Paralel Eksen Teoremi Nedir? Nasıl Uygulanmaktadır?

- Özgün
- Klasik Fizik
- Klasik Mekanik
Paralel Eksen Teoremi, diğer bir adıyla Huygens-Steiner Teoremi, klasik mekaniğin temel kavramlarından biri olup katı bir cismin herhangi bir eksen etrafındaki eylemsizlik momentini hesaplamak için kullanılmaktadır. Yani bu teorem, cisimlerin dönüş dinamiklerini analiz etmeyi sağlamaktadır.
Bir cismin 𝑧 ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti şu şekilde tanımlanmaktadır:
I=∑imi[(xi−d)2+yi2]I = \sum_{i} m_{i} \left[ (x_{i} - d)^2 + y_{i}^2 \right]
İfadeyi açtığımızda karşımıza şu çıkar:
I=∑imi(xi2+yi2−2dxi+d2)I = \sum_{i} m_{i} \left( x_{i}^2 + y_{i}^2 - 2dx_{i} + d^2 \right)
Burada IcmI_{\text{cm}}, cismin kütle merkezinden geçen eksen etrafındaki eylemsizlik momentidir:
Icm=∑imi(xi2+yi2)I_{\text{cm}} = \sum_{i} m_{i} \left( x_{i}^2 + y_{i}^2 \right)
Sonuç olarak teorem, şu şekilde ifade edilmektedir:
I=Icm+md2I = I_{\text{cm}} + m d^2
Teorem, cismin kütle merkezinden geçen eksen etrafındaki eylemsizlik momenti (IcmI_{\text{cm}}) ile paralel eksenler arasındaki dik mesafe (dd) ve cismin kütlesi (mm) üzerinden hesaplanmaktadır. Türetme, bir kartezyen koordinat sisteminde eksenler arasındaki dik mesafenin 𝑥 ekseni boyunca olduğunu ve kütle merkezinin orijinde bulunduğu kabul edilerek yapılabilmektedir. Bu durumda, z′z' ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti, orijin etrafındaki eylemsizlik momenti ve paralel eksenler arasındaki mesafenin karesinden gelmektedir.[1]

Kartezyen koordinat sisteminde eksenler arasındaki dik mesafenin 𝑥 ekseni boyunca uzandığını ve kütle merkezinin orijinde bulunduğu varsayıldığında 𝑧 eksenine göre eylemsizlik momenti şu şekilde ifade edilmektedir:
Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, sitemizin/uygulamamızın çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, %100 reklamsız ve çok daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.
KreosusKreosus'ta her 50₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.
Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.
PatreonPatreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.
Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.
YouTubeYouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.
Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.
Diğer PlatformlarBu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.
Giriş yapmayı unutmayın!Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.
Icm=∫(x2+y2) dmI_{\text{cm}} = \int (x^2 + y^2) \, dm
Cismin 𝑥 ekseni boyunca kütle merkezinden 𝑑 uzaklıkta bulunan 𝑧′eksenine göre eylemsizlik momenti ise şu şekilde karşımıza çıkmaktadır:
I=∫[(x−d)2+y2] dmI = \int \left[ (x - d)^2 + y^2 \right] \, dm
I=∫(x2+y2−2dx+d2) dmI = \int \left( x^2 + y^2 - 2dx + d^2 \right) \, dm
I=∫(x2+y2)dm+d2∫dm−2d∫xdmI=∫(x
2
+y
2
)dm+d
2
∫dm−2d∫xdm
Burada ilk terim IcmI_{\text{cm}}'dir, ikinci terimse MD2MD^2olmaktadır. Son terimdeki integral, kütle merkezinin 𝑥 koordinatının bir katıdır ve kütle merkezi orijinde bulunduğu için sıfırdır. Yani denklem şu hale gelmektedir:
