını bilgisayarların önerme mantığı ile hareket edip bir nevi mantıksal akıl yürütme yapmış oluyoruz.

128 boyutunda bir klik bulmanın mümkün olup olmadığı sorusu, aynı zamanda bir önerme formülü olarak yazılabilir ve bir SAT çözücüsüne takılabilir. Her biri yedi nokta ve altı olası renk içeren çok sayıda zarla başlayın. Belirtilen kurallara göre 128 zar birbirine bağlanacak şekilde noktaları renklendirebilir misiniz? Başka bir deyişle, kliği mümkün kılan renkleri atamanın bir yolu var mı?

Klikler hakkındaki bu soruyu yakalayan önerme formülü oldukça uzundur ve 39.000 farklı değişken içerir. Her birine iki değerden (0 veya 1) biri atanabilir. Sonuç olarak, değişkenlerin olası permütasyonlarının sayısı veya zarın üzerindeki renkleri düzenlemenin yolları 2^39.000'dir, çok çok büyük bir sayı. Keller'in yedinci boyut varsayımına cevap vermek için, bir bilgisayarın bu kombinasyonların her birini kontrol etmesi gerekir, ya 128 boyutunda bir klik yoktur ve Keller varsayımı yedinci boyutta doğrudur ya da yalnızca işe yarayan birini bulup Keller varsayımı yanlıştır. SAT çözücüsünün yarım saatlik hesaplamalardan sonra nihayet bir cevabı vardı. Araştırmacılardan Heule:

Bilgisayarlar hayır dedi, bu yüzden varsayımın geçerli olduğunu biliyoruz.

Hepsi birbirine bağlı olacak şekilde 128 zarı renklendirmenin bir yolu yoktur, bu nedenle Keller'in varsayımı yedinci boyutta doğrudur: Alanı kaplayan herhangi bir karo düzenlemesi, kaçınılmaz olarak bir yüzü paylaşan en az iki karo içerir.