Paralel Eksen Teoremi Nedir? Nasıl Uygulanmaktadır?

Paralel Eksen Teoremi, diğer bir adıyla Huygens-Steiner Teoremi, klasik mekaniğin temel kavramlarından biri olup katı bir cismin herhangi bir eksen etrafındaki eylemsizlik momentini hesaplamak için kullanılmaktadır. Yani bu teorem, cisimlerin dönüş dinamiklerini analiz etmeyi sağlamaktadır.

Bir cismin 𝑧 ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti şu şekilde tanımlanmaktadır:

$I={\sum }_i{m}_i\left[(x_i-d{)}^2+y_i^2\right]$

İfadeyi açtığımızda karşımıza şu çıkar:

$I={\sum }_i{m}_i\left(x_i^2+y_i^2-2d{x}_i+d^2\right)$

Burada $I_{\text{cm}}$, cismin kütle merkezinden geçen eksen etrafındaki eylemsizlik momentidir:

$I_{\text{cm}}={\sum }_i{m}_i\left(x_i^2+y_i^2\right)$

Sonuç olarak teorem, şu şekilde ifade edilmektedir:

$I=I_{\text{cm}}+m{d}^2$

Teorem, cismin kütle merkezinden geçen eksen etrafındaki eylemsizlik momenti ($I_{\text{cm}}$) ile paralel eksenler arasındaki dik mesafe ($d$) ve cismin kütlesi ($m$) üzerinden hesaplanmaktadır. Türetme, bir kartezyen koordinat sisteminde eksenler arasındaki dik mesafenin 𝑥 ekseni boyunca olduğunu ve kütle merkezinin orijinde bulunduğu kabul edilerek yapılabilmektedir. Bu durumda, $z^{\prime }$ ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti, orijin etrafındaki eylemsizlik momenti ve paralel eksenler arasındaki mesafenin karesinden gelmektedir.^[1]

ProtonsTalk

Kartezyen koordinat sisteminde eksenler arasındaki dik mesafenin 𝑥 ekseni boyunca uzandığını ve kütle merkezinin orijinde bulunduğu varsayıldığında 𝑧 eksenine göre eylemsizlik momenti şu şekilde ifade edilmektedir:

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

$I_{\text{cm}}=\int (x^2+y^2)dm$

Cismin 𝑥 ekseni boyunca kütle merkezinden 𝑑 uzaklıkta bulunan 𝑧′eksenine göre eylemsizlik momenti ise şu şekilde karşımıza çıkmaktadır:

$I=\int \left[(x-d{)}^2+y^2\right]dm$

$I=\int \left(x^2+y^2-2dx+d^2\right)dm$

$I=\int (x2+y2)dm+d2\int dm-2d\int xdm$

Burada ilk terim $I_{\text{cm}}$'dir, ikinci terimse $M{D}^2$olmaktadır. Son terimdeki integral, kütle merkezinin 𝑥 koordinatının bir katıdır ve kütle merkezi orijinde bulunduğu için sıfırdır. Yani denklem şu hale gelmektedir:

$I=I_{\text{cm}}+M{D}^2$

Eylemsizlik Tensörüne Göre Genellemesi

Kütle merkezi etrafındaki atalet tensörü (𝐼_𝑖𝑗), yer değiştirme vektörü ($R$) kullanılarak şu şekilde genelleştirilmektedir:

$J_{ij}=I_{ij}+m\left(|R{|}^2{\delta }_{ij}-R_i{R}_j\right)$

Bu formül, herhangi bir noktaya göre hesaplanan eylemsizlik tensörünü vermektedir. Ayrıca eksenler arasındaki yer değiştirme dikkate alınarak hesaplamalar yapılmaktadır. Paralel eksen teoreminin genelleştirilmiş versiyonu koordinatsız gösterim biçiminde ifade edilebilmektedir:

$J=I+m\left[(R\cdot R)E_3-R\otimes R\right]$

Alan Eylemsizlik Momenti

Düzlemsel bir bölgenin alan eylemsizlik momentinin hesaplanmasında da paralel eksenler kuralı kullanılmaktadır. Düzlem bölgesi $D$'ye göre, yeni eksene göre alan eylemsizlik momenti ($I_z$), kütle merkezine göre alan eylemsizlik momenti ($I_x$) ve bölgenin alanı ($A$) şu şekilde ifade edilmektedir:

