1 rakamı 2'ye 3'e ve hatta sonsuza eşit olamaz mı?

Günümüzde Reel Sayı Sistemi 16 tane aksiyom ile tanımlanır. Ve bu aksiyomlardan biri 0 <1. Ayrıca Reel Sayı sistemini Rasyonel Sayı sisteminden ayıran "Sup" aksiyomu dolayısıyla sonsuz bir reel sayı değildir. (Yani Rasyonel Sayı sistemi de diğer 15 aksiyomu sağlar) Sup aksiyomu der ki: "Alttan sınırlı her kümenin en büyük alt sınırı vardır." veya "Üstten sınırlı her kümenin en küçük üst sınırı vardır." 2 1+1' in tanımdır. 16 aksiyomdan bir aksiyom der ki x<y <-> x+n<y+n 1<2 Çünkü 0<1 <-> 1<1+1 <--> 1<2

Yukarıda anlatılandan anladığın gibi gerçek dünyada olanı zihnimize yansıtır sonra zihnimizdeki bu sistemden mantık yürüterek çıkarımlar yaparız. 0/0 meselesi gibi sorunlar bizim zihnimizdeki sorunlardır. Reel Sayıların bir aksiyomu der ki her x için 0*x=x*0=0. Ayrıca bir aksiyom da der ki ax<ay ve a >0 ise x<y veya ax=ay ise ve a eşit değil 0 ise x=y. Şimdi a,y,x üçlüsü ay<ax olsun ay<ax --> y<x ama diyelim ki a = 0 o halde 0<0. Ama bu x< değildir x aksiyomu ile çelişir. O yüzden a'yı sıfır alamayız. Veya 0*0 = 1*0 --> 0 = 1 de olur ama bu da 0<1 aksiyomu ile çelişir. Bu yüzden sıfıra bölmek tanımsızdır. Ama sen istersen 0/0'ı 2 olarak tanımlayabilirirsin aksiyomlarda gerekli düzeltmeleri sağlayarak. Başka alanlarda belki 0/0'ı tanımlamak işine yarayabilir ama analiz gibi dallarda sorun çıkarır.

Kendin başka bir amaç için başka bir sistem de icat edebilirsin. Mesela x>0 ve x^2 = 0 gibi sonsuz küçük sayılar yapmayı deneyebilirsin. Reel Sayılara benzeyen bir sistem de sonsuz küçük ve sonsuz büyüklerin de sayı sistemine dahil olduğu Nonstandart analiz için kullanılan Hyperreal Numbers sistemi 1960'larda Abraham Robinson tarafından geliştirildi. Bu sistem Reel Sayılara çok benziyor.

Not: Reel Sayı sistemini < kullanarak da tanımlayabilirsin <='de ama bunlar özdeştir.