İkinci dereceden denklemleri veya diğer bi adı ile kuadratik denklemleri şu şekilde tanımlamak mümkün:
Şeklinde yazılabilen; a, b ve c nin sabit sayılar ve x'in bilinmeyen olduğu denklemlerdir. Çözmek için birkaç farklı yol vardır. Bunlar çarpanlara ayırma, tam karaye tamamlama ve kuadratik formüldür.
İlk olarak kuadratik formülden bahsedelim bu formül ile her ikinci dereceden denklem çözülebilir.
Bunun kanıtını vermek gerekirse:
Burada a, b, c sabit ve a≠0 şartı vardır, ispat için öncelikle sol tarafı "a" parantezine alıyoruz:
Şeklini aldı, iki tarafı da ya bölersek:
Şimdi iki taraftanda çıkararım:
İki tarafada ekliyelim:
kısmı şeklini alır, aynı şekilde kısmı şeklini alır.
İki taraftara karekök içine alalım:
Şimdi kısmını karşı tarafa alalım:
Bu formül ile katsayıları bilinen herhangi bir 2. Dereceden denklemi çözebilirsiniz.
Üstteki ispatta bir sorun yok, ama ikinci bir ispattan zarar gelmez.
Bu sefer denklemi ile çarpacağız:
İki taraftan da çıkartalım:
Her iki tarafa ekleyelim:
Sol taraf ye eşittir o zaman:
Her iki tarafı karekök içine alalım:
İki taraftan da çıkartalım:
İki tarafı ya bölelim:
İkinci metodumuz genelde kareye tamamlamak olarak bilinen yöntem, bir örnek üstünden anlatalım:
İlk olarak iki tarafa ekleyeceğiz:
Şimdi denklemin sol tarafını kareye tamamlayalım bunu yapmak için denklemle ekleyeceğiz:
Denklemin sol tarafı in karesidir:
İki tarafı da karekök içine alalım:
Son olarak ise denkleme ekleyelim!
Bu sayı tanıdık gelmiş olabilir, bu sayı altın oran olarak bilinir.
Burada genel olarak yaptığımız şey in katsayısının yarısını nin katsayısı ile nin çarpımının yarısı yapmaktır. Bu cümle biraz karmaşık gelmiş olabilir ama şimdi anlayacaksınız. Bu cümlenin anlamını izah etmek gayet basit. Denklem üzerinde uğraşıp:
Şeklini verebilirsek denklemi olarak yazabiliriz. Amacımız da bu zaten! Burada ile oynamadığımız için demekte sakınca yoktur. Amacımız denklemin kısmı ile öyle bir oynayıp eşitliğine ulaşmamız lazım. Az önceki örneğimizden bakarsak olduğuna göre ve olduğuna göre olduğuna göre ve olduğuna göre dir.
Çarpanlara ayırmayı ise kısaca şöyle diyebiliriz:
Gibi bir durumda ya yada olmalıki eşitlik sağlansın. O zaman şu şekildeki ifadeyi yani
İfadesini yakalamaya çalışıyoruz. Birkaç örnek bakalım.
olduğu ve olduğu için ve bunların çarpımlarının yani olduğu için ifade olur ve bu yüzden yada olur.
ve o zaman bakalım ve ve olduğuna göre ifade
Olarak çarpanlarına ayrılabilir. Bu yüzden ya da
