Tümevarım:Var olan en güçlü(!) ispat aracı

Matematik,kesinlikle LGS veya YKS'ye benzemez,hesap değil ispat odakli isler.Peki en iyi ispat teknigi hangisidir?Bu göreceli bir soru ve farkli cevaplar mümkün,örnegin celiski ile ispat veya brute force("soruya yardirma" olarak cevrilebilir:).Ancak benim icin bunlardan en iyisi tümevarim.Bu makalede tümevarimi,cesitlerini ve kullanimini göstermeyi amacliyorum.

$P_n$,bir önermenin pozitif tam sayı olan n için hali olsun.Eğer şu iki koşul sağlanırsa,her pozitif tam sayı icin $P_n$ önermesi doğrudur:

$P_1\equiv 1$,yani $P_1$ doğru,ve

$P_n$ doğru ise $P_{n+1}$ de doğru.

Bu ikisi sağlanırsa $P_2$,o zaman $P_3$,o zaman $P_4$$,\cdots$ ve bu nedenle tüm $P_n$'ler doğru olur.

İlk bakışta bu gereksiz ya da "gerekli olmak için çok basit" görünebilir, ama bu var olan en güçlü ispat yollarından biridir. Tümevarım, sadece bir(kaç) başlangıç koşulu ve/veya birkaç temel "bu doğru ise şu ve şu doğrudur" koşullarıyla sonsuz veya çok büyük bir durum kümesi için önermeleri ispatlamakta kullanılır.$1+2+\cdots +n=\frac{n^2+n}{2}$$P_{n+1}$ denkleminin ispatlarindan biri de tümevarım ile yapılır:$n=1$ icin denklem bariz bir sekilde doğru ve eger $1+2+\cdots +n=\frac{n^2+n}{2}$ ise $1+\cdots +n+(n+1)=\frac{n^2+n}{2}+(n+1)=\frac{n^2+3n+2}{2}=\frac{(n+1{)}^2+(n+1)}{2}$,yani denklem $n+1$ icin de doğru olur.Yani denklem her pozitif $n$ icin doğru olmak zorunda.

Bir başka az bilinen örnek ise AGO eşitsizliği(AM-GM inequality) olarak bilinir($\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i}{n}\ge \sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}$ formunda bir eşitsizlik).Bunun ispatında "Cauchy tümevarımı kullanılır:$P_1$doğru;$P_n$ doğru ise $P_{2n}$ doğru ve $P_n$ doğru ise $P_{n-1}$ doğru.$P_1$ kesin olarak doğru:$a\ge a$.$P_2$ icin ise sonuç,bariz olan $(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2\ge 0$ eşitsizliğinin azıcık manipüle edilmesi ile elde edilir.

$a_1,a_2,\cdots ,a_n$ ve $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ icin ayrı ayrı sağlansın.O halde $\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_n+{\sum }_{i=1}^n{b}_n}{n}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_n}{n}+\frac{{\sum }_{i=1}^n{b}_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}+\sqrt[n]{b_1\cdots b_n}\ge 2\sqrt[2n]{a_1\cdots a_n{b}_1\cdots b_n}$ eşitsizliğinde her iki tarafın da 2'ye bölünülmesi ile elde edilir.

Üçüncü kısmın ispatını meraklı okurlara bırakıyorum (evet, KaTeX kullanmaya üşendiğim için ispatı tamamlamıyorum, ancak ispatın geri kalanı ve daha fazlası için link burada^[1] ).