I=Icm+MD2I = I_{\text{cm}} + M D^2
Eylemsizlik Tensörüne Göre Genellemesi
Kütle merkezi etrafındaki atalet tensörü (𝐼𝑖𝑗), yer değiştirme vektörü (RR) kullanılarak şu şekilde genelleştirilmektedir:
Jij=Iij+m(∣R∣2δij−RiRj)J_{ij} = I_{ij} + m \left( \lvert R \rvert^2 \delta_{ij} - R_i R_j \right)
Bu formül, herhangi bir noktaya göre hesaplanan eylemsizlik tensörünü vermektedir. Ayrıca eksenler arasındaki yer değiştirme dikkate alınarak hesaplamalar yapılmaktadır. Paralel eksen teoreminin genelleştirilmiş versiyonu koordinatsız gösterim biçiminde ifade edilebilmektedir:
J=I+m[(R⋅R)E3−R⊗R]J = I + m \left[ (R \cdot R) E_3 - R \otimes R \right]
Alan Eylemsizlik Momenti
Düzlemsel bir bölgenin alan eylemsizlik momentinin hesaplanmasında da paralel eksenler kuralı kullanılmaktadır. Düzlem bölgesi DD'ye göre, yeni eksene göre alan eylemsizlik momenti (IzI_{z}), kütle merkezine göre alan eylemsizlik momenti (IxI_{x}) ve bölgenin alanı (AA) şu şekilde ifade edilmektedir:
Iz=Ix+Ar2I_{z} = I_{x} + A r^2

Bir kürenin kütle merkezi etrafındaki eylemsizlik momenti Icm=52MR2I_{\text{cm}} = \frac{5}{2} M R^2 şeklinde verilmiş. Bu kürenin, kütle merkezine paralel ve kürenin yüzeyine teğet bir eksen etrafındaki eylemsizlik momentini (𝐼) hesaplanması şu şekilde olmaktadır:
I=52MR2+MR2I = \frac{5}{2} M R^2 + M R^2
I=52MR2+55MR2=57MR2I = \frac{5}{2} M R^2 + \frac{5}{5} M R^2 = \frac{5}{7} M R^2
Sonuç olarak kürenin yüzeyine teğet olan eksen etrafındaki eylemsizlik momenti:
I=57MR2I = \frac{5}{7} M R^2
Düzlemsel Bir Dinamik İçin Kutupsal Eylemsizlik Momentinin Teorik Olarak Hesaplanması
Katı cismin kütle merkezi R=(x,y)R = (x, y) şeklindedir. RR'den geçen eksen etrafındaki kutupsal eylemsizlik momenti IRI_{R} ile tanımlanır. Kütle merkezi RR şu şekilde de gösterilebilmektedir:
∫Vρ(r)(r−R) dV=0\int_{V} \rho(\mathbf{r})(\mathbf{r} - \mathbf{R}) \, dV = 0
Bu denklemde 𝑟𝑟, VV üzerinde entegre edilmektedir. Düzlemsel hareket eden bir cismin kutupsal eylemsizlik momenti, herhangi bir referans noktası SS'ye göre hesaplanmaktadır:
IS=∫Vρ(r)(r−S)⋅(r−S) dVI_{S} = \int_{V} \rho(\mathbf{r})(\mathbf{r} - \mathbf{S}) \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{S}) \, dV
Bu ifade detaylı olarak açılırsa karşımıza şu şekilde bir denklem çıkmaktadır:
IS=∫Vρ(r)(r−R)⋅(r−R) dV+2d⋅(∫Vρ(r)(r−R) dV)+(∫Vρ(r) dV)d⋅dI_{S} = \int_{V} \rho(\mathbf{r})(\mathbf{r} - \mathbf{R}) \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{R}) \, dV + 2\mathbf{d} \cdot \left( \int_{V} \rho(\mathbf{r})(\mathbf{r} - \mathbf{R}) \, dV \right) + \left( \int_{V} \rho(\mathbf{r}) \, dV \right) \mathbf{d} \cdot \mathbf{d}
Burada, ilk terim IRI_{R}'dir ve ikinci terim kütle merkezinin tanımı gereği sıfırdır. Son terim ise cismin toplam kütlesi (MM) ile dd vektörünün karesi (𝑑2𝑑^2) çarpımıdır.

Şekilde, katı cismin kütle merkezi CC noktasında olup CC noktasından geçen zz-ekseni (CR) etrafındaki eylemsizlik momenti 𝐼σσolarak verilmiştir. CRCR eksenine dd birim uzaklıktaki ABAB ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti I′I' hesaplanacaktır.