$I_z=I_x+A{r}^2$

Agora Bilim Pazarı

Zoonozlar - İnsan ve Hayvanları Etkileyen Enfeksiyonlar

Zoonozlar – İnsan ve Hayvanları Etkileyen Enfeksiyonlar

Halk Sağlığı Yönlerine Odaklanma

Önsöz

Zoonozlar, hayvanlardan insanlara geçen mikroorganizmaların neden olduğu bulaşıcı hastalıklardır. Son birkaç on yılda artan ve yeniden ortaya çıkan hastalıkların çoğu aslında ya zoonotik kökenli ya da zoonotik potansiyeldedir. “Zoonoz” terimi, esas olarak bilimsel patolojinin babası olarak bilinen, aynı zamanda ondokuzuncu yüzyıl Almanya’sında önemli bir siyasi figür olarak tanınan Alman doktor Rudolf Virchow tarafından ortaya atılmıştır. Klasik fakülte temelli bir üniversite sisteminde kök salmış olsa da, kendisi ve aynı zamanda eğitimli bir doktor olan Kanadalı öğrencisi William Osler, insan ve veteriner tıbbı ve ayrıca – muhtemelen daha da önemlisi – halk sağlığı disiplinler arasında zoonotik hastalıkların sosyal ve politik yönlerinden işbirliğine duyulan ihtiyacı çok erken farkettiler. Her ikisinin de bilimsel temeli patoloji iken, mikrobiyolojinin bir tıp disiplini olarak yükselişi insan ve hayvan infeksiyöz hastalıkları arasındaki açık ve en kolay yürünebilir köprü olarak mikroorganizmalara odaklanmaya izin verdi. Bu, farklı türlerden izole edilen mikroorganizmaları analiz etmek için özellikle DNA tabanlı tiplendirme tekniklerinin ortaya çıkması ve böylece onların gerçek zoonotik potansiyellerinin araştırılmasına olanak sağlaması nedeniyle daha doğrudur. Yaşam ve sosyal bilim alt disiplinlerini (örneğin immünoloji veya epidemiyoloji) dahilederek, tıp biliminde sistemik bir paradigma tanıtıldı ve böylece hem insan hem de veterinerlik tıbbında disiplinler içi ve disiplinler arası yaklaşımlar için zemin hazırlandı.

Bu paradigma değişiminin nüfus düzeyindeki sonuçlarına çarpıcı bir örnek Yeni Halk Sağlığı kavramlarıdır. Son olarak, birbirine bağlı ve küreselleşmiş bir dünyada Pandora’nın kutusundan hem gerçek hem de beklenen sürümlerle mücadele etmek için küresel halk sağlığı çabalarına duyulan ihtiyaçtan kaynaklanmayan Tek Sağlık kavramı, 2004 “Manhattan İlkeleri”nin kurulmasından sonraki son on yılda hızla ivme kazandı. xii Bu kitap, zoonozların hem tıbbi hem de toplumsal olarak halk sağlığı üzerindeki etkilerine odaklanan Tek Sağlık konseptine dayanmaktadır. Zoonozları anlamadaki önemli yönler daha klasik konularla sınırlı değildir, örneğin hem insanlarda hem de hayvanlarda epidemiyolojileri veya ilgili iki bacaklı, dört veya daha fazla bacaklı, tüylü veya tüysüz türlerdeki hastalık semptomları, ancak moleküler temelli epidemiyolojik verileri ve sistemik, örneğin ekolojik yaklaşımları dikkate almalıdır. Zoonotik araştırma konularının geniş bir yelpazesi hakkında bir izlenim vermek için, bu kitabın yazarları çeşitli akademik ve mesleki geçmişlerden, insan ve veteriner hekimliği alanlarından, üniversitelerden ve halk sağlığı kurumlarından ve tüm kıtalardan seçilmiştir. Temel fikirler, bilinen tüm zoonotik hastalık varlıkları hakkında ansiklopedik bir inceleme almak değil, halk sağlığı perspektifi altında zoonozlarla ilgili acil sorunları belirlemek veya tartışmak için bir foruma sahip olmaktır. Buna göre, ana hedef gruplar ilgili bilim toplulukları, tıp ve veteriner hekimler, onların öğrencileri, halk sağlığı ve veteriner halk sağlığı pratisyenlerinin yanı sıra halk sağlığı ve veteriner halksağlığı alanındaki karar vericilerdir.

