Fibonacci Sayıları Nedir?

Matematikte kullanılan en meşhur sayı dizisine hoş geldiniz! Evet, bunlar Fibonacci Sayıları. Fibonacci Sayıları şu şekilde başlar:

$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,...$

Bu sayı dizisinde bir şey dikkatinizi çekti mi? Bu sayı dizisinde her terim kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir. Sayılar bu doğrultuda sürekli olarak ilerler. Örneğin $2=1+1,5=2+3,1597=610+987$ gibi. Bu örüntüyü unutmamak oldukça basit, ilk iki terimin 1 ve 1 olduğunu aklınızın derinliklerinde saklarsanız müthiş bir düşünce ortamı ile bu örüntüyü aklınızdan basitçe oluşturabilirsiniz. Fibonacci Dizisi doğada, örneğin ayçiçeklerinin spirallerindeki çekirdek sayılarında veya mimarların çizdiği oda ve bina oranlarında karşımıza çıkar.

Temelleri, Tarihi Gelişimi ve Mantığı

Fibonacci dizisi ilk olarak, Pisa'lı Leonardo, ya da daha yaygın bilinen adıyla Fibonacci'nin 1202'de basılan Liber Abaci adlı kitabında yer almıştır. Fakat anlaşılıyor ki, Hintliler bu sayılardan daha önceden de haberdardı. Dizi, Fibonacci'nin Hint-Arap sayılarını tanıtmak için yazdığı kitabına alıştırma olsun diye sorduğu sorulardan birinde geçer:

Yetişkin bir tavşan çifti her ay bir çift yavru yapar. Yeni doğan bir yavru ise bir aylık olduğunda yetişkin olur. Başta kümeste bir çift tavşan varsa ve mucizevi bir şekilde hiç ölen olmuyorsa yıl sonunda kaç çift tavşan olur?

library.ethz.ch

Üstte gördüğünüz resimden örneklendirmeler yaparak bu sorunu açıklamaya çalışacağız. Gördüğünüz beyaz tavşanlar yavru iken siyah tavşanlar ise yetişkin olarak temsil edilmektedir.

Göründüğü üzere tek tavşan çiftinden başlayan bu döngü birbiri ardına gelen sayılarla tekrar edilerek bir ağaç oluşturuyor. Tek çiftten başlayan döngü sırasıyla $1,1,2,3,5$ dizisini bizlere veriyor. Daha anlaşılır kılmak için dizi terimlerini alt alta yazarak toplayalım:

• $1+1=2$
• $1+1+2=4$
• $1+1+2+3=7$
• $1+1+2+3+5=12$
• $1+1+2+3+5+8=20$
• $1+1+2+3+5+8+13=33$

Bu toplamlar ayrı bir dizi oluşturur. Bu diziyi orijinalin altına yazdığımızda ilginç bir durum gözümüze çarpar:

Fibonacci: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89....

Toplamları: 2 4 7 12 20 33 54 88....

Fibonacci dizisinin ilk n teriminin toplamı, iki sonraki (yani n+2'inci) Fibonacci sayısından bir küçük olur. Eğer 1 + 1 + 2 + .... +987 toplamının kaç olduğunu bilmek isterseniz 2584'ten 1 çıkartarak 2583 olduğunu bulabilirsiniz. Eğer sayıları birer atlayarak, örneğin 1 + 2 + 5+ 13 +34=55 şeklinde toplarsak, yine bir Fibonacci sayısı elde ederiz.

Altın Oran

Fibonacci dizisindeki terimlerin oranlarına baktığımızda dizinin bir başka dikkate değer özelliğini fark ederiz. Gelin bu oranları birkaç terim için hesaplayalım.

$\frac{1/1}{1,000}\frac{2/1}{2,000}\frac{3/2}{1,500}\frac{5/3}{1,333}\frac{8/5}{1,600}$

Bu oranlar "altın oran" olarak bilinen ve Yunan alfabesindeki Φ(fi) harfiyle gösterilen bir sayıya doğru gitgide yaklaşır. Altın oran, şöhret bakımından matematiksel semboller arasında $\pi$ ve $e$'ye kafa tutabilecek bir konuma sahiptir. Tam değer şudur:

$\Phi =\frac{1+\surd 5}{2}$

Ondalıklı yaklaşık değeri ise 1,618033988... eder. Birkaç hesapla her Fibonacci sayısısın Φ'ye göre yazılabileceği gösterilir. Fibonacci dizisindeki ilk asal sayılar 2,3,5,13,89,233 ve 1597'dir fakat bu asalların sonsuza dek sürüp sürmediğini bilmiyoruz.

Radyo Kültür

Sonuç

Bu blog yazımızda Fibonacci sayılarına temel seviye olacak şekilde değindik. Umuyoruz ki matematiğe ilgisi olan bilimsever okuyucuları mutlu edebilmiş, matematiğe ilgisi olmayan bilimsever okuyucularımızın ilgisini uyandırabilmişizdir. Sayılar evreninde sağlıcakla kalın!