İkinci derece denklemler nedir ve nasıl çözülür?

İkinci dereceden denklemleri veya diğer bi adı ile kuadratik denklemleri şu şekilde tanımlamak mümkün:

Şeklinde yazılabilen; a, b ve c nin sabit sayılar ve x'in bilinmeyen olduğu denklemlerdir. Çözmek için birkaç farklı yol vardır. Bunlar çarpanlara ayırma, tam karaye tamamlama ve kuadratik formüldür.

İlk olarak kuadratik formülden bahsedelim bu formül ile her ikinci dereceden denklem çözülebilir.

Bunun kanıtını vermek gerekirse:

Burada a, b, c sabit ve a≠0 şartı vardır, ispat için öncelikle sol tarafı "a" parantezine alıyoruz:

Şeklini aldı, iki tarafı da ya bölersek:

Şimdi iki taraftanda çıkararım:

İki tarafada ekliyelim:

kısmı şeklini alır, aynı şekilde kısmı şeklini alır.

İki taraftara karekök içine alalım:

Şimdi kısmını karşı tarafa alalım:

Bu formül ile katsayıları bilinen herhangi bir 2. Dereceden denklemi çözebilirsiniz.

Üstteki ispatta bir sorun yok, ama ikinci bir ispattan zarar gelmez.

Bu sefer denklemi ile çarpacağız:

İki taraftan da çıkartalım:

Her iki tarafa ekleyelim:

Sol taraf ye eşittir o zaman:

Her iki tarafı karekök içine alalım:

İki taraftan da çıkartalım:

İki tarafı ya bölelim:

İkinci metodumuz genelde kareye tamamlamak olarak bilinen yöntem, bir örnek üstünden anlatalım:

İlk olarak iki tarafa ekleyeceğiz:

Şimdi denklemin sol tarafını kareye tamamlayalım bunu yapmak için denklemle ekleyeceğiz:

Denklemin sol tarafı in karesidir:

İki tarafı da karekök içine alalım:

Son olarak ise denkleme ekleyelim!

Bu sayı tanıdık gelmiş olabilir, bu sayı altın oran olarak bilinir.

Burada genel olarak yaptığımız şey in katsayısının yarısını nin katsayısı ile nin çarpımının yarısı yapmaktır. Bu cümle biraz karmaşık gelmiş olabilir ama şimdi anlayacaksınız. Bu cümlenin anlamını izah etmek gayet basit. Denklem üzerinde uğraşıp:

Şeklini verebilirsek denklemi olarak yazabiliriz. Amacımız da bu zaten! Burada ile oynamadığımız için demekte sakınca yoktur. Amacımız denklemin kısmı ile öyle bir oynayıp eşitliğine ulaşmamız lazım. Az önceki örneğimizden bakarsak olduğuna göre ve olduğuna göre olduğuna göre ve olduğuna göre dir.

Çarpanlara ayırmayı ise kısaca şöyle diyebiliriz:

Gibi bir durumda ya yada olmalıki eşitlik sağlansın. O zaman şu şekildeki ifadeyi yani

İfadesini yakalamaya çalışıyoruz. Birkaç örnek bakalım.

olduğu ve olduğu için ve bunların çarpımlarının yani olduğu için ifade olur ve bu yüzden yada olur.

ve o zaman bakalım ve ve olduğuna göre ifade

Olarak çarpanlarına ayrılabilir. Bu yüzden ya da

2. dereceden denklemler nasıl çözülür, buyur adım adım ve mantığını anlayarak öğrenelim. Matematikte çok sık karşımıza çıkan bu denklemler genel olarak ax² + bx + c = 0 şeklinde yazılır. Burada a, b ve c sabit sayılardır ve a kesinlikle 0 olamaz. x ise bulmak istediğimiz bilinmeyendir.

İlk yöntem çarpanlara ayırmadır. Eğer denklem uygun bir yapıdaysa en hızlı çözüm budur. Örneğin x² + 5x + 6 = 0 denklemini ele alalım. Bu ifade (x + 2)(x + 3) şeklinde çarpanlara ayrılır. Şimdi her bir parantezi sıfıra eşitleriz. x + 2 = 0 ise x = -2 olur. x + 3 = 0 ise x = -3 olur. Yani bu denklemin çözümleri x = -2 ve x = -3’tür.

Her denklem bu kadar kolay çarpanlara ayrılmaz. Böyle durumlarda en güvenilir yöntem formül kullanmaktır. Bu yönteme diskriminant yöntemi denir. Formül şu şekildedir: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). Buradaki b² - 4ac ifadesine diskriminant denir ve genelde Δ ile gösterilir. Şimdi bir örnek üzerinden gidelim. 2x² + 3x - 2 = 0 denklemini çözelim. Burada a = 2, b = 3, c = -2. Önce diskriminantı hesaplarız. Δ = 3² - 4·2·(-2) = 9 + 16 = 25. Şimdi formülde yerine koyarız. x = (-3 ± √25) / 4 olur. √25 = 5 olduğu için x = (-3 ± 5) / 4 çıkar. Buradan iki sonuç elde ederiz. x = (2 / 4) = 1/2 ve x = (-8 / 4) = -2. Yani çözümler x = 1/2 ve x = -2’dir.

Diskriminantın değeri bize çözüm hakkında önemli bilgiler verir. Eğer Δ sıfırdan büyükse iki farklı gerçek kök vardır. Eğer Δ sıfıra eşitse tek bir kök vardır ve bu kök çift katlıdır. Eğer Δ sıfırdan küçükse gerçek sayı çözümleri yoktur, karmaşık sayılar devreye girer.

Bir diğer yöntem ise tam kareye tamamlama yöntemidir. Bu yöntem özellikle mantığı anlamak için çok faydalıdır. Örneğin x² + 6x + 5 = 0 denklemini ele alalım. İlk iki terime bakarız: x² + 6x. Bunu tam kare yapmak için 9 ekleriz çünkü (x + 3)² = x² + 6x + 9 eder. Denklemi bozmamak için aynı zamanda 9 çıkarırız. Böylece (x + 3)² - 9 + 5 = 0 olur. Bu da (x + 3)² - 4 = 0 demektir. Buradan (x + 3)² = 4 elde edilir. Karekök alırsak x + 3 = ±2 olur. Sonuç olarak x = -3 + 2 = -1 ve x = -3 - 2 = -5 bulunur.

Hangi yöntemi kullanacağın tamamen denkleme bağlıdır. Eğer sayılar uygunsa önce çarpanlara ayırmayı denemek en hızlı yoldur. Eğer zor görünüyorsa direkt formüle geçmek zaman kazandırır. Tam kare yöntemi ise konunun mantığını daha iyi anlamak için oldukça değerlidir.

Özetle, 2. dereceden denklemler aslında zor değildir. Doğru yöntemi seçtiğinde her zaman çözebilirsin. Biraz pratik yaptıkça hangi yöntemi ne zaman kullanacağını otomatik olarak fark etmeye başlarsın.

Eğer uğraşmadan hızlıca çözmek veya adım adım çözümü görmek istersen buradan direkt deneyebilirsin: https://equation-solver.org/tr/