Yeni Soru Sor
Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat
Sorulara Dön
Anonim
Anonim Üye
4

Basit ve fiziksel sarkaç formülleri niçin küçük genlikli salınımlar için doğrudur?

6,573 görüntülenme
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
  • Dış Sitelerde Paylaş
  • Soruyu Takip Et
  • Raporla
  • Mantık Hatası Bildir
Tüm Reklamları Kapat
1 Cevap
Doğu Can Şahin
Araştırma Görevlisi, Makina Mühendisliği

Kısa cevap: Çünkü basit sarkacı matematiksel olarak modellemek için küçük-açı yaklaşımını kullanıyoruz, bu yüzden küçük açılı salınımlar için doğru sonuç veriyor.

Uzun cevap:

Yerçekimi altında salınım yapan bir sarkacın hareket denklemini aşağıdaki diferansiyel denklem ile ifade edebiliriz:

Tüm Reklamları Kapat

Basit sarkaç şematiği
Basit sarkaç şematiği

sarkacın dikey ile yaptığı açı, yerçekimi ivmesi, sarkacın uzunluğu.

Bu denklemin çözümü basit sarkacın hareketini çok gerçekçi olarak verir. Tabi bazı varsayımlar halen mevcut: kütlesiz ve esnek olmayan ip, hava sürtünmesinin ihmali vs. gibi. Fakat bu denklemi el ile analitik olarak çözmek çok zor, çünkü 2. terimdeki sinüs yüzünden bu denklem doğrusal olmayan (non-linear) bir diferansiyel denklemdir. Doğrusal olmayan diferansiyel denklemler doğadaki birçok olayı açıklamada kullanılır fakat çözümleri çok zordur hatta çoğunun genel bir analitik çözümü yoktur (bkz: kaos teorisi), ve genellikle bilgisayarlar ile sayısal yöntemler ile analiz edilirler. Bu sebeplerden dolayı, modellenen fenomen hakkında kabaca bir fikir sahibi olmak için denklemler doğrusallaştırılarak (linearization) basite indirgenir. Tabi, bazen sadece ayrıntıları göz ardı edip basit bir model işimize yaradığı için direkt olarak lineer denklemler de kullanılabilir (dalga denklemi gibi).

Yukarıda verdiğim denklemi doğrusallaştırmak için sinüs teriminin değiştirilmesi gerekiyor. Küçük açılar için şu yaklaşımın doğru olduğunu biliyoruz:

Tüm Reklamları Kapat

Bu yaklaşımın bir çok farklı yoldan açıklaması yapılabilir. Sinüs fonksiyonunun 0 etrafında yapılan Taylor serisi açılımında, 2 veya daha üstü dereceli terimleri ihmal ederek olduğu gösterilebilir. ( Veya eğer matematik derslerinizde limit konusunu işlediyseniz, hatırlarsınız ki )

Fakat bence bu (yaklaşık) eşitliği direkt olarak test etmek şu an için daha pratik bir yaklaşım olacaktır. eğrisi ile doğrusunun grafiklerini inceleyelim. Görüleceği gibi civarındaki değerler için iki eğri çoğunlukla çakışmaktadır. Hatta için tam olarak eşitlik sağlanmaktadır. Her iki yönde de ilerlenildiğinde eğrisinin eğrisinden giderek daha çok saptığı görülebilir. Yani küçük değerleri için eşitliği yaklaşık olarak doğrudur ve bu yaklaşık eşitliğe küçük-açı yaklaşımı denir.

Sinüs için küçük açı yaklaşımının doğruluğu
Sinüs için küçük açı yaklaşımının doğruluğu

Diferensiyel denklemdeki terimi ile değiştirilir ve denklemine indirgenir. Bu diferensiyel denklem doğrusaldır (linear) ve analitik olarak kolaylıkla çözümü ifade edilir. Çözümle edilen hareket denklemi basit harmonik harekettir. Denklemin çözümü için Vikipedi'deki bu yazıya bakabilirsiniz.

Yeni elde ettiğimiz diferensiyel denklem bu yüzden küçük açılı salınımlar için büyük derecede doğru iken daha büyük salınım genliklerinde denklem tam olarak gerçek hareketi ifade edemez, gerçekten sapar. Çünkü gerçek sarkaç hareketi doğrusal değildir.

Son olarak Twitter'da Dillon Berger tarafından yapılan bu animasyon gerçek basit sarkaç ile küçük-açı yaklaşımının arasındaki fark çok güzel bir şekilde görülebilir. Animasyonda gerçek sarkaç hareketi mavi olarak gösterilmiş, kırmızı sarkaç ise küçük-açı yaklaşımı ile denklemin çözülmesi sonucu ile elde edilen hareketi gösterilmiştir. Farklı başlangıç açılarında hareket gösterilmiş. Görelebileceği üzere başlangıç açısı arttıkça, 2 sarkaç arasındaki hareket farkı artmaktadır. Çünkü dediğimiz gibi küçük-açı yaklaşımı giderek gerçekten daha çok sapmaktadır.

1,907 görüntülenme

Kaynaklar

  1. Wikipedia. Pendulum. (9 Haziran 2021). Alındığı Tarih: 9 Haziran 2021. Alındığı Yer: Wikipedia | Arşiv Bağlantısı
  2. Daniel Russel. The Simple Pendulum. (9 Haziran 2021). Alındığı Tarih: 9 Haziran 2021. Alındığı Yer: Acoustics and Vibration Animations | Arşiv Bağlantısı
  3. Wikipedia. Small-Angle Approximation. (9 Haziran 2021). Alındığı Tarih: 9 Haziran 2021. Alındığı Yer: Wikipedia | Arşiv Bağlantısı
Bu cevap, soru sahibi tarafından en iyi cevap seçilmiştir. Ancak bu, cevabın doğru olduğunu garanti etmez.
4
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
  • Dış Sitelerde Paylaş
  • Raporla
  • Mantık Hatası Bildir
Daha Fazla Cevap Göster
Cevap Ver
Evrim Ağacı Soru & Cevap Platformu, Türkiye'deki bilimseverler tarafından kolektif ve öz denetime dayalı bir şekilde sürdürülen, özgür bir ortamdır. Evrim Ağacı tarafından yayınlanan makalelerin aksine, bu platforma girilen soru ve cevapların içeriği veya gerçek/doğru olup olmadıkları Evrim Ağacı yönetimi tarafından denetlenmemektedir. Evrim Ağacı, bu platformda yayınlanan cevapları herhangi bir şekilde desteklememekte veya doğruluğunu garanti etmemektedir. Doğru olmadığını düşündüğünüz cevapları, size sunulan denetim araçlarıyla işaretleyebilir, daha doğru olan cevapları kaynaklarıyla girebilir ve oylama araçlarıyla platformun daha güvenilir bir ortama evrimleşmesine katkı sağlayabilirsiniz.
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Gündem
Bugün Türkiye'de bilime ve bilim okuryazarlığına neler katacaksın?
Bağlantı
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Bu platformda cevap veya yorum sistemi bulunmamaktadır. Dolayısıyla aklınızdan geçenlerin, tespit edilebilir kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Ekle
Soru Sor
ve seni takip ediyor

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close