Evrim Ağacı Soru & Cevap
Reklamı Kapat
Puan Ver
3
Puan Ver

Pi sayısı nasıl hesaplanıyor?

Pi sayısının irrasyonel olduğunu biliyoruz fakat çemberin çevresine a,çapına ise b dersek a/b olur böylelikle rasyonel olmaz mı?

2
Teşekkür (1)
Hatırla
Takip
Paylaş
Reklamı Kapat
2 Cevap

Pi sayısı irrasyonel. Başka bir deyişle pi sayısını a/b ya da a,bcd … biçiminde rakamlarla tam olarak ifade etmek mümkün değil.

Ancak çeşitli yöntemler kullanarak pi sayısının yaklaşık değeri hesaplanabiliyor.

Hatta limit ve yinelemeli algoritmalar gibi matematiksel kavramlar pi sayısının değerini hesaplamak için gösterilen çabaların ürünüdür.

Pi sayısının değeriyle ilgili ilk tahminlerse günümüzden 3000-4000 yıl öncesinde yapılmıştı. Matematiksel yöntemlere değil deneme yanılmaya dayanan bu tahminlerdeki hata oranı yüksekti.

Yazılı kaynaklarda rastlanan en eski tahmin Babillilere ait. MÖ 1900-1600 yıllarına ait olan bu tahmine göre pi sayının değeri 3,125. Eski Mısır’da MÖ 1650’lerde yapılan başka bir tahmine göreyse pi sayısının yaklaşık değeri 3,1605.

Günümüzde matematiksel yöntemler kullanılarak yapılan en iyi hesaplara göre pi sayısının virgülden sonraki ilk on basamağa kadarki değerinin 3,1415926535 olduğu düşünülürse 3,1 ile başladıkları için her iki tahminin de başarılı olduğu söylenebilir.

Ama yine de kesinlikten çok uzaklar.

Matematiksel yöntemler kullanarak pi sayısının yaklaşık değerini hesaplamaya çalışan ilk kişi, tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olan Arşimet’ti.

Pi sayısı, tanım olarak çemberin çevresinin çapına oranı olduğu için bir çemberin çevre ve çap uzunlukları kullanılarak pi sayısının değerini hesaplamak mümkündür.

Arşimet’in kullandığı yöntem, çapı bilinen bir çemberin çevre uzunluğunun hangi aralıkta olduğunun çokgenler kullanılarak hesaplanmasına dayanıyordu.

Bir çemberin içerisindeki herhangi bir çokgenin çevre uzunluğu çemberin çevre uzunluğundan kısadır. Çemberi içerisine alan bir çokgenin çevre uzunluğuysa çemberinkinden fazla olmalıdır.

Görsel 1
Görsel 1

Dolayısıyla herhangi bir çemberin içine ve dışına çokgenler çizerek pi sayısının değerinin hangi aralıkta olduğunu belirlemek mümkündür. Örneğin aşağıdaki çizimleri ele alalım. Eğer bu çizimlerdeki çemberlerin çapı 1 birimse çevre uzunlukları π birim olmalıdır.

Birinci çizimde çemberin içerisine ve dışarısına çembere teğet olarak çizilmiş kareler görüyorsunuz. Geometri kullanılarak yapılan basit bir hesap dıştaki karenin çevre uzunluğunun 4 birim, içteki karenin çevre uzunluğununsa yaklaşık 2,8284 birim olduğunu gösterir.

Dolayısıyla bu bilgileri kullanarak π sayısının 4>π>2,8284 aralığında olduğu sonucuna varırız. Şimdi de ikinci çizime bakalım. Hesaplar içteki altıgenin çevre uzunluğunun 3 birim, dıştaki altıgenin çevre uzunluğununsa yaklaşık 3,4641 birim olduğunu gösterir.

Dolayısıyla π sayısının değerinin 3,4641>π>3 aralığında olduğu çıkarımını yapabiliriz.

Görüldüğü gibi çokgenlerin kenar sayısı 4’ten 6’ya çıkınca pi sayısının değerindeki belirsizlik azaldı. Kullanılan çokgenlerin kenar sayısını artırmaya devam ederek belirsizlik daha da azaltılabilir.

Arşimet’in kendisi hesaplara altıgenlerle başlamış ve giderek daha çok kenarlı çokgenler kullanarak pi sayısının değerini iki basamak kesinlikle 3,14 olarak hesaplamıştı.

Daha sonraları MS 150’lerde Batlamyus aynı yöntemi kullanarak 3,1416 değerini hesapladı. Yaklaşık bir yüzyıl sonra Çinli matematikçi Liu Hui, çokgenlerden yararlanılan bir algoritma kullanarak yine 3,1416 değerini elde etti.

