grup teorisi cebirsel yapıların en temel konusudur. grup, belli cebirsel özelliklere sahip bir cebirsel yapıdır. basitçe belirtmem gerekirse bir ikili işlem ve bir küme ele alınır (burada ikili işlem kavramını bilmeniz gerekir). bu küme, verilen işleme göre
1- birleşme,
2- etkisiz eleman
3- birim eleman
özelliklerine sahipse bu küme ile verilen işlem bir gruptur denir. yukarıdaki 3 özelliğe ek olarak verilen küme ve işlem
4- değişme
özelliğine sahipse değişmeli (abelyen) grup adını alır. mesela bildiğiniz tam sayılar kümesi ile bildiğiniz toplama (+) işlemi bir değişmeli gruptur. çünkü herhangi üç sayıyı toplarken
1- 4+(5+6)=(4+5)+6 şeklinde yazabilirsiniz (sonuçta eşitlik sağlanır).
2- toplama işlemine göre etkisiz elemanın 0 olduğunu zaten görebilirsiniz.
3- toplama işlemine göre birim eleman, ilgili sayının tersidir. örneğin 3 sayısını düşündüğünüzde birim eleman 3 ile toplandığı zaman etkisiz elemanı, yani 0'ı veren sayıdır. hangi sayıyı 3 ile toplarsanız 0'ı bulursunuz? tabii ki -3'ü. o halde her elemanın birim elemanı, verilen + işlemine göre tersidir dersiniz ve birim elemanı genelleştirirsiniz. ama bu durum sadece tamsayılarda ve toplama işlemi için geçerlidir. yani toplama işlemi ve çarpma işlemini düşündüğünüzde hem etkisiz eleman hem birim eleman değişecektir. dolayısıyla başta belirttiğim özellikleri dikkatli şekilde incelemek durumundasınız.
4- 2+5=5+2 olarak yazılabilir.
dolayısıyla bildiğimiz tamsayılar kümesi, bildiğimiz + işlemi ile birlikte bir abel (veya abelyen veya değişmeli) gruptur deriz ve bunu aşağıdaki gibi gösteririz:
