Olasılık dağılımı için dalga fonksiyonunun karesini almamızın, matematiğimizi beklentimize uydurmak haricinde makul bir nedeni var mı?

Gerçekten biraz uçuk bir fikir, dalga fonksiyonun karesinin olasılık dağılımını vermesi. İşte biraz da bu yüzden Max Born'a bunu düşündüğü için Nobel ödülü veriyorlar.

Bunu anlamak için bu fikrin tarihsel gelişimini incelemek gerekiyor. 1926 yılında Max Born bu fikri ortaya attığında dalga fonksiyonunun ne olduğu bilinmiyor ve bu çok önemli bir problem. Elimizde Schrödinger denklemi mevcut ve bu denklemi Hidrojen atomu için çözdüğümüzde denklemin özdeğerleri bize hidrojen atomunun enerji seviyelerini veriyor. Lakin denklemin çözümünün ne anlama geldiği ile ilgili bir fikrimiz yok (ki denklemin çözümü işte bu dalga fonksiyonu) Max Born bu çözümlerin ne anlama geldiğini açıklıyor. Şu an hangi konuşması olduğunu bulamadım ama bildiğim kadarıyla bir konuşmasında bu fikrin öncüsünün Einstein olduğunu ve Albert Einstein'ın fotoelektrik makalesindeki ışık açıklamasını elektronlara uyarladığını söylüyor.

Peki fotoelektrik etkide Born'a ilham olan şey neydi? Max Born'un dalga fonksiyonu fikrini ortaya atmasından yaklaşık 30 sene önce fotoelektrik deneyi ile Hertz ışığın dalga değil de parçacık olduğunu gözlemledi fakat bu yüzyıldır yapılan ve ışığın tanecik olamayacağını ve dalga olduğunu ispatlayan onlarca fizikçinin yaptığı yüzlerce deney ile çelişiyordu. Hatta 19. yüzyılın ikinci yarısında Maxwell ışığın elektromanyetik dalga olduğu açıklamasıyla tamamen oturmuş şüphe götürmeyen bir konuydu. Üstelik ışığın dalga olması ile çalışan radar, radio ve röntgen gibi teknolojik gelişmelerle perçinlenmişti. Bu yüzden Hertz'in fotoelektrik deneyi adeta bir imkansızı gösteriyordu. İşte bu noktada kimsenin düşünemediğini Einstein düşünmüş 1905 yılında ışığın hem dalga hem tanecik olabileceği bir model ile ortaya çıktı. Ve çok kısa bir zaman içinde 1921 yılında bu başarısı Nobel ödülü ile ödüllendirildi. Bu modele göre Elektrik alanın büyüklüğünün karesinin foton bulunma ihtimaline eşittir (Aslında elektromanyetik alanın genliği demek daha doğru olabilir ama ayar simetrileri sayesinde aynı şey oluyor). Dolayısıyla Max Born foton gibi elektronların da hem dalga hem parçacık olabileceğini düşünüp o modeli Hıdrojen atomunun elektronuna uygulamıştır. Ve daha sonra deBroglie tarafından bu bir üst seviyeye taşınacak ve bütün maddenin hem dalga hem parçacık olduğu anlaşılacaktı.

Matematiksel olarak çok basit bir sebebi var: dalga fonksiyonu karmaşık bir sayı, oysa ölçülebilir fiziksel değerler ancak gerçek sayı olabilir.

Karmaşık sayıları iki gerçek sayı cinsinden yazabiliriz: büyüklüğü (absolute value) ve fazı (phase). Schrödinger denklemini bu iki gerçek sayı cinsinden yazacak olursak eşdeğer denklemler olan Madelung denklemlerini elde ederiz. Bunları incelediğimizde de şu sonuca varırız: dalga fonksiyonunun fazı bize klasik eylemin quantum düzlemine uzantısını verir (extension of the classical action to quantum physics), ve Quantum Hamilton–Jacobi denklemiyle incelenir. Dalga fonksiyonunun büyüklüğü de bize süreklilik denklemini verir; yani fiziksel olaylarla büyüklüğü değişmeyen bir matematiksel varlığın denklemi. Bu matematiksel objeyi toplam olasılık olarak yorumlamak bir dahilik olsa da, eğer bir şeyi olasılık olarak yorumlayacaksak matematiksel olarak çok fazla bir seçenek olduğu da söylenemez.

Max Born'un çalışması dışında buna temel teşkil eden bir çok argüman var aslında. Bunlardan bir tanesi kuantum mekaniğinin en ilkel formlarında bulunabilir: parçacıkların dalgalarla temsili, De-Broglie hipotezi. Bu hipotezde parçacıklara "eşlik eden" dalgaların varlığından bahsediliyor, ancak gözlemlerimizle uygun sonuçlar türetse de bu dalgalar fiziksel değil çünkü faz hızı ışık hızından büyük ama grup hızı denilen başka bir hız tam da parçacığın hızına eşit.

İşin içine dalgalar girince, dalga genliğinin karesinin bir şekilde enerjiyi vermesinden hareketle "dalga fonksiyonunun karesi " ni almak ile bir fikir oluşmuş oluyor kendiliğinden. Sebebi kav-baca şu şekilde: Dalga, tanımı gereği sonsuza kadar yayılan bir şey olsa da, "Dalga en çok nerededir?" sorusunun yanıtı "enerjisinin en yoğun olduğu yerdedir" şeklinde verilebilir, yani "fonksiyonun karesinin maksimum olduğu yerde". Diğer yerlerde dalganın "daha zayıf" bir varlığından bahsedilir. Parçacığı dalga ile temsil ediyorsak, parçacığa dalga eşlik ettiğini söylüyorsak, "parçacık nerededir?" sorusunun yanıtı bir şekilde "dalga en çok nerededir" sorusunun yanıtı ile aynı oluyor, yani "karesinin maksimum olduğu yerde". Diğer yerlerde de "parçacık daha zayıf bir şekilde vardır" demek işte kuantum mekaniğindeki olasılığa gidiyor. Yani parçacık en olası şekilde, dalgayı tanımlayan fonksiyonun maksimum olduğu yerdedir. Daha düşük olasılıklarla da dalgayı tanımlayan fonksiyonun karesinin daha düşük değerlere sahip olduğu yerdedir, denir.

Matematiksel olarak da bunun böyle olması gerektiğine dair de ciddi çalışmalar var, özellikle 1950 lerden sonra. Gleason'un teoremi bunlardan bir tanesi.

Deneysel gerçeklemeler de söz konusu elbette. Bunlardan görece daha yakın olanı "üç yarık deneyi".

Tüm bunlara rağmen, "dalga fonksiyonunun karesinin olasılığı vermesi" kuantum mekaniğinin aksiyomlarından birisi olarak tanıtılır. Yani teorinin "doğruluğu kabul edilen, başka yapıtaşlarından türetilmeyen, kendisi başlı başına bir yapı taşı/hareket noktası olan" olarak kabul edilir.