MS 480 yılında Zu Chongzhi, Hui’nin yöntemini kullanarak virgülden sonraki basamak sayısını yediye çıkardı. Chongzhi’nin elde ettiği değer ancak 800 yıl sonra geliştirilebildi. Daha sonraları Avusturyalı gökbilimci Christoph Grienberger 1630 yılında pi sayısının virgülden sonraki 38 basamağını hesaplamayı başardı.

Grienberger’in elde ettiği değer, çokgenlerden yararlanılan algoritmalar yardımıyla ve sadece insan çabasıyla elde edilmiş en kesin değer olma unvanına sahip.

16. ve 17. yüzyıllarda sonsuz serilerin geliştirilmesinden sonra pek çok matematikçi pi sayısını hesaplamak için kullanılabilecek eşitlikler buldu. Bu eşitliklerin bilinen ilk yazılı örneğine MS 1500 civarında Hint matematikçi Nilakantha Somayaji tarafından yazılmış Sanskritçe bir metinde rastlanıyor:

https://www.matematiksel.org/wp-content/uploads/2019/04/pi-sayısı.jpg.webp (Bu görseli yükleyemedi.)

Bu eşitliğin ispatı MS 1530 civarında yapıldı.

Isaac Newton da 1665 yılında sonsuz serileri kullanarak pi sayısının on beş basamağını hesaplamıştı. Daha sonraları başka matematikçiler sonsuz seriler yardımıyla daha kesin hesaplar yaptı.

1956 yılında yapılan ve pi sayısının 620 basamağının elde edildiği hesap, hesap makinesi yada bilgisayar yardımı olmaksızın yapılmış en kesin hesap olma özelliğini taşıyor. Pi sayısını hesaplamak için kullanılabilecek sonsuz serilerin bazıları şunlardır:

Leonard Euler tarafından geliştirilen son eşitlikteki her bir oranda paylarda tek asal sayılar, paydalardaysa bu asal sayılara en yakın, dörde bölünebilen sayılar var.

Görsel 3
Görsel 3

Bilgisayarların geliştirilmesinden sonra pi sayısı çeşitli algoritmalar kullanılarak çok daha büyük bir kesinlikle hesaplanmaya başlandı.

289 görüntülenme
Puan Ver
5
Puan Ver
Teşekkür (4)
Paylaş
5

Kaynaklar

  1. Kaynak

Rasyonel sayı kümesinin tanımı a ve b tam sayı ve b = değil 0 olmak üzere a/b cinsinden ifade edilebilen sayılar kümesidir.

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd61efa520a61f5179f68e9ffbe10cf243a70454

1761 yılında Lambert yukarıdaki serinin tanjant serisi olduğunu göstermiş ve 0'a eşit olmayan bir x rasyonel sayısı için bu serinin irrasyonel olduğunu ancak irrasyonel sayılar için rasyonel sayı ürettiğini kanıtlamıştır. Tan(pi/4) = 1 (tan[45 derece]) olduğu için pi/4 irrasyonel olmalıdır dolayısı ile pi irrasyonel olmalıdır.

Puan Ver
0
Puan Ver
Teşekkür
Paylaş
0

Kaynaklar

  1. Wikipedia -Pi Sayısının Rasyonel Olmadığının Kanıtı İngilizce Wikipedia'dan daha fazla bilgi bulabilirsin
Cevap Ver
Bu soruya cevap vermek için lütfen
Evrim Ağacı Soru & Cevap Platformu, Türkiye'deki bilimseverler tarafından kolektif ve öz denetime dayalı bir şekilde sürdürülen, özgür bir ortamdır. Evrim Ağacı tarafından yayınlanan makalelerin aksine, bu platforma girilen soru ve cevapların içeriği veya gerçek/doğru olup olmadıkları Evrim Ağacı yönetimi tarafından denetlenmemektedir. Evrim Ağacı, bu platformda yayınlanan cevapları herhangi bir şekilde desteklememekte veya doğruluğunu garanti etmemektedir. Doğru olmadığını düşündüğünüz cevapları, size sunulan denetim araçlarıyla işaretleyebilir, daha doğru olan cevapları kaynaklarıyla girebilir ve oylama araçlarıyla platformun daha güvenilir bir ortama evrimleşmesine katkı sağlayabilirsiniz.
Reklamı Kapat
Reklamsız Deneyim

Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, Evrim Ağacı'nda çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.

Kreosus

Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.

Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.

Patreon

Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.

Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.

YouTube

YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.

Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.

Diğer Platformlar

Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.

Giriş yapmayı unutmayın!

Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.

Destek Ol
Türkiye'deki bilimseverlerin buluşma noktasına hoşgeldiniz!

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
“Cehaleti kabul etmek bilgeliktir.”
Ashley Montagu