Euler formülü eⁱˣ=cos(x)+i⋅sin(x)'tir ve Euler özdeşliği e^(iπ)+1=0'dır.
X gördüğün yere π/2 yazarsan eiπ/2=cosπ/2+isinπ/2= i yapar ;
i^i yerine eiπ/2^i yazılabilir ; tanım gereği ixi = -1 dir. O zaman bu sayıda 1/eπ/2 yapar. Yani bu sayı reel bir sayıdır. Kabaca değeri de 0.20788 sayısıdır.
Aslında i'nin ininci kuvvetinin sonsuz sayıda reel çözümü vardır. Çünkü cos(x) ve sin(x)fonksiyonları periyodiktir ve bu çözümlerin hepside reeldir.
Bunun geometrik yorumuna gelirsek ; yatay x ekseni reel sayılar dikey eksende imajiner ekseni göstersin; a+bi aslında x ekseni yönünde a birim gidip saatin ters ekseni yönünde de b birim gidersek bu iki koordinatın kesiştiği noktada bize a+bi sayısını verir , demek ki bir reel sayıyı i le çarpmak demek saatin tersi yönünde doksan derece döndürmek demektir. Elektrik mühendisliğinde kompleks sayıları sürekli kullanmamızın nedeni budur. Çünkü akım ve gerilim arasında ki 90 derece faz farkı vardır. ( kapasitör ve indüktör elemanlarında )
i sayısı= 0+1.i şeklinde yazılır bu sayının mutlak değeri de 1 dir. i nin sırasıyla 2,3,4 . kuvvetlerini aldığımızda periyodik bir desen yakalarız.
Yani aslında a operatörü bir nesneyi ne kadar büyütüp küçülteceğimiz, i operatörü ise o nesneyi ne kadar döndürebileceğimizi ifade eder.
Aslında bu dönüşümü tam olarak anlamak için conformal mapping ( konformal dönüşüm ) tanımını vermek gerek , ama şimdilik gerek yok .
Şimdi iki boyutlu bir nesneyi uzatıp , kısaltmadan sadece yatayda ve dikeyde kendi üzerinde döndürerek uzatıp , kısaltabilirmiyiz. Evet . Bu işlemde bize bir reel sayıyı verir.
