Çok geniş bir soru. Elimden geldiğince anlatmaya çalışayım.
Topoloji uzaydaki şekillerin global özelliklerini inceleyen matematik dalıdır. Bu global özellikler temel olarak şeklin kaç parçadan oluştuğu, kaç tane deliği olduğu, bir hacme sahip olup olmadığı, sınırlı olup olmadığı, sıkışık olup olmadığı(tıkızlık/compactness) gibi sadece şeklin tamamına bakarak anlaşılabilen özelliklerdir. Tabi ki bakmak tek başına yeterli değil. Karşılaşılan her şeklin bu özelliklerini belirleyebilen yöntemlere ihtiyacımız var. En nihayetinde de şekilleri bu özelliklerine göre sınıflandırmak gibi bir amacımız var. Temel topoloji kitap çalışmak için ideal bir kitap, Munkres[1] .
Topolojinin en güncel kullanım alanlarından birisi topolojik veri analizidir. Eldeki verinin cebirsel topoloji yöntemleriyle analiz edilmesi temeline dayanır. Cebirsel topolojinin daha temel bir alt alanı olan ve veri analizi için kullanılan homoloji teorisine lisans düzeyinde bir bakış için Kinsey'in kitabını[2] , cebirsel topolojiyi lisansüstü düzeyde derinlemesine çalışmak ve hazmetmek için Hatcher'ın kitabını[3] , topolojik veri analizini lisans düzeyinde çalışmak için Edelsbrunner'in algoritmalara dayalı kitabını[4] , lisansüstü düzeyde daha derinlemesine çalışmak içinse Day ve Wang'un kitabını[5] öneririm. Topolojik veri analizi genel olarak makine öğrenmesiyle birlikte kullanılıp şekil tanımlama gibi işlemleri mevcut diğer yöntemlere göre çok daha kolay bir hale getirmektedir. Bunun ilginç bir örneği Classification of COVID-19 via Homology of CT-scans[6] makalesidir.
Benim çalışma alanım olmadığı için detay veremeyecek olsam da topolojinin bir başka ilginç kullanım alanıysa düğüm teorisidir. Adından da anlaşılacağı üzere düğümleri incelemeye dayalı bir alandır. Düğümlerin çözülebilir olup olmadığı haricinde ne tip incelemeler yapıldığını ne yazık ki bilmiyorum. Öğrenmek için Menasco'nun kitabına[7] bakılabilir.
Kaynaklar
- J. R. Munkres. Topology. ISBN: 9780131816299.
- L. C. Kinsey. (2012). Topology Of Surfaces. ISBN: 9781461208990. Yayınevi: Springer Science & Business Media.
- A. Hatcher. (2002). Algebraic Topology. ISBN: 9780521795401. Yayınevi: Cambridge University Press.
- H. Edelsbrunner. (2010). Computational Topology: An Introduction. ISBN: 9780821849255. Yayınevi: American Mathematical Society(RI).
- T. K. Dey. (2022). Computational Topology For Data Analysis. ISBN: 9781009103190. Yayınevi: Cambridge University Press.
- S. Iqbal, et al. (2021). Classification Of Covid-19 Via Homology Of Ct-Scan. arXiv.org. doi: 10.48550/arXiv.2102.10593. | Arşiv Bağlantısı
- W. Menasco. (2005). Handbook Of Knot Theory. ISBN: 9780444514523. Yayınevi: Elsevier Science.
