en hızlı büyüyen fonksiyon nedir?

Şöyle basit bir parabol.^[1] fonksiyonu düşünürsek;

Desmos

Burada gördüğün gibi eğer,

Gidişata bakarsak,

Fonksiyon giderek artıyor.

Eğer basit bir tek fonksiyon düşünürsek,

Desmos

Burada eğer değerlere bakarsak,

y değeri giderek artıyor ancak bu artış miktarı bir parabolden daha fazla yani bir polinom fonksiyonunun en fazla artış değerini bulmak istiyorsak,

"a" değerini ve "k" değerini en fazla ya da sonsuz yapmamız gerekir.

Desmos

Yani ne kadar y eksenine yakınlaşıyorsak o kadar fazla artış yaşıyoruz, öyleyse y ekseninin kendisi sonsuza artışa sahip olur diye düşündüm.

Ancak,

tarzı tetrasyon fonksiyonlarıda unutmamak gerek eğer y eksenini bir fonksiyon olarak almazsak.

Grafiğin Python kodu:

import numpy as np
  import matplotlib.pyplot as plt
  
  # x değerlerini tanımla
  x = np.linspace(0.1, 5, 500)
  
  # Fonksiyonları tanımla
  polynomial = x**2  # Polinom fonksiyonu (x²)
  exponential = np.exp(x)  # Üstel fonksiyon (e^x)
  # Faktöriyel yaklaşımı (sadece tam sayılar için, 10'a kadar)
  factorial_approx = np.array([np.math.factorial(int(xi)) if xi == int(xi) and xi <= 10 else np.nan for xi in x])
  # Tetrasyon yaklaşımı (x < 2 için)
  tetration_approx = np.array([2 ** (2 ** xi) if xi <= 2 else np.nan for xi in x])
  
  # Grafik çizimi
  plt.figure(figsize=(10, 6))
  
  # Her fonksiyonu daha iyi görselleştirme için sınırlarla çiz
  plt.plot(x, polynomial, label=r"$x^2$", color='blue')
  plt.plot(x, exponential, label=r"$e^x$", color='green')
  plt.plot(x, factorial_approx, label=r"$n!$ (tam sayılar için yaklaşım)", color='orange', marker='o')
  plt.plot(x, tetration_approx, label=r"$2^{2^x}$ (x < 2 için yaklaşım)", color='red')
  
  # Daha iyi görselleştirme için grafik sınırlarını ayarla
  plt.ylim(0, 100)
  plt.xlim(0, 5)
  
  # Etiketler ve başlık
  plt.xlabel("x")
  plt.ylabel("Fonksiyon Değeri")
  plt.title("Fonksiyon Büyüme Hızlarının Karşılaştırması")
  plt.legend()
  plt.grid(True)
  plt.show()