Evrim Ağacı Soru & Cevap
Reklamı Kapat
Puan Ver
1
Puan Ver

Ax^2+bx+c ifadesini tam kare yapan x tamsayıları nelerdir tarzı soruların kolay çözümü var mıdır?

Örneğin x^2-90x+34 ifadesini tam kare yapan x tamsayıları

1
Teşekkür (1)
Hatırla (1)
Takip
Paylaş
Reklamı Kapat
1 Cevap

Bu tarz sorularda genellikle en kolay kabul edilen yol tamkare yapma yöntemidir. Verdiğiniz örnek üzerinden anlatmak gerekirse,

x2-90x+34=x2-90x+452-452+34=(x-45)2-452+34=(x-45)2-1991=y2 şeklinde bir denklem elde edilir.

Buradaki tamkareleri tek tarafta toplayıp iki kare farkı yapılır (u2-v2=(u+v)(u-v) formülünden bahsediyorum.) ve çarpanlarına ayrılır:

(x-45)2-y2=(x-45-y)(x-45+y)=1991=11*181 olur ve 1991'i çarpanlarını dağıtarak olası x ile y'leri buluruz.

Bu yöntemi genelleştirebiliriz tabii ama mantığını anlamayıp formül gibi ele alınırsa çok yardımı olmaz ve hata yapma olasılığınız artar ama yine de birkaç püf noktasından ve özel durumdan bahsedilebilir:

ax2+bx+c=y2 denklemi için a pozitif ise

1) Eğer a bir tamkare ise (b/2a)2 ekleyip çıkartmak gerekecek eğer tamsayı olmayan değerler ortaya çıktıysa her tarafı o rasyonel sayının paydası ile çarpıp işleme devam edebilirsin ki bu payda tamkare olacağından iki tamkare farkı uygulamana engel olmayacaktır. (Senin verdiğin örnekte a=1, b=90 olduğundan 452 ekleyip çıkardım.)

Not: Kafan karışıyorsa ana denkleme ekleme çıkartma yapmadan önce 4a2 ile çarpıp sonrasında b2 ekleyip çıkartabilirsin. Örneğin, x2-3x+11=y2 için a=1, b=-3'dür,

x2-3x+11=y2 => 4x2-12x+44=4y2 => 4x2-12x+9-9+44=(2x-3)2+35=4y2 => (2y+2x-3)(2y-2x+3)=35 olur ve bunu da 35'nin çarpanlarına ayırarak çözebiliriz.

2) Eğer a tamkare değilse denklem yukarıdaki tamkare yapma yöntemiyle düzenlenmeye çalışıldığında Pell denklemleri olarak adlandırılan bir denkleme dönüşür ve bu denklemlerin ya hiç kökü yoktur (kökü olmadığı genellikle modüler aritmetik ile ispatlanır) ya da sonsuz kökü vardır (bu sonsuz kökleri iki indirgemeli dizinin birleşimi olarak gösterebiliyoruz). Yani eğer lise seviyesinde bir öğrenciysen bu durum biraz ekstrem kalabilir.

Eğer a negatif ise eksi parantezine alıp tamkare yaparak iki tamkare farkı yerine iki tamkare toplamı elde edersin. Bu durumda sayı çok büyük değilse deneme ile denklem çözülebilir (u2+v2=50 gibi denklemler deneyerek çözülebilir) fakat iki tamkarenin toplamı denkleminin çözüm sayısını veren bir formül de vardır. Bu formül çok büyük sayılarda kullanılabilir fakat meraklı değilsen kafanı karıştırma ihtimali de yüksektir. Ben yine de merak edenler olabilir diye tamkare toplamı formülünü anlattığım pdf dosyasını ekleyeceğim. Bu anlattığım tamkare yöntemi dışında denklemi çarpanlarına ayırarak yorumlamak gibi birkaç yöntem daha vardır ama gereksiz kafa karışıklığı olacağından ve her denklemde işe yaramadığından bahsetmedim. Umarım anlattıklarım yardımcı olmuştur.

Puan Ver
1
Puan Ver
Teşekkür (1)
Paylaş
1

Kaynaklar

  1. İki Tamkare Toplamı Formülü
  2. Pell Denklemi
  3. Tamkareye Tamamlama Basitçe nasıl tamkare oluşturulabileceği anlatılıyor.
Cevap Ver
Bu soruya cevap vermek için lütfen
Evrim Ağacı Soru & Cevap Platformu, Türkiye'deki bilimseverler tarafından kolektif ve öz denetime dayalı bir şekilde sürdürülen, özgür bir ortamdır. Evrim Ağacı tarafından yayınlanan makalelerin aksine, bu platforma girilen soru ve cevapların içeriği veya gerçek/doğru olup olmadıkları Evrim Ağacı yönetimi tarafından denetlenmemektedir. Evrim Ağacı, bu platformda yayınlanan cevapları herhangi bir şekilde desteklememekte veya doğruluğunu garanti etmemektedir. Doğru olmadığını düşündüğünüz cevapları, size sunulan denetim araçlarıyla işaretleyebilir, daha doğru olan cevapları kaynaklarıyla girebilir ve oylama araçlarıyla platformun daha güvenilir bir ortama evrimleşmesine katkı sağlayabilirsiniz.
Reklamı Kapat
Reklamsız Deneyim

Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, Evrim Ağacı'nda çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.

Kreosus

Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.

Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.

Patreon

Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.

Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.

YouTube

YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.

Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.

Diğer Platformlar

Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.

Giriş yapmayı unutmayın!

Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.

Destek Ol
Türkiye'deki bilimseverlerin buluşma noktasına hoşgeldiniz!

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
“Sürdürülebilir değişimler yaratmanın tek yolu ödün vermektir. Değer verdiğiniz şeyleri unutmadığınız sürece ödün vermekte hiçbir sakınca yoktur.”
Jane Goodall