ax^2+bx+c ifadesini tam kare yapan x tamsayıları nelerdir tarzı soruların kolay çözümü var mıdır?

Bu tarz sorularda genellikle en kolay kabul edilen yol tamkare yapma yöntemidir. Verdiğiniz örnek üzerinden anlatmak gerekirse,

x²-90x+34=x²-90x+45²-45²+34=(x-45)²-45²+34=(x-45)²-1991=y² şeklinde bir denklem elde edilir.

Buradaki tamkareleri tek tarafta toplayıp iki kare farkı yapılır (u²-v²=(u+v)(u-v) formülünden bahsediyorum.) ve çarpanlarına ayrılır:

(x-45)²-y²=(x-45-y)(x-45+y)=1991=11*181 olur ve 1991'i çarpanlarını dağıtarak olası x ile y'leri buluruz.

Bu yöntemi genelleştirebiliriz tabii ama mantığını anlamayıp formül gibi ele alınırsa çok yardımı olmaz ve hata yapma olasılığınız artar ama yine de birkaç püf noktasından ve özel durumdan bahsedilebilir:

ax²+bx+c=y² denklemi için a pozitif ise

1) Eğer a bir tamkare ise (b/2a)² ekleyip çıkartmak gerekecek eğer tamsayı olmayan değerler ortaya çıktıysa her tarafı o rasyonel sayının paydası ile çarpıp işleme devam edebilirsin ki bu payda tamkare olacağından iki tamkare farkı uygulamana engel olmayacaktır. (Senin verdiğin örnekte a=1, b=90 olduğundan 45² ekleyip çıkardım.)

Not: Kafan karışıyorsa ana denkleme ekleme çıkartma yapmadan önce 4a² ile çarpıp sonrasında b² ekleyip çıkartabilirsin. Örneğin, x²-3x+11=y² için a=1, b=-3'dür,

x²-3x+11=y² => 4x²-12x+44=4y² => 4x²-12x+9-9+44=(2x-3)²+35=4y² => (2y+2x-3)(2y-2x+3)=35 olur ve bunu da 35'nin çarpanlarına ayırarak çözebiliriz.

2) Eğer a tamkare değilse denklem yukarıdaki tamkare yapma yöntemiyle düzenlenmeye çalışıldığında Pell denklemleri olarak adlandırılan bir denkleme dönüşür ve bu denklemlerin ya hiç kökü yoktur (kökü olmadığı genellikle modüler aritmetik ile ispatlanır) ya da sonsuz kökü vardır (bu sonsuz kökleri iki indirgemeli dizinin birleşimi olarak gösterebiliyoruz). Yani eğer lise seviyesinde bir öğrenciysen bu durum biraz ekstrem kalabilir.

Eğer a negatif ise eksi parantezine alıp tamkare yaparak iki tamkare farkı yerine iki tamkare toplamı elde edersin. Bu durumda sayı çok büyük değilse deneme ile denklem çözülebilir (u²+v²=50 gibi denklemler deneyerek çözülebilir) fakat iki tamkarenin toplamı denkleminin çözüm sayısını veren bir formül de vardır. Bu formül çok büyük sayılarda kullanılabilir fakat meraklı değilsen kafanı karıştırma ihtimali de yüksektir. Ben yine de merak edenler olabilir diye tamkare toplamı formülünü anlattığım pdf dosyasını ekleyeceğim. Bu anlattığım tamkare yöntemi dışında denklemi çarpanlarına ayırarak yorumlamak gibi birkaç yöntem daha vardır ama gereksiz kafa karışıklığı olacağından ve her denklemde işe yaramadığından bahsetmedim. Umarım anlattıklarım yardımcı olmuştur.