Kuantum Elektrodinamiğinde (QED) boyutlu düzenlileştirme kullanarak etkin eyleme yapılan tek döngülü düzeltmeyi nasıl hesaplarız?

Öncelikle sorunuz için teşekkürler. Sorunun cevabı oldukça komplike, benim için komplike. Aslında %100 doğru cevabı veriyorum diyemeyeceğim. Bu nedenle aşağı yukarı mantığı anlatabilsem yeter benim için formatında ilerleyeceğim. Yaklaşık 20 adımda tamamlanacaktır diye düşünüyorum. Hata yapma ihtimalim yüksek, eğer ki denk gelen olursa, alıntı yapıp hatayı belirtirse çok memnun olurum.

Çok kısaca özet geçecek olursam:

Kuantum Elektrodinamiği'nde tek halkalı düzeltmelerin hesaplanmasında boyutsal düzenleme yöntemi kullanılır. Bu yöntemde uzay-zamanın boyutları olacak şekilde genişletilir ve bu da döngü integrallerindeki sonsuzlukları yönetmeye yardımcı olur. İntegraldeki sapmalar cinsinden kutup olarak ifade edilir ve bu şekilde sonsuzluklar ayrıştırılır. Bu sonsuzluklar yeniden normalize edilen sabitlerle soğurularak düzeltilir.

Açıklama:

Üreteç Fonksiyonu

Dış bir elektromanyetik alan varlığında Kuantum Elektrodinamiği (QED) için üreteç fonksiyonu şu şekilde verilir:

Burada:

gama matrisleridir ve ilişkisini sağlarlar,

fermiyon kütlesidir,

elektrik yüküdür.

Etkin Eylemi Tanımlayınn

Etkin eylem şu şekilde tanımlanır:

Tek döngü mertebesinde fermiyonik alanlar, eylemde kareli olarak yer aldıkları için tam olarak entegre edilebilir.

Fermiyonik Alanları Entegre Edin

Fermiyonik alanlar üzerinden entegrasyonu yapın:

Bu nedenle de tek döngü etkin eylemi şu hale gelir:

Serbest Teori Etrafında Genişletme

burada serbest fermiyon propagatörüdür. İlk terim 'ya bağlı olmadığından göz ardı edilebilir.

Logaritmayı Genişletin

Kuadratik Terimi Hesaplayın (Vakum Polarizasyonu)

'yu içeren önde gelen katkı kuadratik terimdir ( n = 2 ):

Vakum Polarizasyon Tensörünü Hesaplayın

Fermiyon Propagatörünü İfade Edin

Momentum uzayındaki serbest fermiyon propagatörü:

'yı yerine koyun:

Paydaki İz'i Hesaplayın

Çarpımları Açın:

Tek sayıdaki gama matrisleri iz alındığında yok olur.

Kalan İzleri Hesaplayın:

Üçüncü ve Dördüncü Terimler:

Bu terimler tek sayıda gama matris izine sahip oldukları için sıfırdır.

Terimleri Toplayın:

Feynman Parametrelerini Kullanarak Paydaları Birleştirin

Entegrasyon Değişkenini Kaydırın

Aşağıdaki gibi tanımlayın:

Böylece payda () haline gelir ve paydaki , 'nun cinsinden ifade edilir:

'yi ve 'nin Cinsinden İfade Edin

'ye yerine koyun:

Üzerindeki Entegrasyonu Gerçekleştirin

Boyutsal düzenleme ile üzerindeki integraller standarttır. Örneğin:

Benzer şekild üzerindeki integraller şu şekilde ifade edilebilir:

Diverjan Kısımları Hesaplayın

Entegrasyondan sonra divergent kısımlar 'de kutuplar olarak ortaya çıkar (çünkü )

Gamma fonksiyonunu ve 'yı içeren terimi genişletin:

'nin Diverjan Kısmını Çıkartın

Entegrasyon ve sadeleştirmeden sonra şu şekilde yazılabilir:

Karşıterimleri ve Renormalizasyonu Tanıtın

Diverjansı iptal etmek için foton alanı renormalizasyon sabiti 'te bir karşıterim tanıtın:

'ü kutbunu iptal edecek şekilde seçin:

Sonlu Kısmı Hesaplayın

Bunu da unutmayalım:

Renormalize Edilmiş Vakum Polarizasyon Tensörünü Derleyin

Tek Döngü Etkin Eylemi Yazın

Yanii:

Sonucu Yorumlayın

faktörü foton propagatörünü değiştirir ve bu bağlanma sabitinin 'ye göre değişimini gösterir:

Koordinat Uzayına Geri Dönün

Koordinat uzayında etkin eylem 'nin momentum bağımlılığı nedeniyle yerel olmayan terimler içerir:

Özetlersek şunları yaptık:

Boyutsal düzenleme ve dikkatlice ele alınan diverjanslarla QED'deki tek döngü düzeltmesi hesaplandı. Bu süreçte fermiyonlar entegre edilerek Dirac operatörünün determinantı hesaplandı ve logaritma etkileşim sabiti 'nin kuvvetlerine genişletilerek tek döngü terimi izole edildi. Vakum polarizasyonu 'nın hesaplanmasıyla elde edilip izler ve döngü integralleri çözüldü. Ultraviyole diverjanslar boyutları kullanılarak düzenlendi. Renormalizasyonla diverjanslar iptal edilip karşıterimler eklenerek sonlu fiziksel sonuçlar elde edildi ve nihai etkin eylem elektromanyetik etkileşimlerdeki kuantum düzeltmeleri ve yük renormalizasyonu gibi etkileri gösterdi. Teşekkürler.