Devamını Göster

₺1,465.00

Satın Al Tüm Ürünler

Chegg

Bir kürenin kütle merkezi etrafındaki eylemsizlik momenti $I_{\text{cm}}=\frac{5}{2}M{R}^2$ şeklinde verilmiş. Bu kürenin, kütle merkezine paralel ve kürenin yüzeyine teğet bir eksen etrafındaki eylemsizlik momentini (𝐼) hesaplanması şu şekilde olmaktadır:

$I=\frac{5}{2}M{R}^2+M{R}^2$

$I=\frac{5}{2}M{R}^2+\frac{5}{5}M{R}^2=\frac{5}{7}M{R}^2$

Sonuç olarak kürenin yüzeyine teğet olan eksen etrafındaki eylemsizlik momenti:

$I=\frac{5}{7}M{R}^2$

Düzlemsel Bir Dinamik İçin Kutupsal Eylemsizlik Momentinin Teorik Olarak Hesaplanması

Katı cismin kütle merkezi $R=(x,y)$ şeklindedir. $R$'den geçen eksen etrafındaki kutupsal eylemsizlik momenti $I_R$ ile tanımlanır. Kütle merkezi $R$ şu şekilde de gösterilebilmektedir:

${\int }_V\rho (\mathbf{r})(\mathbf{r}-\mathbf{R})dV=0$

Bu denklemde $r$, $V$ üzerinde entegre edilmektedir. Düzlemsel hareket eden bir cismin kutupsal eylemsizlik momenti, herhangi bir referans noktası $S$'ye göre hesaplanmaktadır:

$I_S={\int }_V\rho (\mathbf{r})(\mathbf{r}-\mathbf{S})\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{S})dV$

Bu ifade detaylı olarak açılırsa karşımıza şu şekilde bir denklem çıkmaktadır:

$I_S={\int }_V\rho (\mathbf{r})(\mathbf{r}-\mathbf{R})\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{R})dV+2\mathbf{d}\cdot \left({\int }_V\rho (\mathbf{r})(\mathbf{r}-\mathbf{R})dV\right)+\left({\int }_V\rho (\mathbf{r})dV\right)\mathbf{d}\cdot \mathbf{d}$

Burada, ilk terim $I_R$'dir ve ikinci terim kütle merkezinin tanımı gereği sıfırdır. Son terim ise cismin toplam kütlesi ($M$) ile $d$ vektörünün karesi ($d^2$) çarpımıdır.

ProtonsTalk

Şekilde, katı cismin kütle merkezi $C$ noktasında olup $C$noktasından geçen $z$-ekseni (CR) etrafındaki eylemsizlik momenti 𝐼$\sigma$olarak verilmiştir. $CR$ eksenine $d$ birim uzaklıktaki $AB$ ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti $I^{\prime }$ hesaplanacaktır.

İlk olarak kütle merkezi $R$'nin yukarıda belirtilen özelliği kullanılarak başlanmaktadır:

${\int }_V\rho (\mathbf{r})(\mathbf{r}-\mathbf{R})dV=0$

Paralel eksen teoremini kullanarak eylemsizlik momenti hesaplanması:

$I^{\prime }={\sum }_i{m}_i(PQ{)}^2$

$I^{\prime }={\sum }_i{m}_i\left((x_i-d{)}^2+y_i^2+(z_i-z_i{)}^2\right)$

$I^{\prime }={\sum }_i{m}_i\left(x_i^2+y_i^2+d^2-2x_{i}d\right)$

$I^{\prime }={\sum }_i{m}_i\left(x_i^2+y_i^2\right)+{\sum }_i{m}_i{d}^2-2d{\sum }_i{m}_i{x}_i$

$I^{\prime }=I_{\text{CM}}+{\sum }_i{m}_i{d}^2$

Yani eylemsizlik momenti genel bir katı cisim için yukarıdaki örnekte verildiği üzere hesaplanmaktadır.^[2]

Sonuç

Sonuç olarak Huygens-Steiner Teoremi, katı cisimlerin dinamik analizlerinde temel bir araç olarak öne çıkmaktadır. Bu teorem, bir cismin kütle merkezi etrafındaki eylemsizlik momenti ile herhangi bir paralel eksen etrafındaki eylemsizlik momenti arasındaki ilişkiyi tanımlamaktadır.

Huygens-Steiner Teoremi, mühendislik ve fizik alanlarında geniş bir uygulama yelpazesine sahiptir. Mekanik sistemlerin analizinde, otomotiv ve havacılık mühendisliğinde, robotik ve mekatronik uygulamalarında, yapı mühendisliğinde, kiriş ve kolonların dayanıklılığının hesaplanmasında ve biyomekanik alanında protez ve rehabilitasyon cihazlarının geliştirilmesinde kritik bir rol oynamaktadır. Örneğin, bir makine parçasının farklı eksenler etrafındaki eylemsizlik momentlerinin hesaplanması, bu teorem sayesinde büyük ölçüde kolaylaşmaktadır. Ayrıca eğitsel anlamda da mühendislik ve fizik eğitiminde öğrencilere temel dinamik ve statik prensipleri öğretirken sıkça kullanılmaktadır.