İlk olarak kütle merkezi R R'nin yukarıda belirtilen özelliği kullanılarak başlanmaktadır:
∫Vρ(r)(r−R) dV=0\int_{V} \rho(\mathbf{r})(\mathbf{r} - \mathbf{R}) \, dV = 0
Paralel eksen teoremini kullanarak eylemsizlik momenti hesaplanması:
I′=∑imi(PQ)2I' = \sum_{i} m_{i} (PQ)^2
I′=∑imi((xi−d)2+yi2+(zi−zi)2)I' = \sum_{i} m_{i} \left( (x_{i} - d)^2 + y_{i}^2 + (z_{i} - z_{i})^2 \right)
I′=∑imi(xi2+yi2+d2−2xid)I' = \sum_{i} m_{i} \left( x_{i}^2 + y_{i}^2 + d^2 - 2x_{i}d \right)
I′=∑imi(xi2+yi2)+∑imid2−2d∑imixiI' = \sum_{i} m_{i} \left( x_{i}^2 + y_{i}^2 \right) + \sum_{i} m_{i} d^2 - 2d \sum_{i} m_{i} x_{i}
I′=ICM+∑imid2I' = I_{\text{CM}} + \sum_{i} m_{i} d^2
Yani eylemsizlik momenti genel bir katı cisim için yukarıdaki örnekte verildiği üzere hesaplanmaktadır.[2]
Sonuç
Sonuç olarak Huygens-Steiner Teoremi, katı cisimlerin dinamik analizlerinde temel bir araç olarak öne çıkmaktadır. Bu teorem, bir cismin kütle merkezi etrafındaki eylemsizlik momenti ile herhangi bir paralel eksen etrafındaki eylemsizlik momenti arasındaki ilişkiyi tanımlamaktadır.
Huygens-Steiner Teoremi, mühendislik ve fizik alanlarında geniş bir uygulama yelpazesine sahiptir. Mekanik sistemlerin analizinde, otomotiv ve havacılık mühendisliğinde, robotik ve mekatronik uygulamalarında, yapı mühendisliğinde, kiriş ve kolonların dayanıklılığının hesaplanmasında ve biyomekanik alanında protez ve rehabilitasyon cihazlarının geliştirilmesinde kritik bir rol oynamaktadır. Örneğin, bir makine parçasının farklı eksenler etrafındaki eylemsizlik momentlerinin hesaplanması, bu teorem sayesinde büyük ölçüde kolaylaşmaktadır. Ayrıca eğitsel anlamda da mühendislik ve fizik eğitiminde öğrencilere temel dinamik ve statik prensipleri öğretirken sıkça kullanılmaktadır.
Evrim Ağacı'nda tek bir hedefimiz var: Bilimsel gerçekleri en doğru, tarafsız ve kolay anlaşılır şekilde Türkiye'ye ulaştırmak. Ancak tahmin edebileceğiniz gibi Türkiye'de bilim anlatmak hiç kolay bir iş değil; hele ki bir yandan ekonomik bir hayatta kalma mücadelesi verirken...
O nedenle sizin desteklerinize ihtiyacımız var. Eğer yazılarımızı okuyanların %1'i bize bütçesinin elverdiği kadar destek olmayı seçseydi, bir daha tek bir reklam göstermeden Evrim Ağacı'nın bütün bilim iletişimi faaliyetlerini sürdürebilirdik. Bir düşünün: sadece %1'i...
O %1'i inşa etmemize yardım eder misiniz? Evrim Ağacı Premium üyesi olarak, ekibimizin size ve Türkiye'ye bilimi daha etkili ve profesyonel bir şekilde ulaştırmamızı mümkün kılmış olacaksınız. Ayrıca size olan minnetimizin bir ifadesi olarak, çok sayıda ayrıcalığa erişim sağlayacaksınız.
Makalelerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu makalemizle ilgili merak ettiğin bir şey mi var? Buraya tıklayarak sorabilirsin.
Soru & Cevap Platformuna Git- 2
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- ^ A. R. Abdulghany. (2017). Generalization Of Parallel Axis Theorem For Rotational Inertia. American Journal of Physics, sf: 791-795. doi: 10.1119/1.4994835. | Arşiv Bağlantısı
- ^ Nikil. Parallel And Perpendicular Axis Theorems | Protonstalk. (16 Ocak 2021). Alındığı Tarih: 3 Ağustos 2024. Alındığı Yer: ProtonsTalk | Arşiv Bağlantısı
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 26/04/2025 08:42:28 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/18294
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.