Metmatikte bir ifade kullanırken kullanılan tabirlerin net ve bariz bir şekilde tanımlanmış olması çok önemlidir.
Öncelikle yakın ne demek bunu tanımlayalım:
Birbirinden farklı iki ve sayısı için ise sayısı sayısına 'den daha yakındır. Şeklinde bir tanım yapabiliriz. Daha matematiksel bir ifade ile:
sayısı sayısına 'den daha yakındır.
Bu durumda 10'a en yakın sayı yine 10 oluyor.
10'un dışında en yakın olan sayıdan bahsediyorsak bu sefer sayının nasıl tanımlandığı yani hangi sayı kümesine ait olduğu önem arz ediyor. Misal, eğer tam sayılar kümesinden bahsediyorsak 10'a en yakın sayılar 9 ve 11.
Eğer gerçel sayılar (real numbers) kümesinden bahsediyorsak böyle bir sayı tanımlı değil. Çünkü birbirinden farklı bütün gerçel sayıların arasında o iki sayının ortalamasına eşit bir sayı vardır. Matemiksel olarak bunu şu şekilde ifade edebiliriz:
Haliyle 10'a en yakın olarak adledebileceğimiz 10 dışındaki bütün gerçel sayılardan 10'a daha yakın olan başka bir gerçel sayı bulunabilir. Dolayısıyla daha yakın olmaktan bahsedebilirsiniz ama en yakın kavramı gerçel sayılarda tanımlı değildir.
Buna ek olarak; başta türev, integral gibi kavramları limit üzerinden düzgün bir şekilde tanımlayabilmek olamak üzere gerçel sayıların yeterli gelmediği çeşitli sebeplerden tanımlanan sürreel sayılar[1], süperreel sayılar[2] veya hiperreel sayılar[3] gibi sonsuz küçük (infinitesimal) içeren bazı sayı kümeleri mevcut. Sonsuz küçük, bütün pozitif gerçel sayılardan daha küçük olan fakat sıfırdan büyük olan sayı olarak tanımlıdır ve genelde ile gösterilir. Az önceki argüman gereği gerçel bir sayı olamaz. Bu tip sayı kümelerinde 10'a en yakın sayıların ve olduğunu söyleyebiliriz.
Karmaşık sayılar (Complex numbers) gibi 2 veya daha yüksek boyuta sahip bir uzaydan bahsediyorsak eğer bu sefer ilgili uzayın özellikleri durumu değiştirecetir. Eğer uzayımız Haussdorff[4] bir uzaysa (mesela karmaşık sayılar uzayı) yine gerçel sayılara benzer bir sebepten ötürü bu soru yine tanımsız olacaktır. ("Hausdorff uzayı ne demektir?" merak edenlere kaynaktaki kitabı tavsiye edebilirim. Veya herhangi bir topolojiye giriş kitabına başvurabilirler.) Eğer uzayınız haussdorf değilse bu sefer uzayın özellikleri ve 10'u nasıl tanımladığınıza göre her şey mümkün.
Kaynaklar
- B. Bajnok. (2013). An Invitation To Abstract Mathematics. ISBN: 9781461466369. Yayınevi: Springer Science & Business Media.
- D. Tall. (1980). Looking At Graphs Through Infinitesimal Microscopes, Windows And Telescopes. The Mathematical Gazette, sf: 22-49. doi: 10.2307/3615886. | Arşiv Bağlantısı
- H. Tamano. (1958). On Rings Of Real Valued Continuous Functions. Proceedings of the Japan Academy, sf: 361-366. doi: 10.3792/pja/1195524639. | Arşiv Bağlantısı
- J. Lee. (2010). Introduction To Topological Manifolds. ISBN: 9781441979391. Yayınevi: Springer.
