Reel sayılar için her zaman aralığında olur. Ama karmaşık sayılar burada da adını hak ederek bunun içinden geçiyor. Karmaşık sayılarda ve fonksiyonları herhangi bir reel sayı olabilir. Hatta karmaşık sayı da olabilir. Hatta gibi karmaşık sayılar da olabilir! Nasılı ise çok güzel bir yoldan geliyor! Tahmin edin ne eşitliği? Tabiki Euler! Euler eşitiliği bize ne der?
Ispatına buradan bakabilirsiniz. Şimdi yerine koyalım:
çift tek fonksiyon olduğu için:
Şimdi bulduklarımızı alt alta yazalım:
Bunları toplayalım o zaman:
Şimdi her iki tarafı da 2'ye bölelim:
işte karşınızda güzeller güzeli kompleks düzlemde kosinüs fonksiyonu!
Aynısını sin için çıkartma yaparsanız bu sefer karşınıza şu çıkar:
İşte bunları kullanarak 1 ve -1 aralığı dışındaki sin ve cos değerlerini bulabilirsiniz!
Bunun için dönüşümü yapıp çıkan 2. dereceden denklemi çözüp sonra çıkan cevabı 'ya eşitleyip yı bulabilirsiniz!
