ASAL İNDEKSLİ ASALLARIN YOĞUNLUĞU ÜZERİNE BİR TAHMİN

1)Problemin Çıkışı

Asal sayıların dağılımı matematiğin en önemli konularından biridir. Klasik sonuç şudur:

π(x)~x/logx

Yani x büyüdükçe asal sayıların yoğunluğu 1 /logx mertebesindedir.

Bu yazıda şu soruyu sorduk:

Asal indeksli asalların ve onlardan türetilen sayıların yoğunluğu nasıl davranır?

2)Asal İndeksli Asallar

p_n, n’inci asal sayı olsun.

Asal indeksli asallar şu şekilde tanımlanır:

q_k = p_(p_k)

Yani indeksi asal olan asallar.

Örneğin: p_1 = 2

p_2 = 3

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

p_3 = 5

Sonuç olarak: q_1 = p_2 = 3

q_2 = p_3 = 5

q_3 = p_5 = 11

Bu küme klasik asal kümesinden daha seyrektir.

p={2,3,5,7,11,13,17,19,...}

q={3,5,11,17,31,41,..}

3)Alfa Sayıları

Alfa sayılarını şu şekilde tanımladık:

Sadece asal indeksli asal çarpanlara sahip doğal sayılar.

a_k={1,3,5,9,11,15,17,...}

Bu sayıların x’e kadar kaç tane olduğunu gösteren fonksiyona

π_alpha(x)

dedik.

Agora Bilim Pazarı

"F=ma": Star Wars "May the Force Be..." T-Shirt

Bilim kurgu ve bilim gerçek burada buluşuyor!
“May the Force Be” tişörtü, Newton’un ikinci yasasını Star Wars evrenine zekice bir göndermeyle sunuyor. Hem fizik tutkunlarını hem de geek kültürünü sevenleri gülümsetecek bu tasarım, eğlenceli olduğu kadar da öğretici. %100 pamuklu kumaşıyla rahat bir deneyim sunarken, yüksek kaliteli baskısıyla her ortamda dikkat çeker. Gücü sadece hissetmek yetmez, formülünü de bilmek gerek!

Bilgiler ve Uyarılar:

1. Renk Bilgileri: Tişört beyaz ve siyah olarak üretilebilmektedir.
2. Beden Bilgileri: Stokta kalan ürünlerimiz arasından dilediğiniz bedeni seçebilirsiniz. Tişörtlerle ilgili beden bilgisi almak ve ölçüleri öğrenmek için buraya tıklayınız.
3. Cinsiyet Bilgileri: Bu ürünümüz unisex üretilmektedir ve her cinsiyete uygundur.
4. Kargo Bilgileri: Bu ürün sipariş alındıktan sonraki 2 iş günü içinde postalanacaktır. Kargo yöntemimiz hakkında daha fazla bilgiyi buradan alabilirsiniz.
5. Kumaş Bilgileri: Bu ürün %100 pamuktur.
6. Yıkama/Ütü Bilgileri: Tişörtler üzerindeki görsellerin korunması için tişörtlerin ters yüz edilerek yıkanması ve ütülenmesi tavsiye edilir. Siyah tişörtlerin en fazla 30 derecede yıkanması gerekmektedir.
7. İade/Değişiklik Bilgileri: Lütfen sipariş vermeden önce iade ve ürün değişikliği ile ilgili bilgilendirmemizi okuyunuz.

Devamını Göster

₺600.00

Satın Al Tüm Ürünler

Amacımız şu büyüklükteki davranışı anlamaktı:

π_alpha(x) nasıl büyür?

4)Grafik Analizi

Hesapladığımız değerler:

x = 10⁵ için π_alpha(x)/(x/logx) ≈ 0.56

x = 10⁶ için ≈ 0.44

x = 10⁷ için ≈ 0.36

x = 10¹⁰ için ≈ 0.32

Bu değerler küçülüyor ve yaklaşık olarak

1/loglogx

ifadesine yaklaşıyor gibi görünüyor.

Bu gözleme dayanarak şu tahmini yaptık:

π_alpha(x)~x/(logx*loglogx)

5)Bu Oran Ne Demek?

Klasik durumda:

π(x)~x /logx

Buradan n’inci asal için:

p_n~n*logn

çıkıyordu.

Aynı mantığı alfa sayıları için uygularsak:

n~a_n/(log(a_n) * loglog(a_n))

Buradan da

a_n~n*logn*loglogn

elde edilir.

Yani alfa sayıları, klasik asallardan loglogn kadar daha seyrektir.

6)Dirichlet Serisiyle Tahmin Yürütme

Bir asal kümesinin yoğunluğu, o kümenin:

Σ1/p

davranışı ile ilişkilidir.

Klasik asallarda:

Σ1/p~loglogx

Civarında büyür.

Asal indeksli asallarda ise bu toplam çok daha yavaş büyür. Sezgisel olarak yaklaşık

1/logx

Düzeyinde davranır.

Bu daha zayıf büyüme, sayma fonksiyonunda ek bir loglogx çarpanı ortaya çıkmasına neden oluyor olabilir

Bu da şu tahmini doğal kılar:

π_alpha(x)~x /(logx*loglogx)

7)Bu Tahminin Eksileri

Bulduğumuz şey:

Sayısal gözlemler güçlü biçimde x / (logx*loglogx) davranışını destekliyor.

a_n için n*log(n)*loglog(n) büyümesi tutarlı gibi duruyor.

Bulamadığımız şey:

Dirichlet serisiyle tahmine katkı yapsak da tam ispat sunamadık.

Hata terimi bilinmiyor.

Daha büyük x için asimptotik dağılım bozuluyor olabilir çünkü bizim hesapladığımız 10⁸ gibi küçük sayılarda asimptotik fonksiyonlar bizi kandırabilir.

Bu nedenle sonuçlarımız bir teorem değil, sezgisel bir tahmindir

8) Sorumuz

Gerçek soru şu:

π_alpha(x) için daha hassas bir asimptotik formül yazılabilir mi?

Örneğin:

π_alpha(x) = x /(logxloglogx)+ hata terimi

Buradaki hata terimi ne büyüklüktedir?

Bu soru, asal sayıların dev yapısıyla derinden alakalı.