Sorulara Dön
0
Fizik & Kuantum

Basit ve fiziksel sarkaç formülleri niçin küçük genlikli salınımlar için doğrudur?

1
153 görüntülenme
Teşekkür (1)
Hatırla
Takip
Paylaş
Reklamı Kapat
1 Cevap

Kısa cevap: Çünkü basit sarkacı matematiksel olarak modellemek için küçük-açı yaklaşımını kullanıyoruz, bu yüzden küçük açılı salınımlar için doğru sonuç veriyor.

Uzun cevap:

Yerçekimi altında salınım yapan bir sarkacın hareket denklemini aşağıdaki diferansiyel denklem ile ifade edebiliriz:

Basit sarkaç şematiği
Basit sarkaç şematiği

sarkacın dikey ile yaptığı açı, yerçekimi ivmesi, sarkacın uzunluğu.

Bu denklemin çözümü basit sarkacın hareketini çok gerçekçi olarak verir. Tabi bazı varsayımlar halen mevcut: kütlesiz ve esnek olmayan ip, hava sürtünmesinin ihmali vs. gibi. Fakat bu denklemi el ile analitik olarak çözmek çok zor, çünkü 2. terimdeki sinüs yüzünden bu denklem doğrusal olmayan (non-linear) bir diferansiyel denklemdir. Doğrusal olmayan diferansiyel denklemler doğadaki birçok olayı açıklamada kullanılır fakat çözümleri çok zordur hatta çoğunun genel bir analitik çözümü yoktur (bkz: kaos teorisi), ve genellikle bilgisayarlar ile sayısal yöntemler ile analiz edilirler. Bu sebeplerden dolayı, modellenen fenomen hakkında kabaca bir fikir sahibi olmak için denklemler doğrusallaştırılarak (linearization) basite indirgenir. Tabi, bazen sadece ayrıntıları göz ardı edip basit bir model işimize yaradığı için direkt olarak lineer denklemler de kullanılabilir (dalga denklemi gibi).

Yukarıda verdiğim denklemi doğrusallaştırmak için sinüs teriminin değiştirilmesi gerekiyor. Küçük açılar için şu yaklaşımın doğru olduğunu biliyoruz:

Bu yaklaşımın bir çok farklı yoldan açıklaması yapılabilir. Sinüs fonksiyonunun 0 etrafında yapılan Taylor serisi açılımında, 2 veya daha üstü dereceli terimleri ihmal ederek olduğu gösterilebilir. ( Veya eğer matematik derslerinizde limit konusunu işlediyseniz, hatırlarsınız ki )

Fakat bence bu (yaklaşık) eşitliği direkt olarak test etmek şu an için daha pratik bir yaklaşım olacaktır. eğrisi ile doğrusunun grafiklerini inceleyelim. Görüleceği gibi civarındaki değerler için iki eğri çoğunlukla çakışmaktadır. Hatta için tam olarak eşitlik sağlanmaktadır. Her iki yönde de ilerlenildiğinde eğrisinin eğrisinden giderek daha çok saptığı görülebilir. Yani küçük değerleri için eşitliği yaklaşık olarak doğrudur ve bu yaklaşık eşitliğe küçük-açı yaklaşımı denir.

Sinüs için küçük açı yaklaşımının doğruluğu
Sinüs için küçük açı yaklaşımının doğruluğu

Diferensiyel denklemdeki terimi ile değiştirilir ve denklemine indirgenir. Bu diferensiyel denklem doğrusaldır (linear) ve analitik olarak kolaylıkla çözümü ifade edilir. Çözümle edilen hareket denklemi basit harmonik harekettir. Denklemin çözümü için Vikipedi'deki bu yazıya bakabilirsiniz.

Yeni elde ettiğimiz diferensiyel denklem bu yüzden küçük açılı salınımlar için büyük derecede doğru iken daha büyük salınım genliklerinde denklem tam olarak gerçek hareketi ifade edemez, gerçekten sapar. Çünkü gerçek sarkaç hareketi doğrusal değildir.

Son olarak Twitter'da Dillon Berger tarafından yapılan bu animasyon gerçek basit sarkaç ile küçük-açı yaklaşımının arasındaki fark çok güzel bir şekilde görülebilir. Animasyonda gerçek sarkaç hareketi mavi olarak gösterilmiş, kırmızı sarkaç ise küçük-açı yaklaşımı ile denklemin çözülmesi sonucu ile elde edilen hareketi gösterilmiştir. Farklı başlangıç açılarında hareket gösterilmiş. Görelebileceği üzere başlangıç açısı arttıkça, 2 sarkaç arasındaki hareket farkı artmaktadır. Çünkü dediğimiz gibi küçük-açı yaklaşımı giderek gerçekten daha çok sapmaktadır.

216 görüntülenme
Kabul Edilen Cevap
2
Teşekkür (1)
Paylaş
2
Bu cevap, soruyu soran kullanıcı tarafından kabul edilen cevap seçilmiştir ve bu nedenle önde gösterilmektedir. Bir cevabın soruyu soran tarafından kabul edilmiş olması, cevabın doğru olduğunu garanti etmez.

Kaynaklar

Cevap Ver
Evrim Ağacı Soru & Cevap Platformu, Türkiye'deki bilimseverler tarafından kolektif ve öz denetime dayalı bir şekilde sürdürülen, özgür bir ortamdır. Evrim Ağacı tarafından yayınlanan makalelerin aksine, bu platforma girilen soru ve cevapların içeriği veya gerçek/doğru olup olmadıkları Evrim Ağacı yönetimi tarafından denetlenmemektedir. Evrim Ağacı, bu platformda yayınlanan cevapları herhangi bir şekilde desteklememekte veya doğruluğunu garanti etmemektedir. Doğru olmadığını düşündüğünüz cevapları, size sunulan denetim araçlarıyla işaretleyebilir, daha doğru olan cevapları kaynaklarıyla girebilir ve oylama araçlarıyla platformun daha güvenilir bir ortama evrimleşmesine katkı sağlayabilirsiniz.
Sorulara Dön

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
Geri Bildirim Gönder
Reklamsız Deneyim

Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, Evrim Ağacı'nda çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.

Kreosus

Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.

Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.

Patreon

Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.

Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.

YouTube

YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.

Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.

Diğer Platformlar

Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.

Giriş yapmayı unutmayın!

Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.

Destek Ol
Sizi Takip Ediyor

Devamını Oku
Evrim Ağacı Uygulamasını
İndir
Chromium Tabanlı Mobil Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
İlk birkaç girişinizde zaten tarayıcınız size uygulamamızı indirmeyi önerecek. Önerideki tuşa tıklayarak uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu öneriyi, yukarıdaki videoda görebilirsiniz. Eğer bu öneri artık gözükmüyorsa, Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Chromium Tabanlı Masaüstü Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
Yeni uygulamamızı kurmak için tarayıcı çubuğundaki kurulum tuşuna tıklayın. "Yükle" (Install) tuşuna basarak kurulumu tamamlayın. Dilerseniz, Evrim Ağacı İleri Web Uygulaması'nı görev çubuğunuza sabitleyin. Uygulama logosuna sağ tıklayıp, "Görev Çubuğuna Sabitle" seçeneğine tıklayabilirsiniz. Eğer bu seçenek gözükmüyorsa, tarayıcının Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Safari Mobil Uygulama
Sırasıyla Paylaş -> Ana Ekrana Ekle -> Ekle tuşlarına basarak yeni mobil uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu basamakları görmek için yukarıdaki videoyu izleyebilirsiniz.

Daha fazla bilgi almak için tıklayın