Neden π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9...?

Bahsettiğiniz denklem, "π için Leibniz formülü" (Eng.: Leibniz formula for π) olarak bilinir. Bu, bir sonsuz seri örneğidir ve adını Alman matematikçi Gottfried Wilhelm Leibniz'den almıştır.

Seri aşağıdaki gibidir:

π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9+...

Bu seri, π/4'e "yakınsar"; yani daha fazla terim eklendikçe terimlerinin toplamı π/4'e gittikçe "yaklaşır".

Söz konusu formülün ispatı, kalkülüs ve sayı teorisinden kavramlar da dahil olmak üzere bazı ileri matematik içerir. Bu ispatları anlamak için kalkülüs ve sayılar teorisi konusunda biraz altyapı gerekebileceğini lütfen unutmayın. ^[1]

π için Leibniz formülünü kanıtlamak için kullanılan ters tanjant fonksiyonu için Taylor serisi", genellikle "Gregory serisi" olarak adlandırılır:

arctan(x)=x−x³​/3+x⁵/5​−x⁷/7​+x⁹/9​−⋯

Bu seri -1 ≤ x ≤ 1 için yakınsar. Eğer x = 1 yerine koyarsak şunu elde ederiz:

arctan(1)=1−1/3​+1/5​−1/7+1/9​−⋯

Ancak trigonometriden arctan(1) = π/4 olduğunu biliyoruz. Bu nedenle:

π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9+...

Son olarak: Lütfen bunun basitleştirilmiş bir açıklama olduğunu ve gerçek kanıtın daha titiz matematiksel akıl yürütme içerdiğini unutmayın. ^[1]

Bu ifade, Leibniz^[1]'in formülü olarak bilinen bir seriyi temsil eder,integral hesaplamalarında ve trigonometrik fonksiyonların geniş açılarında yaklaşık değerler elde etmek için kullanılmıştır.

17. yüzyılda Alman matematikçi ve filozof Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından keşfedildi. Bu formül, matematikte^[3] trigonometrik fonksiyonların hesaplanmasında ve özellikle π sayısının yaklaşık değerini bulmada kullanılır.

Leibniz'in formülü şu şekildedir:

π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9+...

Bu seride, her bir terim bir öncekine göre biraz daha küçülmekte ve alternatif işaretlerle sıralanmaktadır. Ancak bu seri, π'nin değerine yaklaşırken oldukça yavaş bir şekilde yaklaşır ve pratikte kullanılmaz. Daha hızlı ve etkili yöntemler, örneğin Machin^[1] benzeri formüller, genellikle tercih edilir.Machin'in formülü şu şekildedir:

π/4= 4 arctan (1/5) - arctan (1/239)

Bu formül, Leibniz'in formülünden daha hızlı yakınsar ve daha etkili bir şekilde π sayısının değerini hesaplamak için kullanılır. Machin benzeri formüller, trigonometrik fonksiyonlar^[2] aracılığıyla π'nin ifadesini içerir ve bu tür formüller, özellikle bilgisayarlarla yapılan büyük hesaplamalarda yaygın olarak kullanılır.

Öncelikle orta okulda öğrendiğimiz bir formülü hatırlayalım: bir örüntü, sürekli x sayısı ile çarpılarak toplanıyorsa ve 0<x<1 ise o örüntü 1/(1-x)'e eşittir.

Dediğin örüntüye benzer bir örüntü yazarak bir benzerlik yakalayalım ve bu formülü uygulayalım:

X=y^2 değeri verelim ve tekrar yazalım:

Türev – integral bu yaşta öğrettiler mi bilmiyorum, inşallah öğretmişlerdir. Öğretmemişlerse toplama çıkarma gibi bir işlem olduğunu düşün. Bu işlemi 0’dan 1’e giderken hesaplıyoruz ve sonuca ulaşıyoruz.

İntegralin sağ tarafı bize istediğimiz işlemi verdi. Sol tarafı ise tan^(-1)=1 yapan değer π/4(45 derece), 0 yapan değer ise 0’dır.

Sonuç olarak π/4 = 1-1/3+1/5-1/7+1/9...