Kısa cevap: Çünkü basit sarkacı matematiksel olarak modellemek için küçük-açı yaklaşımını kullanıyoruz, bu yüzden küçük açılı salınımlar için doğru sonuç veriyor.

Uzun cevap:

Yerçekimi altında salınım yapan bir sarkacın hareket denklemini aşağıdaki diferansiyel denklem ile ifade edebiliriz:

sarkacın dikey ile yaptığı açı, yerçekimi ivmesi, sarkacın uzunluğu.

Bu denklemin çözümü basit sarkacın hareketini çok gerçekçi olarak verir. Tabi bazı varsayımlar halen mevcut: kütlesiz ve esnek olmayan ip, hava sürtünmesinin ihmali vs. gibi. Fakat bu denklemi el ile analitik olarak çözmek çok zor, çünkü 2. terimdeki sinüs yüzünden bu denklem doğrusal olmayan (non-linear) bir diferansiyel denklemdir. Doğrusal olmayan diferansiyel denklemler doğadaki birçok olayı açıklamada kullanılır fakat çözümleri çok zordur hatta çoğunun genel bir analitik çözümü yoktur (bkz: kaos teorisi), ve genellikle bilgisayarlar ile sayısal yöntemler ile analiz edilirler. Bu sebeplerden dolayı, modellenen fenomen hakkında kabaca bir fikir sahibi olmak için denklemler doğrusallaştırılarak (linearization) basite indirgenir. Tabi, bazen sadece ayrıntıları göz ardı edip basit bir model işimize yaradığı için direkt olarak lineer denklemler de kullanılabilir (dalga denklemi gibi).

Yukarıda verdiğim denklemi doğrusallaştırmak için sinüs teriminin değiştirilmesi gerekiyor. Küçük açılar için şu yaklaşımın doğru olduğunu biliyoruz:

Bu yaklaşımın bir çok farklı yoldan açıklaması yapılabilir. Sinüs fonksiyonunun 0 etrafında yapılan Taylor serisi açılımında, 2 veya daha üstü dereceli terimleri ihmal ederek olduğu gösterilebilir. ( Veya eğer matematik derslerinizde limit konusunu işlediyseniz, hatırlarsınız ki )

Fakat bence bu (yaklaşık) eşitliği direkt olarak test etmek şu an için daha pratik bir yaklaşım olacaktır. eğrisi ile doğrusunun grafiklerini inceleyelim. Görüleceği gibi civarındaki değerler için iki eğri çoğunlukla çakışmaktadır. Hatta için tam olarak eşitlik sağlanmaktadır. Her iki yönde de ilerlenildiğinde eğrisinin eğrisinden giderek daha çok saptığı görülebilir. Yani küçük değerleri için eşitliği yaklaşık olarak doğrudur ve bu yaklaşık eşitliğe küçük-açı yaklaşımı denir.

Diferensiyel denklemdeki terimi ile değiştirilir ve denklemine indirgenir. Bu diferensiyel denklem doğrusaldır (linear) ve analitik olarak kolaylıkla çözümü ifade edilir. Çözümle edilen hareket denklemi basit harmonik harekettir. Denklemin çözümü için Vikipedi'deki bu yazıya bakabilirsiniz.

Yeni elde ettiğimiz diferensiyel denklem bu yüzden küçük açılı salınımlar için büyük derecede doğru iken daha büyük salınım genliklerinde denklem tam olarak gerçek hareketi ifade edemez, gerçekten sapar. Çünkü gerçek sarkaç hareketi doğrusal değildir.

Son olarak Twitter'da Dillon Berger tarafından yapılan bu animasyon gerçek basit sarkaç ile küçük-açı yaklaşımının arasındaki fark çok güzel bir şekilde görülebilir. Animasyonda gerçek sarkaç hareketi mavi olarak gösterilmiş, kırmızı sarkaç ise küçük-açı yaklaşımı ile denklemin çözülmesi sonucu ile elde edilen hareketi gösterilmiştir. Farklı başlangıç açılarında hareket gösterilmiş. Görelebileceği üzere başlangıç açısı arttıkça, 2 sarkaç arasındaki hareket farkı artmaktadır. Çünkü dediğimiz gibi küçük-açı yaklaşımı giderek gerçekten daha çok sapmaktadır.