Ackermann fonksiyonunu tam anlamıyla nasıl kavrarız?

Öncelikle Ackermann fonksiyonununTemel hali şöyle tanımlanır:

A(m, n) = n + 1, eğer m = 0 ise

A(m, n) = A(m-1, 1), eğer m > 0 ve n = 0 ise

A(m, n) = A(m-1, A(m, n-1)), eğer m > 0 ve n > 0 ise

Burada dikkat edilmesi gereken, fonksiyonun her bir adımda kendi kendini tekrar çağırarak çok karmaşık bir hesaplama zinciri oluşturmasıdır. Özellikle ve büyüdükçe, bu zincirin uzunluğu ve karmaşıklığı adeta patlar.

Söylediğiniz Modifiye Ackermann:

Eğer Ackermann'ı A(x, x, x, ...) gibi modifiye edersek, yani birden fazla aynı değeri argüman olarak verirsek:

Bu durumda her bir eklenen "x", fonksiyonun karmaşıklığını daha da artırır.

Örneğin, A(4, 4) zaten muazzam bir sayıya ulaşır. A(4, 4, 4) ile birlikte büyüme çok daha hızlı bir seviyeye çıkar.

Graham sayısını (G64) aşmak için çok büyük bir değere gerek yoktur. A(5, 5) veya A(4, 4, 4) gibi bir ifade büyük olasılıkla Graham sayısını geçer.

Üstel Ackermann: A^A(n)

Üstel Ackermann, Ackermann fonksiyonunun kendisini birden fazla kez uygulamasıyla tanımlanabilir. Örneğin:

A^A(2) = A(A(2))

A^A^A(3) ise, Ackermann fonksiyonunun bu işlemini üçüncü kez tekrarlamak anlamına gelir.

Bu, üstel büyümenin ötesinde, tetrasyona benzeyen bir yapı oluşturur. Ancak tetrasyon ile Ackermann arasında önemli bir fark var: Ackermann daha karmaşıktır ve büyümesi tetrasyonu bile aşar.

Küçük Sayılarla Ackermann: A(2, 2, 2) ve A(3, 3, 3)

Ackermann fonksiyonunu küçük sayılarla denediğimizde bile nasıl hızla büyüdüğünü görebiliriz:

A(2, 2) = A(1, A(1, 1)) = A(1, 3) = 5

A(2, 2, 2) = A(2, A(2, 2)) = A(2, 5) = 13

A(3, 3) = A(2, A(3, 2)) = A(2, A(2, A(3, 1)))

Bu şekilde devam ettiğimizde, fonksiyon hızla kontrol edilemez büyüklüklere ulaşır.

Ackermann’ın Tetrasyon ve Ötesi ile İlişkisi

Ackermann fonksiyonu, tetrasyondan da hızlı büyüyen bir sınıfa aittir. Tetrasyon, üstel büyümenin üzerine bir katman daha ekler. Ancak Ackermann fonksiyonu, hiper-tetrasyon veya bu büyümenin bir adım daha ötesi olarak düşünülebilir.^[1]