Uzay-zamandaki toplam hızımız neden hep sabit ve ışık hızına eşittir?

Gayet güzel bir soru, basit bir şekilde açıklamaya çalışayım.

Standart 3 boyutlu uzayda hızımız büyüklüğü 3 tane hızın karelerinin toplamının büyüklüğüne eşittir: . Burada hızımız, hızımızın büyüklüğü, de birbirlerine dik 3 farklı yöndeki hızlarımız. Bu yönleri nasıl seçtiğimiz önemli değil, kolaylık olsun diye ileri-geri, sağ-sol, ve aşağı-yukarı olarak seçebiliriz.

Öncelikle bu formülü daha kullanışlı hale getirelim. 3 boyutlu uzayda hız dediğimiz şey alınan mesafenin zamana göre türevi: Yukarıdaki formül de oluyor, kabul edersek de formülümüz şu hale geliyor: .

Türev ya da diferansiyel denklem bilmeyen biri bu noktada yazıdan kopmasın diye ufak bir not düşeyim: Bu denklemde ne kastedildiğini anlamıyorsanız sorun değil, olayı özü şu: Üç boyutlu düz bir uzayda bu üç farklı boyut arasında bir simetri var, ve denklemde bunu görebilmek mümkün: eğer 1 ve 2 diye adlandırdığım yönleri değiştirecek olursam denklem birebir aynı kalıyor!

Uzayı zaman ile birleştirip dört boyut yaptığımızda ise bu formül değişiyor. Eğer dördüncü boyutumuz uzaysal bir boyut olsaydı, yukarıdaki formülü direk genelleştirirdik: . Gördüğümüz gibi gene dört boyut arasında hiçbir fark yok! Fakat bizim dördüncü boyutumuz zamansal bir boyut olduğu için denklemimiz aslında şu şekilde değişiyor: . Gördüğümüz gibi uzaysal boyutlar arasında hala bir simetri var, fakat zamansal boyut onlardan farklı, önündeki işaret eksi ( de ışık hızı)! Bunu genelleştirebilmek mümkün, örneğin 2 zamansal 4 uzaysal toplamda 6 boyutlu bir uzay zaman için denklemimiz şu olurdu:

Soruyu cevaplamadan önce belirtmemiz gereken son bir şey kaldı. Normal üç boyutlu uzayda hız kavramını kullanırken mesafenin zamana göre türevini alıyoruz, yukarıdaki ilk denklemlerimizde de zaman paydadaydı! Fakat zaman artık bir boyut olunca türevi artık ona göre alamayız, üstelik birden fazla zamansal boyut olsaydı kime göre alacağımız belli bile değil! Bu sebeple 4 yada daha yüksek boyutlu bu tarz genel uzaylarda hız kavramını bu yukarıdaki ifadesinin uzayın simetrilerine uygun bir dış parametreye göre türevini alıyoruz, yani bu parametreyi ile gösterecek olursak, dört boyutlu uzaylarda hız dediğimiz şey şu:

Bu aslında çok şaşırtıcı olmasa gerek: Nasıl ki 3 boyutlu uzaylarda hız denilen şey uzayın bir parçası olmayan zaman parametresine göre bir türev ise, dört boyutlu uzaylarda da hız denilen şey uzayın bir parçası olmayan bu parametresine göre türev!

Bu parametresinin fiziksel anlamı da var: Durgun gözlemcinin ölçtüğü zaman tam olarak da bu parametresi! Yani ben bana göre hareket eden bir arabada geçen zamanı ile ölçsem de, kol saatimde geçen zamanı ile ölçüyorum! Zaten bu parametrenin İngilizce ismi de proper time, yani düzgün vakit.

Sorudaki bilgiyi artık yazabiliriz: Uzayzamanda hareket eden her cismin hızı, yani uzay-zamandaki konumunun düzgün vaktine türevi, ışık hızına eşittir!
  

Durgun cisimler için uzaysal boyutlarına göre türev sıfır, zaman da durgun zamana eşit, bu yüzden alırsak da olduğunu görüyoruz. yerine almamın sebebi parametreleri tanımlama şeklimle ilgili, o 'ye takılmayın.

Durgun olmayan cisimler için artık ilk üç terim sıfır olmak zorunda değil, fakat artık zaman da durgun zaman olmadığından son terim de direk değil! Öyle ki, ilk üç terim büyüdükçe de büyüyor, hatta tam olarak da olacak şekilde büyüyor!

Fiziksel olarak çıkardığımız sonuç şu: Hareketli cisimlerin ölçtüğü zaman bize göre yavaşlamalı, hatta yavaşlama miktarı öyle olmalı ki, dört boyutlu uzayzamanda hızları ışık hızına sabit olmalı! 
  

Bu kadar yazmama rağmen matematiğine girmemek için soruyu aslında tam cevaplamadım. Fakat makul gelebilecek açıklama şu: Özel görelilikte zaman kavramı hareketli cisimlere göre yavaşlıyor: . Bu 'ya Lorenz faktörü deniliyor ve zamanın ne kadar genleştiğini ölçüyor. Bu parametre de cismin uzaysal boyutlardaki hızına bağlı, yani 'nin değerine! Eğer bu parametreyi hesaplar ve yukarıdaki denklemde yerine koyarsak görüyoruz ki her zaman!